Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Пі-теорема



План:


Введення

π-теорема - основоположна теорема аналізу розмірностей. Теорема стверджує, що якщо є фізично значиме вираз, що включає в себе n фізичних змінних, і ці змінні описуються за допомогою k незалежних фундаментальних фізичних величин, то вихідне вираз еквівалентно вираженню, що включає безліч з p = nk безрозмірних величин, побудованих з вихідних змінних. Це дозволяє обчислювати безліч безрозмірних величин за даними фізичним значенням, навіть якщо невідомо вираз, що пов'язує ці значення. Спосіб вибору безлічі безрозмірних параметрів не єдиний: π-теорема демонструє, як це можна зробити, але не забезпечує, що отримані параметри будуть найбільш "фізично значимими".


1. Історія

π-теорема була опублікована Едгаром Бакінгема (англ.) в 1917, а згодом і узагальнена Германом Вейлем в 1926. Тому за кордоном вона іменується "теорема Бакингема" (див. інтервікі), або "теорема Ваші-Бакингема".

2. Теорема

Якщо дано фізично значиме вираз:

f (q_1, q_2, \ ldots, q_n) = 0 ,

де q i - Це n різних фізичних змінних і вони виражаються через k незалежних фізичних величин, то цей вислів може бути переписано у вигляді:

F ({\ pi} _1, {\ pi} _2, \ ldots, {\ pi} _p) = 0 ,

де π i - Це безрозмірні параметри, отримані з q i за допомогою p = nk виразів такого вигляду:

{\ Pi} _i = {q_1} ^ {m_1} \ cdot {q_2} ^ {m_2} \ cdot \ ldots \ cdot {q_n} ^ {m_n} ,

де показники ступенів m i - Це раціональні числа.


3. Доказ

Дана система з n розмірних величин (фізичних величин) в k (фізичних) вимірах. Запишемо матрицю M. Її рядками будуть вимірювання, а стовпцями - фізичні величини: елемент (i, j) цієї матриці відповідає ступеню i-го множника у формулі розмірності j-й фізичної величини. Матриця може бути проинтерпретирована наступним чином: стовпцю

\ Left [\ begin {array} {ccc} {m_1} \ \ {m_2} \ \ \ vdots \ \ {m_n} \ end {array} \ right]

відповідає запис

{Q_1} ^ {m_1} \ cdot {q_2} ^ {m_2} \ cdot \ ldots \ cdot {q_n} ^ {m_n}

Очевидно, що безрозмірним величинам відповідають нульові стовпці матриці. Ці стовпці є лінійними комбінаціями стовпців, відповідних розмірним величинам.

Як відомо, будь-яка система з n векторів в k-мірному лінійному просторі задовольняє системі з p = nk відносин. І будь-який її базис буде складатися з p елементів, яким відповідають безрозмірні величини.

Безрозмірні величини завжди можуть бути обрані таким чином, щоб бути целочисленной комбінацією розмірних величин. Це математичний, іноді не найкращий спосіб визначення безрозмірних величин. Деякі способи вибору безрозмірних величин більш фізично значимі (наприклад, мають сенс відносини характерних сил), і вони повинні використовуватися в ідеалі.


4. Бібліографія

  • Buckingham, E. (1914). "On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations". Phys. Rev. 4: 345-376.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема
H-теорема
Теорема Морлі
Теорема Стюарта
Теорема Машка
Теорема Мінковського
Теорема Жордана
Теорема Кантора
Теорема Гільберта 90
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru