Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Псевдоскалярний твір



Magnitude cross product.png

Псевдоскалярним [1] або косим добутком векторів \ Mathbf a і \ Mathbf b на площині називається число

\ Mathbf a \ wedge \ mathbf b = | \ mathbf a | \ cdot | \ mathbf b | \ sin \ theta,

де \ Theta = \ angle (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) - Кут обертання (проти годинникової стрілки) від \ Mathbf a до \ Mathbf b . Якщо хоча б один з векторів \ Mathbf a і \ Mathbf b нульовий, то вважають \ Mathbf a \ wedge \ mathbf b = 0 . Геометрично Псевдоскалярний добуток векторів являє собою орієнтовану площу паралелограма, натягнутого на ці вектора. З її допомогою зручно працювати з площами багатокутників, виражати умови колінеарності векторів і знаходити кути між ними.

Псевдоскалярний твір існує тільки для 2-мірних векторів, його аналогом в тривимірному просторі є потрійне скалярний добуток.


Властивості

  • Лінійність: \ Mathbf a \ wedge (\ lambda \ mathbf b + \ mu \ mathbf C) = \ lambda \ mathbf a \ wedge \ mathbf b + \ mu \ mathbf a \ wedge \ mathbf c. Тут \ Lambda , \ Mu - Довільні речові числа.
  • Антікоммутатівность: \ Mathbf a \ wedge \ mathbf b = - \ mathbf b \ wedge \ mathbf a .
  • \ Mathbf a \ wedge \ mathbf b є псевдоскаляром, тобто інваріантом при всіх невироджених ізометрії, не включають відображень.
  • Псевдоскалярний твір \ Mathbf a \ wedge \ mathbf b - Це орієнтована площа паралелограма, натягнутого на вектори \ Mathbf {a} і \ Mathbf {b} .
    • Абсолютна величина псевдоскалярного твори | \ Mathbf a \ wedge \ mathbf b | - Це площа такого паралелограма.
    • Орієнтована площа трикутника \ Triangle ABC виражається формулою
      S (A, B, C) = \ frac {1} {2} (\ overrightarrow {AB} \ wedge \ overrightarrow {AC}),
    а його площа, отже, дорівнює модулю цієї величини.
  • Якщо розглядати площину в тривимірному просторі, то
    \ Mathbf a \ wedge \ mathbf b = \ pm (\ mathbf a \ times \ mathbf b) \ cdot \ mathbf n,
де " \ Times "І" \ \ Cdot "Відповідно - векторне та скалярний добуток, а \ Mathbf {n} - Одиничний вектор нормалі до площини. Знак плюс береться у випадку, якщо правий базис на площині, доповнений вектором \ Mathbf {n} , Утворює також правий базис, в іншому випадку мінус.
  • \ Mathbf a \ wedge \ mathbf b = \ mathbf 0 - Необхідна і достатня умова колінеарності ненульових векторів на площині. Нульовий вектор для зручності роботи з більш вживаним скалярним твором зазвичай вважають ортогональним будь-якому іншому вектору, хоча це є довільним угодою.
  • З лінійності і антікоммутатівності випливає, що якщо на площині задано ортонормованій базис \ Lang \ mathbf {e} _1, \ mathbf {e} _2 \ rang, ~ ~ \ angle (\ mathbf {e} _1, \ mathbf {e} _2) = \ tfrac {\ pi} {2}, і два вектори, що мають в ньому координати \ Mathbf a = (a_1, a_2), ~ ~ \ mathbf b = (b_1, b_2), то їх Псевдоскалярний твір одно определителю
\ Mathbf a \ wedge \ mathbf b = \ begin {vmatrix} a_1 & a_2 \ \ b_1 & b_2 \ end {vmatrix}
\ Mathbf a \ wedge \ mathbf b = \ sum_ {i, \; j = 1} ^ 2 \ varepsilon_ {ij} a ^ ib ^ j

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Твір
Скалярний твір
Твір (синтаксис)
Нескінченне твір
Твір Кронекера
Похідний твір
Концерт (твір)
Твір мистецтва
Вільне твір
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru