Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Раціональне число



План:


Введення

Чверті

Раціональне число ( лат. ratio - Відношення, поділ, дріб) - число, що представляється нескоротного звичайної дробом \ Frac {m} {n} , Де чисельник m - ціле число, а знаменник n - натуральне число. Таку дріб слід розуміти як результат ділення m на n , Навіть якщо нацело розділити не вдається. У реальному житті раціональні числа використовуються для рахунку частин деяких цілих, але подільних об'єктів, наприклад, тортів або інших продуктів, розрізають на декілька частин, або для грубої оцінки просторових відносин протяжних об'єктів.


1. Безліч раціональних чисел

Безліч раціональних чисел позначається \ Mathbb {Q} і може бути записано у вигляді:

\ Mathbb {Q} = \ left \ {\ frac {m} {n} \ mid m \ in \ mathbb {Z}, n \ in \ mathbb {N} \ right \}.

Потрібно розуміти, що чисельно рівні дроби, наприклад, \ Frac {3} {4} і \ Frac {9} {12} , Входять у цю множину як одне число. Оскільки діленням чисельника і знаменника дробу на їх найбільший спільний дільник можна отримати єдине нескоротного уявлення раціонального числа, то можна говорити про їх безлічі як про безліч нескоротного дробів з взаємно простими цілим чисельником і натуральним знаменником:

\ Mathbb {Q} = \ left \ {\ frac {m} {n} \ mid m \ in \ mathbb {Z}, n \ in \ mathbb {N}, \ gcd (m, n) = 1 \ right \ }.

Тут gcd (m, n) - Найбільший спільний дільник чисел m і n .

Безліч раціональних чисел є природним узагальненням безлічі цілих чисел. Легко бачити, що якщо у раціонального числа a = \ frac {m} {n} знаменник n = 1 , То a = m є цілим числом. У зв'язку з цим виникають деякі оманливі припущення. Однак, хоча здається, що раціональних чисел більше ніж цілих, і тих і інших рахункове число (тобто обидва вони можуть бути перенумеровані натуральними числами, причому явно).


2. Термінологія

2.1. Формальне визначення

Формально раціональні числа визначаються як безліч класів еквівалентності пар \ Left \ {(m, \; n) \ mid m \ in \ mathbb {Z}, \; n \ in \ mathbb {N} \ right \} по відношенню еквівалентності (M, \; n) \ sim (m ', \; n') , Якщо m \ cdot n '= m' \ cdot n . При цьому операції додавання і множення визначаються таким чином:

  • \ Left (m_1, \; n_1 \ right) + \ left (m_2, \; n_2 \ right) = \ left (m_1 \ cdot n_2 + m_2 \ cdot n_1, \; n_1 \ cdot n_2 \ right);
  • \ Left (m_1, \; n_1 \ right) \ cdot \ left (m_2, \; n_2 \ right) = \ left (m_1 \ cdot m_2, \; n_1 \ cdot n_2 \ right).

2.2. Пов'язані визначення

2.2.1. Правильні, неправильні та змішані дроби

Правильною називається дріб, у якої модуль чисельника менше модуля знаменника. Правильні дроби представляють раціональні числа, по модулю менші одиниці. Дріб, що не є правильною, називається неправильною і представляє раціональне число, більше або дорівнює одиниці по модулю.

Неправильну дріб можна представити у вигляді суми цілого числа і правильного дробу, званої змішаної дробом. Наприклад, 2 \ frac {3} {7} = 2 + \ frac {3} {7} = \ frac {14} {7} + \ frac {3} {7} = \ frac {17} {7} . Подібна запис (з пропущеним знаком додавання), хоча і вживається в елементарній арифметиці, уникається в строгій математичній літературі через схожість позначення змішаної дробу з позначенням твори цілого числа на дріб.


2.2.2. Висота дробу

Висота звичайного дробу - це модуль суми чисельника і знаменника цього дробу. Підйом раціонального числа - це модуль суми чисельника і знаменника нескоротного звичайного дробу, що відповідає цьому числу.

Наприклад, висота дробу - \ Frac {15} {6} дорівнює 15 + 6 = 21 . Висота ж відповідного раціонального числа дорівнює 5 + 2 = 7 , Так як дріб скорочується на 3 .

2.3. Коментар

Термін дробове число (дріб) іноді [ уточнити ] використовується як синонім до терміну раціональне число, а іноді синонім будь-якого нецілого числа. В останньому випадку, дробові і раціональні числа є різними речами, тому що тоді нецілі раціональні числа - всього лише окремий випадок дробових.

3. Властивості

3.1. Основні властивості

Безліч раціональних чисел задовольняють шістнадцяти основним властивостями, які легко можуть бути отримані з властивостей цілих чисел. [1]

  1. Упорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел a і b існує правило, що дозволяє однозначно ідентифікувати між ними один і тільки один з трьох відносин : " < "," > "Або" = ". Це правило називається правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємних числа a = \ frac {m_a} {n_a} і b = \ frac {m_b} {n_b} зв'язані тим же відношенням, що і два цілих числа m_a \ cdot n_b і m_b \ cdot n_a , Два непозитивно числа a і b зв'язані тим же відношенням, що і два невід'ємних числа \ Left | b \ right | і \ Left | a \ right | , Якщо ж раптом a неотрицательно, а b - Негативно, то a> b .
    \ Forall a, b \ in \ mathbb {Q} ~ \ left (a <b \lor a> b \ lor a = b \ right)
    Підсумовування дробів
  2. Операція складання. Для будь-яких раціональних чисел a і b існує так зване правило підсумовування, яке ставить їм у відповідність деяке раціональне число c . При цьому саме число c називається сумою чисел a і b і позначається \ Left (a + b \ right) , А процес відшукання такого числа називається підсумовуванням. Правило підсумовування має наступний вигляд: \ Frac {m_a} {n_a} + \ frac {m_b} {n_b} = \ frac {m_a \ cdot n_b + m_b \ cdot n_a} {n_a \ cdot n_b} .
    \ Forall a, b \ in \ mathbb {Q} ~ \ exists \ left (a + b \ right) \ in \ mathbb {Q}
  3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел a і b існує так зване правило множення, яке ставить їм у відповідність деяке раціональне число c . При цьому саме число c називається твором чисел a і b і позначається \ Left (a \ cdot b \ right) , А процес відшукання такого числа також називається множенням. Правило множення має наступний вигляд: \ Frac {m_a} {n_a} \ cdot \ frac {m_b} {n_b} = \ frac {m_a \ cdot m_b} {n_a \ cdot n_b} .
    \ Forall a, b \ in \ mathbb {Q} ~ \ exists \ left (a \ cdot b \ right) \ in \ mathbb {Q}
  4. Транзитивність відношення порядку. Для будь трійки раціональних чисел a , b і c якщо a менше b і b менше c , То a менше c , А якщо a одно b і b одно c , То a одно c .
    \ Forall a, b, c \ in \ mathbb {Q} ~ \ left (a <b \ land b <c \ Rightarrow a <c \ right) \ land \ left (a = b \ land b = c \ Rightarrow a = c \ right)
  5. Комутативність складання. Від зміни місць доданків раціональних сума не змінюється.
    \ Forall a, b \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a + b = b + a
  6. Асоціативність додавання. Порядок складання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
    \ Forall a, b, c \ in \ mathbb {Q} ~ ~ \ left (a + b \ right) + c = a + \ left (b + c \ right)
  7. Наявність нуля. Існує раціональне число 0, яке зберігає будь-яке інше раціональне число при підсумовуванні.
    \ Exists 0 \ in \ mathbb {Q} ~ \ forall a \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a +0 = a
  8. Наявність протилежних чисел. Будь раціональне число має протилежне раціональне число, при підсумовуванні з яким дає 0.
    \ Forall a \ in \ mathbb {Q} ~ \ exists \ left (-a \ right) \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a + \ left (-a \ right) = 0
  9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.
    \ Forall a, b \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a \ cdot b = b \ cdot a
  10. Асоціативність множення. Порядок перемноження трьох раціональних чисел не впливає на результат.
    \ Forall a, b, c \ in \ mathbb {Q} ~ ~ \ left (a \ cdot b \ right) \ cdot c = a \ cdot \ left (b \ cdot c \ right)
  11. Наявність одиниці. Існує раціональне число 1, яке зберігає будь-яке інше раціональне число при множенні.
    \ Exists 1 \ in \ mathbb {Q} ~ \ forall a \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a \ cdot 1 = a
  12. Наявність зворотних чисел. Будь ненульове раціональне число має зворотну раціональне число, множення на яке дає 1.
    \ Forall a \ in \ mathbb {Q} ~ \ exists a ^ {-1} \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a \ cdot a ^ {-1} = 1
  13. Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією складання допомогою розподільного закону:
    \ Forall a, b, c \ in \ mathbb {Q} ~ ~ \ left (a + b \ right) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c
  14. Зв'язок відносини порядку з операцією додавання. До лівої і правої частин раціонального нерівності можна додавати одне і те ж раціональне число.
    \ Forall a, b, c \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a <b \ Rightarrow a + c <b + c
  15. Зв'язок відносини порядку з операцією множення. Ліву та праву частини раціонального нерівності можна множити на одне і те ж позитивне раціональне число.
    \ Forall a, b, c \ in \ mathbb {Q} ~ ~ c> 0 \ land a <b \ Rightarrow a \ cdot c <b \ cdot c
  16. Аксіома Архімеда. Яке б не було раціональне число a , Можна взяти стільки одиниць, що їх сума перевершить a .
    \ Forall a \ in \ mathbb {Q} ~ \ exists n \ in \ mathbb {N} ~ ~ \ sum_ {k = 1} ^ {n} 1> a

3.2. Додаткові властивості

Всі інші властивості, притаманні раціональним числам, не виділяють в основні, тому що вони, взагалі кажучи, вже не спираються безпосередньо на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені виходячи з наведених основних властивостей або безпосередньо за визначенням деякого математичного об'єкта. Таких додаткових властивостей дуже багато. Тут має сенс навести лише деякі з них.

  • Відношення порядку "> "(з протилежним порядком аргументів) також транзитивній.
    \ Forall a, b, c \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a> b \ land b> c \ Rightarrow a> c
  • Твір будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.
    \ Forall a \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a \ cdot 0 = 0
  • Раціональні нерівності одного знака можна почленно складати.
    \ Forall a, b, c, d \ in \ mathbb {Q} ~ ~ a> b \ land c> d \ Rightarrow a + c> b + d
  • Безліч раціональних чисел \ Mathbb {Q} є полем (а саме, полем приватних кільця цілих чисел \ Mathbb {Z} ) Щодо операцій додавання і множення дробів.
    \ Left (\ mathbb {Q}, +, \ cdot \ right) - Поле
  • В позиційній системі числення раціональне число представляється періодичної дробом. Більше того, наявність подання у вигляді періодичної дробу є критерієм раціональності дійсного числа.
  • Кожне раціональне число є алгебраїчним.
    \ Mathbb {Q} \ subset \ mathbb {A}

4. Счетності безлічі

Нумерація позитивних раціональних чисел

Щоб оцінити кількість раціональних чисел, потрібно знайти потужність їх безлічі. Легко довести, що безліч раціональних чисел лічильно. Для цього достатньо навести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює біекцію між множинами раціональних і натуральних чисел. Прикладом такої побудови може служити наступний простий алгоритм. Складається нескінченна таблиця звичайних дробів, на кожній i -Ої рядку в кожному j -Му стовпці якої розташовується дріб \ Frac {i} {j} . Для визначеності вважається, що рядки та стовпці цієї таблиці нумеруються з одиниці. Стовпчики таблиці позначаються \ Left (i, j \ right) , Де i - Номер рядка таблиці, в якій розташовується осередок, а j - Номер стовпця.

Отримана таблиця обходиться "змійкою" по наступному формальному алгоритму.

  • Якщо поточне положення \ Left (i, j \ right) таке, що i - непарне, а j = 1 , То наступним положенням вибирається \ Left (i +1, j \ right) .
  • Якщо поточне положення \ Left (i, j \ right) таке, що i = 1 , А j - Парне, то наступним положенням вибирається \ Left (i, j +1 \ right) .
  • Якщо для поточного становища \ Left (i, j \ right) сума індексів \ Left (i + j \ right) непарна, то таке положення - \ Left (i-1, j +1 \ right) .
  • Якщо для поточного становища \ Left (i, j \ right) сума індексів \ Left (i + j \ right) парна, то таке положення - \ Left (i +1, j-1 \ right) .

Ці правила проглядаються зверху вниз і таке положення вибирається по першому збігу.

У процесі такого обходу кожному новому раціональному числу ставиться у відповідність чергове натуральне число. Т. е. дробу 1 / 1 ставиться у відповідність число 1, дробу 2 / 1 - Число 2, і т. д. Треба відзначити, що нумеруються тільки нескоротного дробу. Формальною ознакою нескоротного є рівність одиниці найбільшого загального дільника чисельника і знаменника дробу.

Відповідно до цього алгоритму, можна занумерувати всі позитивні раціональні числа. Це означає, що безліч позитивних раціональних чисел \ Mathbb {Q} _ + лічильно. Легко встановити біекцію між множинами позитивних і негативних раціональних чисел, просто поставивши у відповідність кожному раціональному числу протилежне йому. Т. о. безліч негативних раціональних чисел \ Mathbb {Q} _- теж лічильно. Їх об'єднання \ Mathbb {Q} _ + \ cup \ mathbb {Q} _- також лічильно по властивості рахункових множин. Безліч же раціональних чисел \ Mathbb {Q} = \ mathbb {Q} _ + \ cup \ mathbb {Q} _-\ cup \ left \ {0 \ right \} теж лічильно як об'єднання рахункового безлічі з кінцевим.

Зрозуміло, існують і інші способи занумерувати раціональні числа. Наприклад, для цього можна скористатися такими структурами як дерево Калкіна - Уілфа, дерево Штерна - Броко або ряд Фаре.

Твердження про счетності безлічі раціональних чисел може викликати деяке здивування, тому що на перший погляд складається враження, що воно набагато ширший безлічі натуральних чисел. Насправді це не так і натуральних чисел вистачає, щоб занумерувати всі раціональні.


5. Недостатність раціональних чисел

Гіпотенуза такого трикутника не виражається ніяким раціональним числом

В геометрії наслідком так званої аксіоми Архімеда (у більш загальному розумінні, ніж згадано вище) є можливість побудови як завгодно малих (тобто, коротких) величин, які висловлюються раціональними числами вигляду 1 / n . Цей факт створює оманливе враження, що раціональними числами можна виміряти взагалі будь-які геометричні відстані. Легко показати, що це не вірно.

З теореми Піфагора відомо, що гіпотенуза прямокутного трикутника виражається як квадратний корінь суми квадратів його катетів. Т. о. довжина гіпотенузи рівнобедреного прямокутного трикутника з одиничним катетом дорівнює \ Sqrt {2} , Тобто числу, квадрат якого дорівнює 2.

Якщо припустити, що число \ Sqrt {2} представляється деяким раціональним числом, то знайдеться таке ціле число m і таке натуральне число n , Що \ Sqrt {2} = \ frac {m} {n} , Причому дріб \ Frac {m} {n} нескоротного, тобто числа m і n - Взаємно прості.

Якщо \ Sqrt {2} = \ frac {m} {n} , То 2 = \ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2} = \ frac {m} {n} \ cdot \ frac {m} {n} = \ frac {m ^ 2} {n ^ 2} , Т. е. m 2 = 2 n 2 . Отже, число m 2 парне, але твір двох непарних чисел непарне, що означає, що саме число m також парне. А значить знайдеться натуральне число k , Таке що число m можна представити у вигляді m = 2 k . Квадрат числа m в цьому сенсі m 2 = 4 k 2 , Але з іншого боку m 2 = 2 n 2 , Значить 4 k 2 = 2 n 2 , Або n 2 = 2 k 2 . Як уже показано раніше для числа m , Це означає, що число n - Парне, як і m . Але тоді вони не є взаємно простими, так як обидва діляться навпіл. Отримане протиріччя доводить, що \ Sqrt {2} не є раціональне число.

З вищесказаного випливає, що існують відрізки на площині, а, значить, і на числової прямої, які не можуть бути виміряні раціональними числами. Це призводить до можливості розширення поняття раціональних чисел до речових.


Примітки

  1. В. А. Ільїн , В. А. Садовничий , Бл.Х. Сенд . Глава 2. Речові всіх / / Математичний аналіз - sci-lib.com/book000401.html / Під ред. А. Н. Тихонова - 3-е изд. , Перераб. і доп. - М .: Проспект, 2006. - Т. 1. - С. 30 - 31. - 672 с. - ISBN 5-482-00445-7.

Література

  • І. Кушнір. Довідник з математики для школярів. - Київ: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
  • П. С. Александров. Введення в теорію множин і загальну топологію. - М.: голов. ред. фіз.-мат. лит. вид. "Наука", 1977
  • І. Л. Хмельницький. Введення в теорію алгебраїчних систем

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Раціональне неуцтво
e (число)
31 (число)
-1 (Число)
60 (число)
80 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru