Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Решітка (теорія множин)



План:


Введення

Грати, структура - частково упорядкований безліч, в якому кожне двоелементною підмножина має як точну верхню (sup), так і точну нижню (inf) межі. Звідси випливає існування цих граней для будь-яких непустих кінцевих підмножин.


1. Приклади

  1. множина всіх підмножин даної множини, впорядковане по включенню;
  2. всяке лінійно упорядкований безліч; причому якщо a \ leqslant b , То sup (a, b) = b, inf (a, b) = a ;
  3. множина всіх підпросторів векторного простору, упорядкованих за включення, де inf - Перетин, а sup - Сума відповідних підпросторів;
  4. безліч всіх невід'ємних цілих чисел, упорядкованих за подільності: a \ leqslant b , Якщо b = a c для деякого c . Тут sup - найменше спільне кратне, а inf - найбільший спільний дільник даних чисел;
  5. речові функції, визначені на відрізку [0, 1], впорядковані умовою f \ leqslant g , Якщо f (t) \ leqslant g (t) для всіх t \ in [0,1] . Тут
sup (f, g) = u , Де u (t) = max (f (t), g (t)) .

2. Алгебраїчне визначення

Решітка може бути також визначена як універсальна алгебра з двома бінарними операціями (вони позначаються + і ∙ чи \ Lor і \ Land ), Яка задовольняє таким тождествам

  1. a + a = a
    a \ cdot a = a ( ідемпотентность)
  2. a + b = b + a
    a \ cdot b = b \ cdot a ( комутативність)
  3. (A + b) + c = a + (b + c)
    (A \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) ( асоціативність)
  4. a \ cdot (a + b) = a
    a + a \ cdot b = a ( поглинання).

Зв'язок між цими двома визначеннями встановлюється за допомогою формул:

a + b = s u p (a, b), a \ cdot b = \ inf (a, b) ,

і назад. При цьому для будь-яких елементів a і b еквівалентні наступні твердження:

a \ leqslant b ;
a b = a ;
a + b = b .

Поняття ізоморфізму решіток як універсальних алгебр і як частково впорядкованих множин збігаються. Однак довільне изотони відображення решітки R в грати R ' не зобов'язане бути гомоморфізмом цих решіток як універсальних алгебр.


3. Пов'язані визначення

  • Підгратки - підмножина елементів решітки, замкнутий щодо операцій + і \ Cdot

4. Історія

Поява поняття "решітка" відноситься до середини XIX століття. Чітко його сформулював Р. Дедекинда в роботах 1894 і 1897 років. Термін "lattice", перекладений як "структура" був введений Біркгофом в 1933. В даний час в російській термінології (через багатозначності слова "структура") він витіснений перекладом "решітка". Історично роль теорії решіток пояснюється тим, що багато фактів, що стосуються безлічі ідеалів кільця і безлічі нормальних підгруп групи, виглядають аналогічно і можуть бути доведені в рамках теорії дедекіндових грат. Як самостійний напрям алгебри ця теорія сформувалася в 30-х роках XX століття. Найбільш важливі класи решіток, крім дедекіндових, - це повні решітки, дистрибутивні решітки і булеві алгебри.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорія множин
Кільце (теорія множин)
Континуум (теорія множин)
Теорія нечітких множин
Принцип подвійності (теорія множин)
Теорія нечітких множин (Заде)
Решітка
Кристалічна решітка
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru