Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Півкільце



План:


Введення

Півкільце - система множин S, для якої виконані наступні умови:

  • \ Varnothing \ in S ;
  • \ Forall A, B \ in S \ quad A \ cap B \ in S ;
  • \ Forall A \ in S, A_1 \ in S \ quad A_1 \ subset A \ Rightarrow \ exists A_2, \ dots, A_n \ subset A: A_1 \ sqcup \ dots \ sqcup A_n = A .

Таким чином, півкільце містить в собі порожня множина, замкнуто щодо перетину і будь-яке безліч з півкільця представимо у вигляді кінцевого об'єднання діз'юнктних (попарно не перетинаються) множин, що належать цьому півкільцю. Півкільце не замкнуто щодо об'єднання множин.

Півкільцем з одиницею називають півкільце з таким елементом E, що його перетин з будь-яким елементом A півкільця одно A. Застосовуючи метод математичної індукції, можна розширити останній пункт визначення: якщо безлічі A_1, \ dots, A_n є елементами півкільця і підмножинами елемента A, то їх можна доповнити непересічними елементами A_ {n +1}, \ dots, A_m до A. Будь кільце є півкільцем. Пряме твір півкілець також є півкільцем.


1. Приклади півкілець

  1. Півкільце \ Langle \ mathbb Z_ {0 +}, +, \ cdot \ rangle ненегативних цілих чисел із звичайними операціями додавання + і множення \ Cdot
  2. Тривіальне півкільце: \ Langle \ lbrace 0 \ rbrace, +, \ cdot \ rangle
  3. Двохелементний півкільця: \ Langle \ mathbb Z_2, +, \ cdot \ rangle , \ Langle \ mathbb B, \ oplus, \ vee \ rangle , Де \ Vee позначає диз'юнкцію, а \ Oplus - Логічну операцію " виключає або "над безліччю \ Mathbb B = \ lbrace 0, 1 \ rbrace
  4. Безліч матриць з елементами з півкільця натуральних чисел \ Mathbb N та операціями матричного додавання і множення
  5. Безлічі натуральних чисел \ Mathbb N , цілих чисел \ Mathbb Z , раціональних чисел \ Mathbb Q , Позитивних раціональних чисел \ Mathbb Q_ + , дійсних чисел \ Mathbb R і позитивних дійсних чисел \ Mathbb R_ + і введених на них різних комбінацій операцій: звичайні додавання і множення, максимум і мінімум двох чисел, НОД і НОК, коли вони визначені

2. Властивості півкілець

Аксіоматичне визначення півкільця вперше з'явилося в 1934 в роботі Вандовера. Ось це визначення.

Непорожня множина S з бінарними операціями + і \ Cdot називається півкільцем, якщо виконуються наступні аксіоми:

  1. \ Langle S, + \ rangle - Комутативність моноід. Тобто мають місце властивості:
  2. \ Langle S, \ cdot \ rangle - напівгрупа. Тобто має місце властивість:
  3. Множення дистрибутивно щодо складання:
    • Ліва дистрибутивність: a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c для будь-яких a, b, c \ in S
    • Права дистрибутивність: (A + b) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c для будь-яких a, b, c \ in S
  4. Мультиплікативне властивість нуля:
    • a \ cdot 0 = 0 \ cdot a = 0 для будь-якого a \ in S

Півкільце називається комутативність, якщо операція множення в ньому коммутативна : a \ cdot b = b \ cdot a \; \ forall a, b \ in S .

Півкільце називається півкільцем з одиницею, якщо в ньому існує нейтральний елемент по множенню (званий одиницею): a \ cdot 1 = 1 \ cdot a = a \; \ forall a \ in S .

Півкільце називається мультиплікативно (або адитивно) скоротність, якщо \; \ Forall a, b, c \ in S з рівності a \ cdot c = b \ cdot c (Або, відповідно, a + c = b + c ) Випливає, що a = b .

Півкільце якщо для будь-якого a \ in S виконується рівність a \ cdot a = a (Або, відповідно, a + a = a ).


Примітки


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Північне залізничне півкільце Києва
Південне залізничне півкільце Києва
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru