Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Пі (число)



План:


Введення

Якщо прийняти діаметр кола за одиницю, то довжина кола - це число "пі"
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4 Дев'ятсот дев'яносто дев'ять тисяч дев'ятсот дев'яносто-дев'ять вісімсот тридцять-сім 2978049951 0597317328 1609631859 ​​5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
...

Перші 1000 знаків після коми числа π. [1]

\ Pi ~ (Вимовляється "пі") - математична константа, що виражає відношення довжини кола до довжини її діаметра. [2] Позначається буквою грецького алфавіту " пі ". Стара назва - лудольфово число.


1. Властивості

1.1. Трансцендентність та ірраціональність


1.2. Співвідношення

Відомо багато формул числа π :

\ Frac2 \ pi = \ frac {\ sqrt {2}} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt2}} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt2}}} 2 \ cdot \ ldots
\ Frac {2} {1} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {6} {5} \ cdot \ frac {6} {7} \ cdot \ frac {8} {7} \ cdot \ frac {8} {9} \ cdots = \ frac {\ pi} {2}
\ Frac {1} {1} - \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} - \ frac {1} {7} + \ frac {1} {9} - \ cdots = \ frac {\ pi} {4}
e ^ {i \ pi} + 1 = 0 \;
\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ e ^ {-x ^ 2} {dx} = \ sqrt {\ pi}
\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x} dx} = \ pi
\ Pi = \ sqrt {6 \ ln ^ 2 2 +12 \ \ operatorname {Li} _2 \ left (\ frac {1} {2} \ right)}

2. Історія

Символ константи

Вперше позначенням цього числа грецькою буквою \ Pi ~ скористався британський математик Джонс в 1706 році, а загальноприйнятим воно стало після робіт Леонарда Ейлера в 1737 році.

Це позначення походить від початкової букви грецьких слів περιφέρεια - Коло, периферія і περίμετρος - Периметр.

Історія числа π йшла паралельно з розвитком всієї математики. Деякі автори поділяють весь процес на 3 періоди: стародавній період, протягом якого π вивчалося з позиції геометрії, класична ера, що послідувала за розвитком математичного аналізу в Європі в XVII столітті, і ера цифрових комп'ютерів.


2.1. Геометричний період

Те, що відношення довжини кола до діаметра однаково для будь кола, і те, що це відношення трохи більше 3, було відомо ще староєгипетським, вавілонським, давньоіндійським і давньогрецьким геометрам. Найперша з відомих наближень датується 1900 роком до н. е..; це 25 / 8 (Вавилон) і 256 / 81 (Єгипет), обидва значення відрізняються від істинного не більше, ніж на 1%. Ведичний текст " Шатапатха-брахмана "дає π як 339 / 108 ≈ 3,139. Мабуть, в Танасі, в третій книзі Царств, передбачається, що π = 3, що є набагато гіршою оцінкою, ніж були на момент написання (600 рік до н. Е..).

Archimedes pi.svg
Алгоритм Лю Хуея для обчислення π

Архімед, можливо, першим запропонував математичний спосіб обчислення π . Для цього він вписував в окружність і описував біля неї правильні багатокутники. Приймаючи діаметр окружності за одиницю, Архімед розглядав периметр вписаного багатокутника як нижню оцінку довжини кола, а периметр описаного багатокутника як верхню оцінку. Розглядаючи правильний 96-кутник, Архімед отримав оцінку 3 + \ frac {10} {71} <\ pi <3 + \ frac {1} {7} і припустив, що π приблизно дорівнює 22 / 7 ≈ 3.142857142857143.

Чжан Хен у 2 столітті уточнив значення числа π , Запропонувавши два його еквівалента: 1) 92/29 ≈ 3,1724 ...; 2) \ Sqrt {10} ≈ 3,1622

В Індії Аріабхата і Бхаскара використовували наближення 3.1416. Варахаміхіра в 6 столітті користується в "Панча-сіддхантіке" наближенням \ Sqrt {10} .

Близько 265 року н. е.. математик Лю Хуей з царства Вей надав простий і точний ітеративний алгоритм ( англ. Liu Hui's π algorithm ) Для обчислення π з будь-яким ступенем точності. Він самостійно провів обчислення для 3072-кутника і отримав наближене значення для π за наступним принципом:

\ Pi \ approx A_ {3072} = {3 \ cdot 2 ^ 8 \ cdot \ sqrt {2 - \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2 +1 }}}}}}}}}} \ approx 3,14159.

Пізніше Лю Хуей придумав швидкий метод обчислення π і отримав наближене значення 3,1416 тільки лише з 96-кутником, використовуючи переваги того факту, що різниця в площі наступних один за одним багатокутників формує геометричну прогресію зі знаменником 4.

У 480-х роках китайський математик Цзу Чунчжи продемонстрував, що π 355 / 113, і показав, що 3,1415926 < π <3,1415927, використовуючи алгоритм Лю Хуея стосовно 12288-косинці. Це значення залишалося найточнішим наближенням числа π протягом наступних 900 років.


2.2. Класичний період

До II тисячоліття було відомо не більше 10 цифр π . Подальші великі досягнення у вивченні π пов'язані з розвитком математичного аналізу, особливо з відкриттям рядів, що дозволяють обчислити π з будь-якою точністю, підсумовуючи підходяще кількість членів ряду. У 1400-х роках Мадхава з Сангамаграма ( англ. Madhava of Sangamagrama ) Знайшов перший з таких рядів:

{\ Pi} = \ frac {4} {1} - \ frac {4} {3} + \ frac {4} {5} - \ frac {4} {7} + \ cdots

Цей результат відомий як ряд Мадхава - Лейбніца, або ряд Грегорі - Лейбніца (після того як він був заново виявлений Джеймсом Грегорі і Готфрідом Лейбніцем в XVII столітті). Однак цей ряд збігається до π дуже повільно, що призводить до складності обчислення багатьох цифр числа на практиці - необхідно скласти близько 4000 членів ряду, щоб поліпшити оцінку Архімеда. Однак перетворенням цього ряду в

\ Pi = \ sqrt {12} \, \ left (1 - \ frac {1} {3 \ cdot 3} + \ frac {1} {5 \ cdot 3 ^ 2} - \ frac {1} {7 \ cdot 3 ^ 3} + \ cdots \ right)

Мадхава зміг обчислити π як 3,14159265359, вірно визначивши 11 цифр у записі числа. Цей рекорд був побитий в 1424 році перським математиком Джамшид ал-Каші, який у своїй праці під назвою "Трактат про окружності" привів 17 цифр числа π , З яких 16 вірні.

Першим великим європейським внеском з часів Архімеда був внесок голландського математика Людольф ван Цейла, затратив десять років на обчислення числа π з 20-ю десятковими цифрами (цей результат був опублікований в 1596 році). Застосувавши метод Архімеда, він довів подвоєння до n-кутника, де n = 60.2 29. Виклавши свої результати в творі "Про колу" ("Van den Circkel"), Лудольф закінчив його словами: "У кого є охота, нехай йде далі". Після смерті в його рукописах було виявлено ще 15 точних цифр числа π . Лудольф заповідав, щоб знайдені ним знаки були висічені на його надгробному камені. На честь нього число π іноді називали "лудольфовим числом", або "константою Лудольфа".

Приблизно в цей же час в Європі почали розвиватися методи аналізу і визначення нескінченних рядів. Першим таким поданням була формула Вієта :

\ Frac2 \ pi = \ frac {\ sqrt2} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt2}} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt2}}} 2 \ cdot \ cdots ,

знайдена Франсуа Вієтом в 1593 році. Іншим відомим результатом стала формула Валліса :

\ Frac {\ pi} {2} = \ frac {2} {1} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {6} {5} \ cdot \ frac {6} {7} \ cdot \ frac {8} {7} \ cdot \ frac {8} {9} \ cdots ,

виведена Джоном Валлісом в 1655 році.

У Новий час для обчислення π використовуються аналітичні методи, засновані на тотожності. Перераховані вище формули малопридатні для обчислювальних цілей, оскільки або використовують повільно сходяться ряди, або вимагають складної операції добування квадратного кореня.

Першу ефективну формулу знайшов в 1706 році Джон Мечін ( англ. John Machin )

\ Frac {\ pi} {4} = 4 \, \ mathrm {arctg} \ frac {1} {5} - \ mathrm {arctg} \ frac {1} {239}

Розклавши арктангенс в ряд Тейлора

\ Mathrm {arctg} \ x = x - \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} - \ frac {x ^ 7} {7} + \ cdots ,

можна отримати швидко сходиться ряд, придатний для обчислення числа π з великою точністю. Ейлер, автор позначення π , Отримав 153 вірних знака.

Формули такого типу, в даний час відомі як формули Мечіна ( англ. Machin-like formula ), Використовувалися для установки декількох послідовних рекордів і залишилися найкращими з відомих методів для швидкого обчислення π в епоху комп'ютерів. Видатний рекорд був поставлений феноменальним лічильником Іоганном Дазе ( англ. Johann Dase ), Який в 1844 році за розпорядженням Гаусса застосував формулу Мечіна для обчислення 200 цифр π в розумі. Найкращий результат до кінця XIX століття був отриманий англійцем Вільямом Шенксом ( англ. William Shanks ), У якого пішло 15 років для того, щоб обчислити 707 цифр, хоча через помилки тільки перші 527 були вірними. Щоб уникнути подібних помилок, сучасні обчислення подібного роду проводяться двічі. Якщо результати збігаються, то вони з високою ймовірністю вірні. Помилку Шенкс виявив один з перших комп'ютерів в 1948 році; він же за декілька годин підрахував 808 знаків π .

Теоретичні досягнення в XVIII столітті привели до розуміння природи числа π , Чого не можна було досягти лише тільки за допомогою одного чисельного обчислення. Йоганн Генріх Ламберт довів ірраціональність π в 1761 році, а Адрієн Марі Лежандр в 1774 році довів ірраціональність π 2 . У 1735 році був встановлений зв'язок між простими числами і π , Коли Леонард Ейлер вирішив знамениту Базельську проблему ( англ. Basel problem ) - Проблему знаходження точного значення

\ Frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} {4 ^ 2} + \ cdots ,

що становить \ Frac {\ pi ^ 2} {6} . І Лежандр, і Ейлер припускали, що π може бути трансцендентним, що було в кінцевому підсумку доведено в 1882 році Фердинандом фон Ліндеманн.

Вважається, що книга Вільяма Джонса "Нове введення в математику" c 1706 першою ввела у використання грецьку літеру π для позначення цієї константи, але цей запис стала особливо популярною після того, як Леонард Ейлер прийняв її у 1737 році. Він писав:

Існує безліч інших способів відшукання довжин або площ відповідної кривої або плоскої фігури, що може істотно полегшити практику; наприклад, в колі діаметр відноситься до довжини окружності як 1 до \ Left (\ frac {16} {5} - \ frac {4} {239} \ right) - \ frac {1} {3} \ cdot \ left (\ frac {16} {5 ^ 3} - \ frac {4} {239 ^ 3} \ right) + \ cdots = 3 {,} 14159 \ cdots = \ pi


2.3. Ера комп'ютерних обчислень

Епоха цифрової техніки в XX столітті привела до збільшення швидкості появи обчислювальних рекордів. Джон фон Нейман та інші використовували у 1949 році ЕНІАК для обчислення 2037 цифр π , Яке зайняло 70 годин. Ще одна тисячі цифр була отримана в наступні десятиліття, а відмітка в мільйон була пройдена в 1973 році. Такий прогрес мав місце не тільки завдяки більш швидкому апаратного забезпечення, але і завдяки алгоритмам. Одним з найбільш значних результатів було відкриття у 1960 році швидкого перетворення Фур'є, що дозволило швидко здійснювати арифметичні операції над дуже великими числами.

На початку XX століття індійський математик Срініваса Рамануджана виявив безліч нових формул для π , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул - это ряд:

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} ,

братьями Чудновскими (англ. Chudnovsky brothers ) в 1987 году, найдена похожая на неё:

\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}} ,

который вычисляет по 14 цифр за ход. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении π в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих π на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент (англ. Richard P. Brent ) и Юджин Саламин (англ. Eugene Salamin (mathematician) ) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента - Саламина (англ. GaussLegendre algorithm ), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков. [9] Алгоритм состоит из установки начальных значений

a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1

и итераций:

a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}
t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n

пока a n и b n не станут достаточно близки. Тогда оценка π даётся формулой

\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном (англ. Jonathan Borwein ) Питером Боруэйном (англ. Peter Borwein ). [10] При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления π вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд - 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента - Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли - Боруэйна - Плаффа (англ. BaileyBorweinPlouffe formula ), открытая в 1997 году Саймоном Плаффом (англ. Simon Plouffe ) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована [11]. Эта формула,

\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа π без вычисления предыдущих. [11] С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа π , который оказался нулём. [12]

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул. [13] Пусть q = e π, тогда

\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)
\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)

и другие вида

\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)

где q = e π, k - нечётное число, и a, b, c - рациональные числа. Если k - вида 4 m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)

для рационального p у которого знаменатель - число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубо рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов. [14]

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов. [15]

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой. [16] [17]

19 жовтня 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой [18] [19].


3. Рациональные приближения


  • \frac{377}{120} - дана в книге индийского мыслителя и астронома Ариабхаты в V веке н. э.,


  • \frac{355}{113} - приписывается современнику Ариабхаты китайскому астроному Цзу Чунчжи.

4. Нерешённые проблемы


5. Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к \frac2\pi при увеличении числа бросков до бесконечности. [25] Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло. [26]


6. Дополнительные факты

Памятник числу "пи" на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле
  • Неофициальный праздник " День числа пи " отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π . Считается [27], что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
  • Ещё одной датой, связанной с числом π , является 22 июля, которое называется "Днём приближённого числа Пи" (англ. Pi Approximation Day ), Так як в європейському форматі дат цей день записується як 22 / 7, а значення цього дробу є наближеним значенням числа π .
  • Світовий рекорд із запам'ятовування знаків числа π після коми належить китайцеві Лю Чао, який у 2006 році протягом 24 годин і 4 хвилин відтворив 67890 знаків після коми без помилки. [28] [29] У тому ж 2006 році японець Акіра Харагуті заявив, що запам'ятав число π до 100-тисячного знака після коми, [30] проте перевірити це офіційно не вдалося. [31]
  • У штаті Індіана (США) в 1897 році був випущений білль (див.: en: Indiana Pi Bill), законодавчо встановлює значення числа Пі рівним 3,2. [32] Даний білль не став законом завдяки своєчасному втручанню професора університету Пердью, який був присутній в законодавчих зборах штату під час розгляду цього закону.
  • "Число Пі для гренландських китів дорівнює трьом" написано в "Довіднику китобоя" 1960-х років випуску. [33]
  • Станом на 2010 рік обчислено 5000000000000 знаків після коми [17].
  • Станом на 2011 рік обчислено 10000000000000 знаків після коми [19].

7. У культурі

Примітки

  1. PI - www.math.com / tables / constants / pi.htm
  2. Це визначення годиться тільки для евклідової геометрії. В інших геометріях відношення довжини кола до довжини її діаметру може бути довільним. Наприклад, в геометрії Лобачевського це відношення менше, ніж \ Pi ~ .
  3. Lambert, Johann Heinrich. Mmoire sur quelques proprits remarquables des quantits transcendentes circulaires et logarithmiques, стор 265-322.
  4. Доказ Клейна докладено до роботи "Питання елементарної і вищої математики", ч. 1, що вийшла в Геттінгені в 1908 році.
  5. Weisstein, Eric W. Постійна Гельфонд - mathworld.wolfram.com / GelfondsConstant.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  6. 1 2 Weisstein, Eric W. Ірраціональне число - mathworld.wolfram.com / IrrationalNumber.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  7. Модулярні функції і питання трансцендентності -
  8. Weisstein, Eric W. Pi Squared - mathworld.wolfram.com / PiSquared.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  9. Brent, Richard (1975), Traub, JF, ed., " Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation - wwwmaths.anu.edu.au / ~ brent/pub/pub028.html ", Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151-176 , < http://wwwmaths.anu.edu.au/ ~ brent/pub/pub028.html - wwwmaths.anu.edu.au / ~ brent/pub/pub028.html> (Англ.)
  10. Jonathan M Borwein. Pi: A Source Book - Springer, 2004. - ISBN 0387205713. (Англ.)
  11. 1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants - crd.lbl.gov / ~ dhbailey / dhbpapers / digits.pdf / / Mathematics of Computation. - 1997. - В. 218. - Т. 66. - С. 903-913. (Англ.)
  12. Fabrice Bellard. A new formula to compute the n th binary digit of pi - bellard.org / pi / pi_bin / pi_bin.html (Англ.) . Фотогалерея - www.webcitation.org/617AsLjCD з першоджерела 22 серпня 2011.
  13. Simon Plouffe. Indentities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2) - www.lacim.uqam.ca/ ~ plouffe/inspired2.pdf (Англ.) . Фотогалерея - www.webcitation.org/617AtFW4Y з першоджерела 22 серпня 2011.
  14. Встановлено новий рекорд точності обчислення числа π - science.compulenta.ru/451031 /
  15. Pi Computation Record - bellard.org/pi/pi2700e9 /
  16. Число "Пі" розрахована з рекордною точністю - science.compulenta.ru/552828 /
  17. 1 2 5 Trillion Digits of Pi - New World Record - www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html (Англ.)
  18. Визначено 10000000000000 цифр десяткового розкладання для π - iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-π /
  19. 1 2 Round 2 ... 10 Trillion Digits of Pi - www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html
  20. Weisstein, Eric W. Pi - mathworld.wolfram.com / Pi.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  21. en: Irrational number # Open questions
  22. Some unsolved problems in number theory - www.math.ou.edu/ ~ jalbert/courses/openprob2.pdf
  23. Weisstein, Eric W. Трансцендентне число - mathworld.wolfram.com / TranscendentalNumber.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  24. An introduction to irrationality and transcendence methods - www.math.jussieu.fr/ ~ miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf
  25. Обман або оману? - kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm Квант № травні 1983
  26. Г. А. Гальперин. більярдна динамічна система для числа пі - nature.web.ru / db / msg.html? mid = 1161679 & uri = node2.html.
  27. Стаття в Los Angeles Times "Бажаєте шматочок π "? (Назва обіграє подібність у написанні числа π і слова pie (англ. пиріг)) - latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html (Англ.) .
  28. Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi - www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm
  29. Interview with Mr. Chao Lu - www.pi-world-ranking-list.com/lists/details/luchaointerview.html
  30. How can anyone remember 100,000 numbers? - search.japantimes.co.jp/print/fl20061217x1.html - The Japan Times, 17.12.2006.
  31. Pi World Ranking List - www.pi-world-ranking-list.com/news/index.html
  32. The Indiana Pi Bill, 1897 - www.agecon.purdue.edu / crd / Localgov / Second Level pages / indiana_pi_bill.htm (Англ.)
  33. В. І. Арнольд любить наводити цей факт, див. наприклад книгу Що таке математика - www.mccme.ru / edu / viarn / whatis.ps ( ps), стор 9.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
80 (число)
e (число)
31 (число)
-1 (Число)
30 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
24 (число)
26 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru