Ряд Діріхле

Поруч Діріхле називається ряд виду

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a_n} {n ^ s},

де s і a n - комплексні числа, n = 1, 2, 3, ....


Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число \ Sigma_c , Що при \ Operatorname {Re} \, s> \ sigma_c він сходиться; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число \ Sigma_a , Що при \ Operatorname {Re} \, s> \ sigma_a ряд сходиться абсолютно. Для будь-якого ряду Діріхле справедливо співвідношення 0 \ leqslant \ sigma_a-\ sigma_c \ leqslant 1 (Якщо \ Sigma_c і \ Sigma_a кінцеві).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найбільш поширеним прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Дирихле. Ряд названий на честь Густава Діріхле.


Приклади

\ Zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ s},

Де \ Zeta (s) - дзета-функція Рімана.

\ Frac {1} {\ zeta (s)} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ mu (n)} {n ^ s}

де μ (n) - функція Мебіуса.

\ Frac {1} {L (\ chi, s)} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ mu (n) \ chi (n)} {n ^ s}

де L (\ chi, s) - L-функція Дирихле.

\ Operatorname {Li} _s (z) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty {z ^ n \ over n ^ s}. ,

де Li s (z) - полілогаріфм.