Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Пусте безліч



План:


Введення

Позначення порожнього безлічі

Пусте безлічматематиці) - безліч, не містить жодного елемента. З аксіоми об'ємності слід, що є тільки одне безліч, що володіє такою властивістю. Пусте безліч є своїм (тривіальним) підмножиною, але не є своїм елементом.

Пусте безліч є кінцевим безліччю і имееет найменшу потужність серед всіх множин. Пусте можество - єдине безліч, для якого клас множин, рівнопотужних йому, складається з єдиного елемента (самого порожнього безлічі). Також, пусте безліч - єдине безліч, має рівно 1 підмножина (само себе), і єдине безліч, рівнопотужних будь своєму підмножині.

Пусте безліч тривіальним чином є вирішуваним (а значить, Перечіслімий і арифметичним), транзитивним (англ.) і цілком упорядкованим безліччю (для будь-якого відношення порядку). Пусте безліч є найменшим порядковим числом і найменшим кардинальним числом. В топології, порожня множина є одночасно замкнутим і відкритим безліччю.

\ In -Ланцюжок, що починається з довільного множини, кожний наступний член якої є елементом попереднього, завжди через кінцеве число кроків завершується порожнім безліччю (див. аксіому регулярності). Таким чином, порожня множина є "будівельним цеглинкою", з якого будуються всі інші множини.

В деяких формулюваннях теорії множин існування порожнього безлічі постулюється (див. аксіому порожнього безлічі), в інших - доводиться.


1. Позначення порожнього безлічі

Зазвичай пусте безліч позначають одним із таких символів: ~ \ Varnothing , ~ \ Emptyset і ~ \ {\} .

Рідше пусте безліч позначають одним із таких символів: ~ 0 і ~ \ Lambda .

В Юникоде є спеціальний символ "порожнє безліч" (U +2205, ).

Символи ~ \ Varnothing і ~ \ Emptyset введені у вживання групою Бурбаки (зокрема, Андре Вейлем) в 1939 році.

Символ ~ \ Varnothing ідентичний букві в Датсько-норвезькому алфавіті [1].


2. Властивості порожнього безлічі

  • Жодне безліч не є елементом порожнього безлічі. Інакше кажучи, ~ \ Forall a \ (a \ notin \ varnothing) і, зокрема, ~ \ Varnothing \ notin \ varnothing .
  • Пусте безліч є підмножиною будь-якої безлічі. Інакше кажучи, ~ \ Forall a \ (\ varnothing \ subseteq a) і, зокрема, ~ \ Varnothing \ subseteq \ varnothing .
  • Об'єднання порожнього безлічі з будь-яким безліччю одно останньому [вказаною безлічі]. Інакше кажучи, ~ \ Forall a \ (\ varnothing \ cup a = a) і, зокрема, ~ \ Varnothing \ cup \ varnothing = \ varnothing .
  • Перетин порожнього безлічі з будь-яким безліччю одно пустому безлічі. Інакше кажучи, ~ \ Forall a \ (\ varnothing \ cap a = \ varnothing) і, зокрема, ~ \ Varnothing \ cap \ varnothing = \ varnothing .
  • Виняток порожнього безлічі з будь-якого безлічі одно останньому [вказаною безлічі]. Інакше кажучи, ~ \ Forall a \ (a \ setminus \ varnothing = a) і, зокрема, ~ \ Varnothing \ setminus \ varnothing = \ varnothing .
  • Виключення будь-якого безлічі з порожнього безлічі одно пустому безлічі. Інакше кажучи, ~ \ Forall a \ (\ varnothing \ setminus a = \ varnothing) і, зокрема, ~ \ Varnothing \ setminus \ varnothing = \ varnothing .
  • Симетрична різниця порожнього безлічі з будь-яким безліччю дорівнює останньому [вказаною безлічі]. Інакше кажучи, ~ \ Forall a \ (\ varnothing \ triangle a = a \ \ land \ a \ triangle \ varnothing = a) і, зокрема, ~ \ Varnothing \ triangle \ varnothing = \ varnothing
  • Декартовій твір порожнього безлічі на будь-яке безліч одно пустому безлічі. Інакше кажучи, ~ \ Forall a \ (\ varnothing \ times a = \ varnothing \ \ land \ a \ times \ varnothing = \ varnothing) і, зокрема, ~ \ Varnothing \ times \ varnothing = \ varnothing .
  • Пусте безліч - транзитивній. Інакше кажучи, ~ \ Mathrm {Trans} (\ varnothing) , Де ~ \ Mathrm {Trans} (\ varnothing) \ Leftrightarrow \ forall b \ (b \ in \ varnothing \ to b \ subseteq \ varnothing) .
  • Пусте безліч - ордінал. Інакше кажучи, ~ \ Mathrm {Ord} (\ varnothing) , Де ~ \ Mathrm {Ord} (\ varnothing) \ Leftrightarrow \ mathrm {Trans} (\ varnothing) \ \ land \ \ forall b \ (b \ in \ varnothing \ to \ mathrm {Trans} (b) \) .
  • Потужність порожньої безлічі дорівнює нулю. Інакше кажучи, ~ | \ Varnothing | = 0 .
  • Міра порожнього безлічі дорівнює нулю. Інакше кажучи, ~ \ Mu (\ varnothing) = 0

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Безліч
Безліч
Нескінченна безліч
Канторової безліч
Щільне безліч
Рахункове безліч
Універсальне безліч
Безліч Мандельброта
Безліч Жюліа
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru