Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Піраміда (геометрія)



План:


Введення

Види пірамід.
Елементи піраміди.

Піраміда ( др.-греч. πυραμίς , рід.п. πυραμίδος ) - багатогранник, основа якого - багатокутник, а інші грані - трикутники, що мають загальну вершину [1]. За кількістю кутів підстави розрізняють піраміди трикутні, чотирикутні і т. д. Піраміда є окремим випадком конуса.


1. Історія розвитку геометрії піраміди

Початок геометрії піраміди було покладено в Стародавньому Єгипті і Вавилоні, проте активний розвиток отримало в Стародавній Греції. Перший, хто встановив, чому дорівнює об'єм піраміди, був Демокріт [2], а довів Евдокс Кнідський. Давньогрецький математик Евклід систематизував знання про піраміду у XII томі своїх "Почав", а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які від одній площині сходяться в одній точці.


2. Елементи піраміди

  • апофема - висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини [3];
  • бічні грані - трикутники, що сходяться у вершині піраміди;
  • бічні ребра - загальні сторони бічних граней;
  • вершина піраміди - точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить в площині основи;
  • висота - відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди і є підстави перпендикуляра);
  • діагональне перетин піраміди - перетин піраміди, що проходить через вершину і діагональ підстави;
  • підстава - багатокутник, якому не належить вершина піраміди.

3. Кути піраміди

4. Розгортка піраміди

Розгорткою називається плоска фігура, отримана при суміщенні поверхні геометричного тіла з однією площиною (без накладення граней чи інших елементів поверхні один на одного). Приступаючи до вивчення розгорнення поверхні, останню доцільно розглядати як гнучку, нерозтяжної плівку. Деякі з представлених таким чином поверхонь можна шляхом згинання сумістити з площиною. При цьому, якщо відсік поверхні може бути поєднаний з площиною без розривів і склеювання, то таку поверхню називають розгортається, а отриману плоску фігуру - її розгорткою.


5. Властивості піраміди

Якщо всі бічні ребра рівні, то:

  • близько основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр;
  • бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути.
  • також вірно і зворотне, тобто якщо бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або якщо близько основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр, то всі бічні ребра піраміди рівні.


Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то:

  • в основу піраміди можна вписати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр;
  • висоти бічних граней рівні;
  • площа бічної поверхні дорівнює половині твори периметра основи на висоту бічній грані.

6. Теореми, що зв'язують піраміду з іншими геометричними тілами

6.1. Сфера

  • біля піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить вписаний багатокутник (необхідна і достатня умова). [4] Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми випливає, що як поблизу кожної трикутною, так і поблизу кожної правильної піраміди можна описати сферу;
  • в піраміду можна вписати сферу тоді, коли біссекторной площині внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці ( необхідна і достатня умова). Ця точка буде центром сфери.

6.2. Конус

  • Конус називається вписаним в піраміду, якщо вершини їх збігаються, а його основа вписано в основу піраміди. Причому вписати конус в піраміду можна тільки тоді, коли апофема піраміди рівні між собою (необхідна і достатня умова); [5]
  • Конус називається описаним близько піраміди, коли їх вершини збігаються, а його основа описано близько підстави піраміди. Причому описати конус близько піраміди можна тільки тоді, коли всі бічні ребра піраміди рівні між собою (необхідна і достатня умова);
  • Висоти у таких конусів і пірамід рівні між собою.

6.3. Циліндр

  • Циліндр називається вписаним в піраміду, якщо одне його підстава збігається з колом вписаною в перетин піраміди площиною, паралельної підставі, а інша підстава належить основи піраміди.
  • Циліндр називається описаним близько піраміди, якщо вершина піраміди належить його одній підставі, а інша його підставу описано близько підстави циліндра. Причому описати циліндр близько піраміди можна тільки тоді, коли в основі піраміди - вписаний багатокутник (необхідна і достатня умова).

7. Формули, пов'язані з пірамідою

  • Обсяг піраміди може бути обчислений за формулою:
V = \ frac {1} {3} S h,
де \ S - площа підстави і \ H - Висота;
  • Бічна поверхня - це сума площ бічних граней:
S_b = \ sum_ {i} ^ {} S_i
  • Повна поверхня - це сума бічній поверхні і площі підстави:
\ S_p = S_b + S_o
  • Для знаходження бічній поверхні в правильній піраміді можна використовувати формули:
S_b = \ frac {1} {2} P a = \ frac {n} {2} b ^ 2 sin \ alpha
де a - апофема бічній грані, \ P - периметр підстави, \ N - Число сторін підстави, \ B - Бічне ребро, α - Плоский кут при вершині піраміди.

8. Особливі випадки піраміди

8.1. Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо підставою її є правильний багатокутник, а вершина проектується в центр підстави. Тоді вона має такі властивості:

  • бічні ребра правильної піраміди рівні;
  • у правильній піраміді всі бічні грані - рівні трикутник;
  • в будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати біля неї сферу;
  • якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π , А кожен з них відповідно \ Frac {\ pi} {n} , Де n - кількість сторін багатокутника підстави [6];
  • площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині твори периметра підстави на апофему.

8.2. Прямокутна піраміда

Піраміда називається прямокутною, якщо одна з бічних ребер піраміди перпендикулярно основи. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

8.3. Усічена піраміда

Усіченої пірамідою називається многогранник, укладений між основою піраміди і січною площиною, паралельною її основи.

9. Пов'язані визначення

Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра будь-яка з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця в поняттях правильна трикутна піраміда і правильний тетраедр.

10. Цікаві факти

  • Формула для розрахунку обсягу усіченої піраміди була виведена раніше, ніж для повної.

Примітки

  1. Александров А.Д. Вернер А. Л. Підручник для 10-11 класів загальноосвітніх установ Вид. 2-е - Просвітництво, 2003 р.. - ISBN 5-09-010773-4.
  2. Б. Л. ван дер Варден прокидається наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції - КомКніга, 2007 р.. - ISBN 978-5-484-00848-3.
  3. Апофема - slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00003/87000.htm, БСЕ
  4. А. Ю. Калінін, Д. А. Терешин Стереометрія. 11 клас - Фізматкніга, 2005 р.. - ISBN 5-89155-134-9.
  5. А. В. Погорєлов Геометрія: Підручник для 10-11 класів загальноосвітніх установ - Просвітництво, 2008 р.. - ISBN 978-5-09-019708-3.
  6. "Властивості правильної піраміди, вписаної в сферу" Е. Готман. - Науковий журнал "Квант", 1998 р., 4 випуск - kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm

Література

  • Александров А.Д. Вернер А. Л. Підручник для 10-11 класів загальноосвітніх установ - 2-е. - Освіта, 2003. - 271 с. - ISBN 5-09-010773-4.
  • А. Ю. Калінін, Д. А. Терешин Стереометрія. 11 клас - Фізматкніга, 2005. - ISBN 5-89155-134-9.
  • А. В. Погорєлов Геометрія: Підручник для 10-11 класів загальноосвітніх установ - Просвітництво, 2008. - ISBN 978-5-09-019708-3.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Піраміда
Московська піраміда
Піраміда (архітектура)
Піраміда Сонця
Усічена піраміда
Піраміда (селище)
Екологічна піраміда
Піраміда Карлсруе
Піраміда Джосера
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru