Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Прямокутний трикутник



План:


Введення

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник - це трикутник, в якому один кут прямий (тобто становить 90 градусів). Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника лежать в основі тригонометрії.


1. Термінологія

Сторона, протилежна прямому куті, називається гіпотенузою (сторона c на малюнку вище). Сторони, що прилягають до прямого кута, називаються катетами. Сторона a може бути ідентифікована як прилежащая до кута В і протилежних кутку A, а сторона b - як прилежащая до кута A і протилежних куті В.

Якщо довжини всіх трьох сторін прямокутного трикутника є цілими числами, то трикутник називається піфагорових трикутником, а довжини його сторін утворюють так звану пифагорову трійку.


2. Основні властивості

2.1. Площа

Як відомо, площа якого трикутника дорівнює половині твори підстави на відповідну висоту. У прямокутному трикутнику, якщо один катет взяти в якості підстави, то інший буде заввишки, тому площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку двох його катетів. У формульному вигляді площа Т дорівнює:

T = \ tfrac {1} {2} ab

де a і b - катети трикутника.

Якщо вписана окружність стосується гіпотенузи AB в точці P, то PA = p - a, а PB = p - b, і тоді площа трикутника можна визначити наступним чином:

T = \ text {PA} \ cdot \ text {PB} = (p-a) (p-b).

де p - напівпериметр трикутника.


2.2. Підйом

Висота прямокутного трикутника.

Якщо висота проведена з вершини прямого кутом до гіпотенузі, то трикутник ділиться на два менших трикутника, подібних вихідного і подібних один одному. З цього випливає:

  • Висота є середнє геометричне (середнє пропорційне) двох сегментів гіпотенузи.
  • Кожен катет трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи і суміжних сегментів.

У рівняннях:

\ Displaystyle f ^ 2 = de, (Іноді це називають теоремою висоти правильного трикутника)
\ Displaystyle b ^ 2 = ce,
\ Displaystyle a ^ 2 = cd

де a, b, c, d, e, f показані на діаграмі. [1] Отже:

f = \ frac {ab} {c}.

Крім того, висота, падаюча на гіпотенузу, пов'язана з катетами прямокутного трикутника співвідношенням: [2] [3]

\ Frac {1} {a ^ 2} + \ frac {1} {b ^ 2} = \ frac {1} {f ^ 2}.

2.3. Теорема Піфагора

Теорема Піфагора стверджує:

Для будь-якого прямокутного трикутника площа квадрата, сторона якого є гіпотенузою (стороною трикутника, протилежної прямому куті) дорівнює сумі площ квадратів, сторони яких є катетами (дві сторони трикутника, які утворюють прямий кут).

Це твердження можна записати у вигляді рівняння: c 2 = a 2 + b 2, де c - довжина гіпотенузи, і a і b - довжини двох решти сторін.


3. Характеристики

Трикутник ABC зі сторонами a, b, c (де c - найдовша сторона), площі T, з описаною окружністю радіуса R є прямокутним трикутником тоді і тільки тоді, коли вірно одне з наступних співвідношень: [4]


4. Тригонометричні співвідношення

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відносини сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежними катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певними вище співвідношеннями. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, так як всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними. Якщо для заданого кута α, протилежних сторін, що прилягає бік і гіпотенузу позначити O, A і H відповідно, то тригонометричні функції мають вигляд:

\ Sin \ alpha = \ frac {O} {H}, \, \ cos \ alpha = \ frac {A} {H}, \, \ tan \ alpha = \ frac {O} {A}, \, \ sec \ alpha = \ frac {H} {A}, \, \ cot \ alpha = \ frac {A} {O}, \, \ csc \ alpha = \ frac {H} {O}.

5. Спеціальні прямокутні трикутники

Значення тригонометричних функцій можна точно оцінити для певних кутів, використовуючи прямокутні трикутники з особливими значеннями кутів. До таких трикутниках відносяться трикутник 30-60-90, який можна використовувати для оцінки тригонометричних функцій для будь-яких значень, кратних π / 6, і''трикутник 45-45-90, який можна використовувати для оцінки тригонометричних функцій для значень, кратних π / 4.

6. Теорема Фалеса

Медіана прямого кута трикутника

Теорема Фалеса стверджує, що якщо яка-небудь точка A кола діаметра BC (за винятком самих точок B і C), то △ ABC являє собою прямокутний трикутник з прямим кутом A. Протилежне твердження таке: якщо прямокутний трикутник вписаний в коло, то гіпотенуза буде її діаметром. Наслідком є ​​те, що довжина гіпотенузи дорівнює подвоєному відстані від вершини прямого кута до середини гіпотенузи. Вірно також, що центр кола, описує прямокутний трикутник, є серединою гіпотенузи, а її радіус дорівнює половині довжини гіпотенузи.


7. Медіани

Для медіани прямокутного трикутника вірна наступна формула:

m_a ^ 2 + m_b ^ 2 = 5m_c ^ 2 = \ frac {5} {4} c ^ 2.

Медіана, падаюча на гіпотенузу прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутника, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.

8. Співвідношення з середніми значеннями і золотим перетином

Нехай H, G, і A - середнє гармонійне, середнє геометричне і середнє арифметичне двох позитивних чисел a і b, причому a> b. Якщо в прямокутному трикутнику катети рівні H і G, а гіпотенуза дорівнює A, то: [5]

\ Frac {A} {H} = \ frac {A ^ {2}} {G ^ {2}} = \ frac {G ^ {2}} {H ^ {2}} = \ phi \,

і

\ Frac {a} {b} = \ phi ^ {3}, \,

де φ є золотий перетин \ Tfrac {1 + \ sqrt {5}} {2}. \,


9. Інші властивості

Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c дорівнює:

r = \ frac {a + b-c} {2} = \ frac {ab} {a + b + c}.

Якщо відрізки довжиною p і q, що виходять з вершини C, ділять гіпотенузу на три рівних відрізка довжини c / 3, то: [6] : Pp. 216-217

p ^ 2 + q ^ 2 = 5 \ left (\ frac {c} {3} \ right) ^ 2.

Прямокутний трикутник є єдиним трикутник з двома, а не трьома, відмінними один від одного вписаними квадратами. [7]

Нехай h і s (h> s) сторонами двох квадратів, вписаних в прямокутний трикутник з гіпотенузою c. Тоді:

\ Frac {1} {c ^ 2} + \ frac {1} {h ^ 2} = \ frac {1} {s ^ 2}.

Периметр прямокутного трикутника дорівнює сумі радіусів вписаного та трьох описаних кіл.


Примітки

  1. Wentworth p. 156
  2. Voles, Roger, "Integer solutions of a - 2 + b - 2 = d - 2 , "Mathematical Gazette 83, July 1999, 269-271.
  3. Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313-317.
  4. Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to ... Z", Birkhuser, 2006, pp. 109-110.
  5. Di Domenico, A., "The golden ratio - the right triangle - and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.
  6. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
  7. Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71 (4), 1998, 278-284.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Прямокутний паралелепіпед
Трикутник
Правильний трикутник
Південний Трикутник
Трикутник Халаіба
Трикутник (сузір'я)
Трикутник Серпінського
Бермудський трикутник
Подерний трикутник
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru