Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ротор (математика)



План:


Введення

Ротор, або вихор - векторний диференціальний оператор над векторним полем.

Позначається

\ Operatorname {rot} (В російськомовній літературі) або
\ Operatorname {curl} (В англомовній літературі),
а також - як векторне множення диференціального оператора Набла на векторне поле:
\ Mathbf {\ nabla} \ times.

Результат дії цього оператора на конкретне векторне поле F називається ротором поля F або, коротше, просто ротором F і являє собою нове векторне [1] поле:

\ Operatorname {rot} \, \ mathbf F \ equiv \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F}.

Поле rot F (довжина і напрям вектора rot F в кожній точці простору) характеризує в певному сенсі [2] обертальну складову поля F відповідно в кожній точці.


1. Інтуїтивний образ

Якщо v (x, y, z) - поле швидкості руху газу (або течії рідини), то rot v - вектор, пропорційний вектору кутової швидкості дуже маленькою і легкою порошинки (або кульки), що знаходиться в потоці (і увлекаемого рухом газу або рідини ; хоча центр кульки можна при бажанні закріпити, аби він міг навколо нього вільно обертатися).

Конкретно rot v = 2 ω, де ω - ця кутова швидкість.

Ця аналогія може бути сформульована цілком строго (див. нижче). Основне визначення через циркуляцію можна вважати еквівалентним отриманого таким чином.


2. Математичне визначення

Ротор \ Operatorname {rot} \, \ mathbf a векторного поля \ Mathbf a - Є вектор, проекція якого \ Operatorname {rot} _ \ mathbf n \ mathbf a на кожен напрямок n є межа відносини циркуляції векторного поля по контуру L, що є краєм плоскої площадки Δ S, перпендикулярної цьому напрямі, до величини цього майданчика, коли розміри майданчика прагнуть до нуля, а сама майданчик стягується в точку:

\ Operatorname {rot} _ \ mathbf n \ mathbf a = \ lim_ {\ Delta S \ to 0} \ frac {\ oint \ limits_ {L} \ mathbf {a \ cdot \, dr}} {\ Delta S} .

Напрямок обходу контуру вибирається так, щоб, якщо дивитися в напрямку \ Mathbf n , Контур L обходився за годинниковою стрілкою [3].

У тривимірної декартовій системі координат ротор (відповідно до визначення вище) обчислюється таким чином (тут F - позначено якесь векторне поле з декартовими компонентами F x, F y, F z ; I, j, k - орти декартових координат):

\ Operatorname {rot} \; (F_x \ mathbf i + F_y \, \ mathbf j + F_z \ mathbf k) = \ left (\ frac {\ partial F_z} {\ partial y} - \ frac {\ partial F_y} { \ partial z} \ right) \ mathbf i + \ left (\ frac {\ partial F_x} {\ partial z} - \ frac {\ partial F_z} {\ partial x} \ right) \ mathbf j + \ left (\ frac { \ partial F_y} {\ partial x} - \ frac {\ partial F_x} {\ partial y} \ right) \ mathbf k.

або

(\ Operatorname {rot} \; \ mathbf F) _x = \ partial_y F_z - \ partial_z F_y \ equiv \ frac {\ partial F_z} {\ partial y} - \ frac {\ partial F_y} {\ partial z}
(\ Operatorname {rot} \; \ mathbf F) _y = \ partial_z F_x - \ partial_x F_z \ equiv \ frac {\ partial F_x} {\ partial z} - \ frac {\ partial F_z} {\ partial x}
(\ Operatorname {rot} \; \ mathbf F) _z = \ partial_x F_y - \ partial_y F_x \ equiv \ frac {\ partial F_y} {\ partial x} - \ frac {\ partial F_x} {\ partial y}

(Що можна вважати альтернативним визначенням, по суті збігається з визначенням на початку параграфа, принаймні за умови діфференцируємості компонент поля).


Для зручності можна формально представляти ротор як векторне твір оператора Набла (ліворуч) і векторного поля:

\ Operatorname {rot} \; \ mathbf {F} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F} = \ begin {pmatrix} \ frac {\ partial} {\ partial x} \ \ \ \ \ frac { \ partial} {\ partial y} \ \ \ \ \ frac {\ partial} {\ partial z} \ end {pmatrix} \ times \ mathbf F = \ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \ \ \ \ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \ \ \ \ F_x & F_y & F_z \ end {vmatrix}.

2.1. Пов'язані визначення

Векторне поле, ротор якого дорівнює нулю в будь-якій точці, називається потенційним (безвіхревим).

Трохи докладніше про взаємну обумовленості потенційності і безвіхревое характеру поля - см. нижче (Основні властивості).

2.2. Узагальнення

Найбільш пряме узагальнення ротора стосовно векторним (і псевдовекторним) полям, визначеним на просторах довільної розмірності (за умови збігу розмірності простору з розмірністю вектора поля) таке

(\ Operatorname {rot} \; \ mathbf F) _ {12} = \ left (\ frac {\ partial F_2} {\ partial x_1} - \ frac {\ partial F_1} {\ partial x_2} \ right)
(\ Operatorname {rot} \; \ mathbf F) _ {13} = \ left (\ frac {\ partial F_3} {\ partial x_1} - \ frac {\ partial F_1} {\ partial x_3} \ right)
(\ Operatorname {rot} \; \ mathbf F) _ {23} = \ left (\ frac {\ partial F_3} {\ partial x_2} - \ frac {\ partial F_2} {\ partial x_3} \ right)

...

або

(\ Operatorname {rot} \; \ mathbf F) _ {mn} = \ partial_m F_n - \ partial_n F_m \ equiv \ frac {\ partial F_n} {\ partial x_m} - \ frac {\ partial F_m} {\ partial x_n }

при індексах m і n від 1 до розмірності простору.

Це ж може бути записано як зовнішнє твір :

\ Operatorname {rot} \; \ mathbf F = \ nabla \ wedge \ mathbf F.
  • При цьому ротор є антисиметричною [4] тензорне поле валентності два.
  • У разі розмірності 3 згортка цього тензора з символом Леві-Чивіти дає звичайне визначення тривимірного ротора, наведене в статті вище.
  • Для двовимірного простору може бути вдобавок при бажанні використана аналогічна формула з Псевдоскалярним твором (такий ротор буде псевдоскаляром, що збігається з проекцією традиційного векторного твори на вісь, ортогональну даному двовимірному просторі - якщо вважати при цьому двовимірне простір вкладеним в якесь тривимірне, щоб традиційне векторне твір мав сенс).

3. Фізична інтерпретація

По теоремі Коші-Гельмгольца розподіл швидкостей суцільного середовища поблизу точки О задається рівнянням

\ Mathbf {v} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {v} _ {O} + \ mathbf {\ omega} \ times \ mathbf {r} + \ nabla \ varphi + o (\ mathbf {r}) ,

де \ Mathbf {\ omega} - Вектор кутового обертання елемента середовища в точці О, а \ Varphi - квадратична форма від координат - потенціал деформації елемента середовища.

Таким чином, рух суцільного середовища поблизу точки О складається з поступального руху (вектор \ Mathbf {v} _ {O} ), Обертального руху (вектор \ Mathbf {\ omega} \ times \ mathbf {r} ) І потенційного руху - деформації (вектор \ Nabla \ varphi ). Застосовуючи до формули Коші-Гельмгольца операцію ротора, отримаємо, що в точці О справедливо рівність \ Operatorname {rot} ~ \ mathbf {v} = 2 \ mathbf {\ omega}, і, отже, можна зробити висновок, що коли мова йде про векторному полі, що є полем швидкостей деякої середовища, ротор цього векторного поля в заданій точці дорівнює подвоєному вектору кутового обертання елемента середовища з центром в цій точці.

В якості інтуїтивного образу, як це описано вище, тут можна використовувати уявлення про обертання кинутої в потік маленької порошинки (увлекаемой потоком з собою, без його помітного обурення) або про обертання поміщеного в потік із закріпленою віссю маленького (без інерції, що обертається потоком, помітно не спотворюючи його) колеса з прямими (не гвинтовими) лопатями. Якщо те чи інше при погляді на нього обертається проти годинникової стрілки, то це означає, що вектор ротора поля швидкості потоку в даній точці має позитивну проекцію в напрямку на нас.


4. Основні властивості

4.1. Властивості, безпосередньо одержувані зі звичайних правил диференціювання

  • Лінійність:
\ Operatorname {rot} \; (a \ mathbf {F} + b \ mathbf {G}) = a \; \ operatorname {rot} ~ \ mathbf {F} + b \; \ operatorname {rot} ~ \ mathbf { G}

для будь-яких векторних полів F і G і для будь-яких постійних чисел a і b.

  • Якщо \ Varphi - Скалярний поле, а F - векторне, тоді:
\ Operatorname {rot} ~ \ varphi \ mathbf {F} = \ operatorname {grad} ~ \ varphi ~ \ times \ mathbf {F} + \ varphi \; \ operatorname {rot} ~ \ mathbf {F},

або

\ Nabla \ times (\ varphi \ mathbf {F}) = (\ nabla \ varphi) \ times \ mathbf {F} + \ varphi \; (\ nabla \ times \ mathbf {F}).
\ Operatorname {div} ~ \ operatorname {rot} ~ \ mathbf {F} = 0 або \ Nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {F}) = 0.

При цьому вірно і зворотне: якщо поле F бездівергентно, воно вихор деякого поля G ( векторного потенціалу):

\ Operatorname {div} ~ \ mathbf {F} = 0 \ Rightarrow \ mathbf {F} = \ operatorname {rot} ~ \ mathbf {G}.
  • Якщо поле F потенційно, його ротор дорівнює нулю (поле F - безвіхревое):
\ Mathbf {F} = \ operatorname {grad} ~ \ varphi \ Rightarrow \ operatorname {rot} ~ \ mathbf {F} = 0

Вірно і зворотне: якщо поле безвіхревое, то воно потенційно:

\ Operatorname {rot} ~ \ mathbf {F} = 0 \ Rightarrow \ mathbf {F} = \ operatorname {grad} ~ \ varphi

для деякого скалярного поля \ Varphi \ (Тобто знайдеться таке \ Varphi \ , Що F буде його градієнтом).

  • (Слідство з властивостей вище): два (і скільки завгодно) різних векторних поля можуть мати однаковий ротор. При цьому відрізнятися вони будуть обов'язково на безвіхревое поле, тобто на градієнт деякого скалярного поля.
  • Ротор ротора дорівнює градієнту дивергенції мінус лапласіан:
\ Operatorname {rot} ~ \ operatorname {rot} ~ \ mathbf {F} = \ operatorname {grad} ~ \ operatorname {div} ~ \ mathbf {F} - \ Delta \ mathbf {F}

4.2. Теорема Стокса

Циркуляція вектора по замкнутому контуру, що є кордоном деякої поверхні, дорівнює потоку ротора цього вектора через цю поверхню:

\ Oint \ limits_ {\ partial S} \ mathbf {F} \ cdot \, \ mathbf {dl} = \ int \ limits_S (\ operatorname {rot} ~ \ mathbf {F}) \ cdot \, \ mathbf {dS}

5. Ротор в ортогональних криволінійних координатах

\ Operatorname {rot} \; \ mathbf {A} = \ operatorname {rot} \; (\ mathbf {q_1} A_1 + \ mathbf {q_2} A_2 + \ mathbf {q_3} A_3) = \ frac {1} {H_2H_3 } \ left [\ frac {\ partial} {\ partial q_2} (A_3H_3) - \ frac {\ partial} {\ partial q_3} (A_2H_2) \ right] \ mathbf {q_1} +

+ \ Frac {1} {H_3H_1} \ left [\ frac {\ partial} {\ partial q_3} (A_1H_1) - \ frac {\ partial} {\ partial q_1} (A_3H_3) \ right] \ mathbf {q_2} + \ frac {1} {H_1H_2} \ left [\ frac {\ partial} {\ partial q_1} (A_2H_2) - \ frac {\ partial} {\ partial q_2} (A_1H_1) \ right] \ mathbf {q_3},

де H i - коефіцієнти Ламе.


6. Приклади

  • У цьому розділі будемо використовувати для одиничних векторів по осях (прямокутних) декартових координат використовувати позначення \ Mathbf e_x, \ mathbf e_y, \ mathbf e_z.

6.1. Простий приклад

Uniform curl.svg

Розглянемо векторне поле F, залежне від координат x і y так:

\ Mathbf {F} (x, y) = y \ mathbf e_x - x \ mathbf e_y .
  • У відношенні цього прикладу неважко помітити, що \ Mathbf {F} = \ mathbf \ omega \ times \ mathbf r , Де r - радіус-вектор, а \ Omega = -1 \ mathbf e_z , Тобто поле F можна розглядати як поле швидкостей точок твердого тіла, що обертається з одиничною за величиною кутовий швидкістю, спрямованої в негативному напрямку осі z (тобто за годинниковою стрілкою, якщо дивитися "зверху" - проти осі z). Інтуїтивно більш-менш очевидно, що поле закручено за годинниковою стрілкою. Якщо ми помістимо колесо з лопатями в рідину, що тече з такими швидкостями (тобто врящающуюся як ціле за годинниковою стрілкою), в будь-яке місце, ми побачимо, що воно почне обертатися за годинниковою стрілкою. (Для визначень використовуємо, як звичайно, правило правої руки або правого гвинта).
  • z-компоненту поля F будемо вважати рівною нулю. Однак якщо вона ненульова, але постійна (або навіть залежить тільки від z) - результат для ротора, одержуваний нижче, буде тим же.

Обчислимо ротор:

\ Mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F} = 0 \ mathbf e_x + 0 \ mathbf e_y + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x}} (-x) - {\ frac {\ partial } {\ partial y}} y \ right] \ mathbf e_z = -2 \ mathbf e_z

Як і припустили, напрямок співпало з негативним напрямом осі z. В даному випадку ротор виявився константою, тобто поле \ Mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F} виявилося однорідним, не залежних від координат (що природно для обертання твердого тіла). Що чудово,

  • кутова швидкість обертання рідини, обчислена з ротора і опинилася рівною точно rot \ mathbf F / 2 , Точно збіглася з тим, що зазначено в параграфі Фізична інтерпретація, тобто цей приклад є хорошою ілюстрацією наведеного там факту. (Звичайно ж, обчислення, повністю повторюють наведені вище, але тільки для непоодинокий кутовий швидкості, дають той же результат \ Mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F} = 2 \ omega ).

Кутова швидкість обертання в даному прикладі одна і та ж в будь-якій точці простору (кут повороту пилинки, приклеєною до твердого тіла не залежить від того місця, де саме приклеїти порошинку). Графік ротора F тому не надто цікавий:

Curl of uniform curl.png

6.2. Більш складний приклад

Тепер розглянемо трохи більш складне векторне поле:

F (x, y) =-x ^ 2 \ mathbf e_y .

Його графік:

Nonuniformcurl.JPG

Ми можемо не побачити ніякого обертання, але, подивившись уважніше направо, ми бачимо більше поле в, наприклад, точці x = 4, ніж в точці x = 3. Якби ми встановили маленьке колесо з лопатями там, більший потік на правій стороні змусив би колесо обертатися за годинниковою стрілкою, що відповідає вгвинчування в напрямку - z. Якби ми розташували колесо в лівій частині поля, більший потік на його лівій стороні змусив би колесо обертатися проти годинникової стрілки, що відповідає вгвинчування в напрямку + z. Перевіримо нашу здогадку за допомогою обчислення:

\ Mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F} = 0 \ mathbf e_x + 0 \ mathbf e_y + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (-x ^ 2) \ mathbf e_z =-2x \ mathbf e_z

Дійсно, вгвинчування відбувається в напрямку + z для негативних x і - z для позитивних x, як і очікувалося. Так як цей ротор не однаковий у кожній точці, його графік виглядає трохи цікавіше:

Ротор F з площиною x = 0, виділеної темно-синім кольором

Можна помітити, що графік цього ротора не залежить від y або z (як і має бути) і спрямований по - z для позитивних x і в напрямку + z для негативних x.


6.3. Три загальних прикладу

Розглянемо приклад [v F]. Використовуючи прямокутну систему координат, можна показати, що

\ Mathbf {\ nabla \ times} \ left (\ mathbf {v \ times F} \ right) = \ left [\ left (\ mathbf {\ nabla \ cdot F} \ right) + \ mathbf {F \ cdot \ nabla } \ right] \ mathbf {v} - \ left [\ left (\ mathbf {\ nabla \ cdot v} \ right) + \ mathbf {v \ cdot \ nabla} \ right] \ mathbf {F} \.

Якщо v і поміняти місцями:

\ Mathbf {v \ \ times} \ left (\ mathbf {\ nabla \ times F} \ right) = \ nabla_F \ left (\ mathbf {v \ cdot F} \ right) - \ left (\ mathbf {v \ cdot \ nabla} \ right) \ mathbf {F} \,

що є Фейнмановськие записом з нижнім індексом F, що означає, що градієнт з індексом F відноситься тільки до F.

Інший приклад [∇ F]. Використовуючи прямокутну систему координат, можна показати, що:

\ Nabla \ times \ left (\ mathbf {\ nabla \ times F} \ right) = \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla \ cdot F}) - \ nabla ^ 2 \ mathbf {F} \,

що можна вважати окремим випадком першого прикладу з підстановкою v∇.


6.4. Пояснюють приклади

  • В смерчі вітри обертаються навколо центру, і векторне поле швидкостей вітру має ненульовий ротор (десь) в центральній області. (Див. Вихровий рух).
  • Для векторного поля v швидкостей руху точок обертового твердого (абсолютно твердого) тіла, rot v однаковий усюди за обсягом цього тіла і дорівнює (вектору) подвоєною кутовий швидкості обертання (докладніше - див вище).
  • Якби швидкості автомобілів на трасі описувалися векторним полем, і різні смуги мали різні обмеження по швидкості руху, ротор на кордоні між смугами був би ненульовим.
  • Закон електромагнітної індукції Фарадея, одне з рівнянь Максвелла, просто записується (в диференціальної формі) через ротор: ротор електричного поля дорівнює швидкості зміни магнітного поля (з часом), взятої з протилежним знаком.
  • Четверте рівняння Максвелла - закон Ампера - Максвелла також записується в диференціальної формі з використанням ротора: ротор напруженості магнітного поля дорівнює сумі густин струму звичайного і струму зміщення. [5]

6.5. Важливий контрінтуітівное приклад

Досить важливо мати на увазі, що в принципі (хоча й далеко не завжди) напрям ротора може не відповідати напрямку обертання поля (будемо говорити для конкретності про поле швидкостей рідини), яке здається очевидним у напрямку викривлення ліній струму. Він може навіть мати протилежний напрямок (а в окремому випадку ротор може виявитися рівним нулю, хоча лінії струму загинаються або навіть являють собою точні кола).

Справа в тому, що ротор може бути представлений як сума двох доданків, одне з яких завив від кривизни ліній струму, а друге від завівімості швидкості течії від перпендикулярної (в даній точці) швидкості течії координати.

Розглянемо приватний, але добре ілюструє сказане приклад. Нехай поле швидкості течії рідини v таке, що на будь-якому фіксованому відстані r від деякого фіксованого центру (помістимо туди для зручності і початок координат) - рідина тече точно по окружності з центром на початку координат і радіусом r (будемо для стислості говорити в двовимірних термінах; для переходу до тривимірної формулюванні цього прикладу треба замінити слово "центр" на слово "вісь").

Нехай швидкість руху по кожній такій кола (рівна) залежить тільки від r:

v \ equiv | \ mathbf v | = v (r). Нехай напрямок обертання - проти годинникової стрілки (кутова швидкість - вздовж осі z).

Нам буде досаточно обчислити ротор тільки уздовж осі x. Для цього виразимо v (його компоненти) через координати поблизу осі x.

v_x = - v (x) y / x, \
v_y = v (x). \

(Зважаючи на те, що поблизу осі x можемо вважати, що координата y << x, а при диференціюванні нам потрібен буде тільки перший порядок, ми відкинули всі, менше y / x, і скористалися тим, що внаслідок цього x ≈ r).

Обчислимо тепер прямо компоненту ротора на вісь z:

(Rot \ \ mathbf v) _z = \ partial_x v_y - \ partial_y v_x,

що дасть, якщо підставити сюди v x, v y наведені вище,

(Rot \ \ mathbf v) _z = d v (x) / dx + v (x) / x.

Звідси видно, що

  • Якщо v (r) ~ 1 / r, то rot v = 0.
  • Eсли v (r) зменшується з r швидше, ніж 1 / r, то проекція ротора на вісь z негативна! (Це і є контрінтуітівное приклад).

Таким чином, ми бачимо, що в принципі просто з того, куди закручені лінії струму не очевидно, куди спрямований ротор такого перебігу. Тобто не очевидно, в який бік будуть обертатися порошинки в такому потоці. Зате досить ясно, що якщо десь є дуже різке спадання v (r), то напрям ротора в цьому місці буде направоено проти того, яке відповідає напрямку закручування ліній струму.

Цей приватний приклад означає, що і в загальному випадку однозначної зв'язку між напрямком закручування ліній поля і напрямом вектора його ротора - ні.

Необхідно проте зробити два застереження:

  1. все сказане не означає, що однозначної зв'язку між напрямком закручування ліній поля і напрямом вектора ротора цього поля не може бути для якихось конкретних полів (підкоряються певним рівнянням) і навіть, можливо, для більшості практично важливих полів в простих ситуаціях. Однак якщо такий зв'язок для якихось (і навіть для багатьох) полів має місце, то
    1. по-перше, це є наслідок не визначення ротора, а інших рівнянь (які можуть бути справедливі для якогось конкретного поля і якоїсь конкретної ситуації, а можуть - для інших полів ситуацій - і не бути),
    2. по-друге, навіть якщо ці інші рівняння в простому випадку дадуть такий зв'язок, то при ускладненні ситуації вона може пропасти. Наприклад, при переході від випадку однорідної середовища до неоднорідною; так, навіть якщо для однорідної рідини в нескінченному вільному просторі така срязь мала б місце, то для обертання рідини в нерухомому посудині, скажімо круглому склянці, очевидно поблизу стінок ротор буде протилежний напрямку обертання рідини в цілому.
  2. виходячи з теореми Стокса можна утверждять, що якщо (наприклад) рідину обертається по колу, то десь всередині цього кола є точки, в яких ротор має знак (напрям), що співпадає з напрямком циркуляції рідини. У нашому прикладі бистроубивающего v (r), розглянутому вище в цьому розділі, така область знаходиться поблизу центру (в граничному випадку - в самому центрі ротор навіть стає нескінченним). Проте ми стверджуємо (як це й видно з прикладу), що це збіг не зобов'язана існувати ні поблизу даної точки, ні навіть скрізь всередині кола даного радіуса (а лише десь всередині неї, хоча інтергал по всій її нутрощі і дасть таки це збіг , тобто "в середньому" - напрям збігається, а проте в більшості точок - може бути і протилежним).

Примітки

  1. Точніше - якщо F - псевдовекторное поле, то rot F - звичайне векторне поле (вектор rot F - полярний), і навпаки, якщо поле F - поле звичайного (полярного) вектора, то rot F - псевдовекторное поле.
  2. Див далі.
  3. Звичайне угоду, узгоджене з визначенням через векторний твір з оператором Набла.
  4. Те, що тензор антісімметрічен, очевидно безпосередньо з визначення.
  5. Математичний словник вищої школи. В. Т. Водна, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
РОТОР
Ротор (техніка)
Математика
E6 (математика)
E8 (математика)
F4 (математика)
G2 (математика)
Рівність (математика)
Оптимізація (математика)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru