Розподіл хі-квадрат

Розподіл \ Chi ^ 2 . Розподіл Пірсона
Щільність ймовірності
Chi-square distributionPDF.png
Функція розподілу
Chi-square distributionCDF.png
Позначення \ Chi ^ 2 (k) \, або \ Chi ^ 2_k \,
Параметри k> 0 \, - Число ступенів свободи
Носій x \ in [0; + \ infty) \,
Щільність ймовірності \ Frac {(1/2) ^ {k / 2}} {\ Gamma (k / 2)} x ^ {k / 2 - 1} e ^ {-x / 2} \,
Функція розподілу \ Frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} \,
Математичне сподівання k \,
Медіана приблизно k-2/3 \,
Мода k-2 \, якщо n \ geq 2 \,
Дисперсія 2 \, k \,
Коефіцієнт асиметрії \ Sqrt {8 / k} \,
Коефіцієнт ексцесу 12 / k \,
Інформаційна ентропія \ Frac {k} {2} \! + \! \ Ln \ left [2 \ Gamma \ left ({k \ over 2} \ right) \ right] \! + \! \ Left (1 \! - \! \ frac {k} {2} \ right) \ psi \ left (\ frac {k} {2} \ right)

\! \ Psi (x) = \ Gamma '(x) / \ Gamma (x).

Твірна функція моментів (1-2 \, t) ^ {-k / 2} , Якщо 2 \, t <1 \,
Характеристична функція (1-2 \, i \, t) ^ {-k / 2} \,


Розподіл \ Chi ^ 2 (Хі-квадрат) з k ступенями свободи - це розподіл суми квадратів kнезалежних стандартних нормальних випадкових величин.


1. Визначення

Нехай z_1, \ ldots, z_k - Спільно незалежні стандартні нормальні випадкові величини, тобто: z_i \ sim N (0,1) . Тоді випадкова величина

x = z_1 ^ 2 + \ cdots + z_k ^ 2

має розподіл хі-квадрат з k ступенями свободи, тобто x \ sim f_ {\ chi ^ 2 (k)} (x) .

Розподіл хі-квадрат є окремим випадком гамма-розподілу, і ЙОГО ЩІЛЬНІСТЬ має вигляд:

f_ {\ chi ^ 2 (k)} (x) \ equiv \ Gamma \! \ left ({k \ over 2}, {1 \ over 2} \ right) = \ frac {(1/2) ^ {k \ over 2}} {\ Gamma \! \ left ({k \ over 2} \ right)} \, x ^ {{k \ over 2} - 1} \, e ^ {- \ frac {x} {2 }} ,

де \ Gamma \! \ Left ({k / 2}, {1/2} \ right) означає Гамма-розподіл, а \ Gamma \! \ Left ({k / 2} \ right) - Гамма-функцію.

Функція розподілу має такий вигляд:

F_ {\ chi ^ 2 (k)} (x) = \ frac {\ gamma \ left ({k \ over 2}, {x \ over 2} \ right)} {\ Gamma \ left ({k \ over 2 } \ right)} ,

де \ Gamma і \ Gamma позначають відповідно повну і неповну гамма-функції.


2. Властивості розподілу хі-квадрат

\! Y_1 + Y_2 \ sim \ chi ^ 2 (k_1 + k_2) .
  • З визначення легко отримати моменти розподілу хі-квадрат. Якщо Y \ sim \ chi ^ 2 (k) , То
\ Mathbb {E} [Y] = k ,
\! \ Mathrm {D} [Y] = 2k .
\ Frac {Y-k} {\ sqrt {2k}} \ to N (0,1)з розподілу при k \ to \ infty .

3. Зв'язок з іншими розподілами

  • Якщо X_1, \ ldots, X_k незалежні нормальні випадкові величини, тобто: \, X_i \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2), \; i = 1, \ ldots, k; \; \ mu відомо, то випадкова величина
\, Y = \ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {X_i - \ mu} {\ sigma} \ right) ^ 2

має розподіл \ Chi ^ 2 (k) .

\ Chi ^ 2 (2) \ equiv \ mathrm {Exp} (1/2) .
  • Якщо \, Y_1 \ sim \ chi ^ 2 (k_1) і \, Y_2 \ sim \ chi ^ 2 (k_2) , То випадкова величина
F = \ frac {Y_1/k_1} {Y_2 / k_2}

має розподіл Фішера зі ступенями свободи \! (K_1, k_2) .


4. Процентилі

5. Історія

Критерій χ був запропонований Карлом Пірсоном (Pearson) в 1900. [1] Його робота розглядається як фундамент сучасної математичної статистики. Попередники Пірсона просто будували графіки експериментальних результатів і стверджували, що вони правильні. У своїй статті Пірсон навів кілька цікавих прикладів зловживань статистикою. Він також довів, що деякі результати спостережень за рулеткою (на якій він проводив експерименти протягом двох тижнів у Монте-Карло в 1892) були так далекі від очікуваних частот, що шанси отримати їх знову при припущенні, що рулетка влаштована сумлінно, рівні одному з 10 29!

Загальне обговорення критерію χ і велику бібліографію можна знайти в оглядовій роботі Вільяма Дж. Кокрен. [2]


Примітки

  1. Karl Pearson. "On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling". Philosophical Magazine, Series 5 50 (302): 157 - 175. DOI : 10.1080/14786440009463897 - dx.doi.org/10.1080/14786440009463897.
  2. William G. Cochran (1952). " The χ2 Test of Goodness of Fit - www.jstor.org/stable/2236678 ". Annals Math. Stat. 23 (3): 315-345.
Bvn-small.png п про р Імовірнісні розподілу
Одномірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | биномиальное | геометричне | гіпергеометричні | логарифмічне | негативне биномиальное | Пуассона | дискретне рівномірне мультіноміальное
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненціальное | Колмогорова | Коші | Лапласа | логнормальний | нормальне (Гауса) | логістичне | Накагамі | Парето | напівкруговими | безперервне рівномірне | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | variance-gamma багатовимірне нормальне | копула