Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ряд Лорана



Ряд Лорана - двосторонньо нескінченний степеневий ряд по цілим ступенями (Z - a) , Тобто ряд виду

\ Sum_ {n \ in \ Z} a_n (z-a) ^ n

Цей ряд розуміється як сума двох рядів:

  1. \ Sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (z-a) ^ n - Позитивна частина ряду Лорана (іноді називається правильною) і
  2. \ Sum_ {n =- \ infty} ^ {-1} {a_ {n}} {(z-a) ^ n} - Негативна частина ряду Лорана (іноді називається головною).

При цьому ряд Лорана вважається сходящимся тоді і тільки тоді, коли сходяться його правильна і головна частини. Термін названий на честь французького математика П. А. Лорана.


Властивості

  • Якщо внутрішність області збіжності ряду Лорана непорожній, то вона являє собою круговий кільце
D = \ {z \ in \ mathbb C \ mid r <| z-a | <R <\ infty \}
  • У всіх точках свого кільця збіжності D ряд Лорана сходиться абсолютно;
  • Як і для статечних рядів, поведінка ряду Лорана в точках граничних кіл кільця збіжності може бути найрізноманітнішим;
  • На будь-якому компактному підмножині K \ subset D ряд сходиться рівномірно;
  • Сума ряду Лорана в D є аналітична функція f (z) ;
  • Ряд Лорана можна диференціювати й інтегрувати в D почленно;
  • Розклад в ряд Лорана єдино, тобто якщо суми двох рядів Лорана збігаються в D , То збігаються і всі коефіцієнти цих рядів.
  • Коефіцієнти a n ряду Лорана визначаються через його суму f (z) формулами
a_n = \ frac1 {2 \ pi i} \ int \ limits_ \ gamma \ frac {f (z) \, dz} {(z-z_0) ^ {n +1}} = \ frac {f ^ {(n) } (z_0)} {n!}
де γ (t) = a + ρ e i t , t \ in [0,2 \ pi] , r - Будь-яка коло з центром a, розташована усередині кільця збіжності.

Теорема Лорана

Застосування рядів Лорана засновано головним чином на наступній теоремі Лорана:

Будь однозначна аналітична функція f (z) в кільці D = \ {z \ in \ mathbb C \ mid r <| z-a | <R <\ infty \} представима в D сходящимся поруч Лорана.

Зокрема, в проколеної околиці

D = \ {z \ in \ mathbb C \ mid 0 <| z + b-a | <R <\ infty \}

ізольованою особливої ​​точки a однозначна аналітична функція f (z) представима поруч Лорана, який служить основним інструментом дослідження її поведінки в околиці ізольованою особливої ​​точки.

Тип особливої ​​точки визначається головною частиною низки Лорана в кільці з центром в цій точці:


Література

  • Шабат Б. В. Введення в комплексний аналіз - М .: Наука, 1969. - 577 с.
  • Тітчмарш Є. Теорія функцій: Пер. з англ - 2-е изд., перераб. - М .: Наука, 1980. - 464 с.
  • Привалов І. І. Введення в теорію функцій комплексного змінного: Посібник для вищої школи - М.-Л.: Державне видавництво, 1927. - 316 с.
  • Євграфов М. А. Аналітичні функції - 2-е изд., Перераб. і дополн. - М .: Наука, 1968. - 472 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ряд
Числовий ряд
Гармонійний ряд
Функціональний ряд
Часовий ряд
Телескопічний ряд
Гомологічний ряд
Ряд Діріхле
Ряд Штурма
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru