Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ряд Тейлора



План:


Введення

Ряд Тейлора - розкладання функції в нескінченну суму статечних функцій.

Ряд названий на честь англійського математика Брука Тейлора, хоча ряд Тейлора був відомий задовго до публікацій Тейлора - його використовували ще в XVII столітті Грегорі, а також Ньютон.

Ряди Тейлора застосовуються при апроксимації функції многочленами. Зокрема, лінеаризація рівнянь відбувається шляхом розкладання в ряд Тейлора і відсікання всіх членів вище першого порядку.


1. Визначення

Нехай функція f (x) нескінченно дифференцируема в деякій околиці точки a . Формальний ряд

\ Sum_ {k = 0} ^ \ infty {f ^ {(k)} (a) \ over k!} (x - a) ^ k

називається рядом Тейлора функції f в точці a .

2. Пов'язані визначення

  • У випадку, якщо a = 0 , Цей ряд також називається поруч Маклорена.

3. Властивості

  • Якщо f є аналітична функція, то її ряд Тейлора в будь-якій точці a області визначення f сходиться до f в деякій околиці a .
  • Існують нескінченно диференційовних функції, ряд Тейлора яких сходиться, але при цьому відрізняється від функції в будь-який околиці a . Наприклад, Коші запропонував такий приклад:
    f (x) = \ left \ {\ begin {matrix} 0, & \ \ x = 0 \ \ e ^ {- \ frac {1} {x ^ 2}} & \ \ x \ not = 0 \ end { matrix} \ right., \ \ a = 0.

У цієї функції всі похідні в нулі дорівнюють нулю, тому коефіцієнти ряду Тейлора в точці a = 0 дорівнюють нулю.


3.1. Формула Тейлора

Формула Тейлора використовується при доказі великого числа теорем в диференціальному обчисленні. Говорячи нестрого, формула Тейлора показує поводження функції в околиці деякої точки.

Теорема:

тоді: \ Exists точка \ Xi \ in (x, a) при x або \ Xi \ in (a, x) при x> a :

f (x) = f (a) + \ sum_ {k = 1} ^ n {f ^ {(k)} (a) \ over k!} (x - a) ^ k + \ left ({x - a \ over x - \ xi} \ right) ^ p {(x - \ xi) ^ {n +1} \ over n! p} f ^ {(n +1)} (\ xi)


Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі (форма Шлемільха - Роша).


3.2. Різні форми залишкового члена

У формі Лагранжа :

R_ {n +1} (x) = {(x - a) ^ {n +1} \ over (n +1)!} F ^ {(n +1)} [a + \ theta (x - a) ] \ qquad p = n +1; \ qquad 0 <\ theta <1

У формі Коші :

R_ {n +1} (x) = {(x - a) ^ {n +1} (1 - \ theta) ^ n \ over n!} f ^ {(n +1)} [a + \ theta ( x - a)] \ qquad p = 1; \ qquad 0 <\ theta <1

Послабимо припущення:

  • Нехай функція f (x) має n - 1 похідну в деякій околиці точки a
  • І n похідну в самій точці a , Тоді:
R_ {n +1} (x) = o [(x - a) ^ n] ~ - Залишковий член в асимптотичної формі (у формі Пеано, в локальній формі)

4. Ряди Маклорена деяких функцій

Експонента :

\ Mathrm {e} ^ {x} = 1 + \ frac {x} {1!} + \ Frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 3} {3!} + \ Cdots = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ n} {n!}, x \ in \ mathbb {C}

Натуральний логарифм :

\ Ln (1 + x) = x - \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} - \ cdots = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(-1) ^ nx ^ {n +1}} {n +1} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {(- 1) ^ {n +1} x ^ n} {n}, для всіх \ Left | x \ right | <1

Біноміальний розкладання :

(1 + x) ^ \ alpha = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} {\ alpha \ choose n} x ^ n, для всіх \ Left | x \ right | <1 і всіх комплексних ~ \ Alpha, де

{\ Alpha \ choose n} = \ prod_ {k = 1} ^ n \ frac {\ alpha-k +1} k = \ frac {\ alpha (\ alpha-1) \ cdots (\ alpha-n +1) } {n!} \!

Зокрема:

\ Sqrt {1 + x} = 1 + \ frac {x} {2} - \ frac {x ^ 2} {8} + \ frac {x ^ 3} {16} - \ cdots = \ sum_ {n = 0 } ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n (2n )!}{( 1-2n) n! ^ 24 ^ n} x ^ n, для всіх | X | <1 \!
\ Frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} x ^ n, для всіх | X | <1
  • Кінцевий геометричний ряд:
\ Frac {1-x ^ {m + 1}} {1-x} = \ sum ^ {m} _ {n = 0} x ^ n, для всіх x \ not = 1, \ m \ in \ mathbb {N} _0 \!

Тригонометричні функції :

\ Sin x = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} - \ Cdots \ = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac { (-1) ^ n} {(2n +1)!} x ^ {2n +1}, x \ in \ mathbb {C}
\ Cos x = 1 - \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} - \ Cdots = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {( -1) ^ n} {(2n)!} x ^ {2n}, x \ in \ mathbb {C}
\ Operatorname {tg} \ x = x + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {2 x ^ 5} {15} + \ cdots = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {B_ {2n} (-4) ^ n (1-4 ^ n)} {(2n)!} x ^ {2n-1}, для всіх \ Left | x \ right | <\ frac {\ pi} {2}, де B 2 n - Числа Бернуллі
\ Sec x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(-1) ^ n E_ {2n}} {(2n)!} X ^ {2n} для всіх \ Left | x \ right | <\ frac {\ pi} {2}
\ Arcsin x = x + \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {3x ^ 5} {40} + \ cdots \ = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(2n )!} {4 ^ n (n!) ^ 2 (2n +1)} x ^ {2n +1} для всіх \ Left | x \ right | <1
\ Operatorname {arctg} \ x = x - \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} - \ cdots \ = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(-1) ^ n} {2n +1} x ^ {2n +1} для всіх \ Left | x \ right | <1

Гіперболічні функції :

\ Operatorname {sh} \, \ left (x \ right) = x + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} + \ Cdots = \ sum ^ {\ infin } _ {n = 0} \ frac {1} {(2n +1)!} x ^ {2n +1}, x \ in \ mathbb {C}
\ Operatorname {ch} \, \ left (x \ right) = 1 + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} + \ Cdots = \ sum ^ {\ infin } _ {n = 0} \ frac {1} {(2n)!} x ^ {2n}, x \ in \ mathbb {C}
\ Operatorname {th} \, \ left (x \ right) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {B_ {2n} 4 ^ n (4 ^ n-1)} {(2n) !} x ^ {2n-1} для всіх \ Left | x \ right | <\ frac {\ pi} {2}
\ Operatorname {arsh} \, \ left (x \ right) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(-1) ^ n (2n)!} {4 ^ n (n!) ^ 2 (2n +1)} x ^ {2n +1} для всіх \ Left | x \ right | <1
\ Operatorname {arth} \, \ left (x \ right) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {1} {2n +1} x ^ {2n +1} для всіх \ Left | x \ right | <1

5. Формула Тейлора для функції двох змінних

Нехай функція f (x, y) має повні похідні аж до n -Го порядку включно в деякій околиці точки (X 0, y 0) . Введемо диференціальний оператор

\ Mathrm {T} = (x-x_0) \ dfrac {\ partial} {\ partial x} + (y-y_0) \ dfrac {\ partial} {\ partial y} .

Тоді розкладанням в ряд Тейлора функції f (x, y) за ступенями (X - x 0) k і (Y - y 0) k в околиці точки (X 0, y 0) буде

f (x, y) = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ n \ dfrac {\ mathrm {T} ^ kf (x_0, y_0)} {k!} + R_n (x, y),

де R n (x, y) - Залишковий член у формі Лагранжа:

R_n (x, y) = \ dfrac {\ mathrm {T} ^ {(n +1)} f (\ xi, \ zeta)} {(n +1)!}, \ \ Xi \ in [x_0, x ], \ \ zeta \ in [y_0, y]

У разі функції однієї змінної \ Mathrm {T} = (x-x_0) \ dfrac d {dx} , Оскільки для функції однієї змінної приватна похідна тотожно дорівнює повній. Аналогічно формула поширюється на функції від будь-якого числа змінних, змінюється тільки число доданків в операторі T .


Література

  • Ільїн В. А., Садовничий В. А., Сенд Б. Х. Математичний аналіз, ч. 1, вид. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
  • Кисельов В. Ю., Пяртлі А. С., Калугіна Т. Ф. Вища математика. Перший семестр, Інтерактивний комп'ютерний підручник.
  • Петрова С. С., Романовська Д. А. До історії відкриття ряду Тейлора. / / Історико-математичні дослідження. - М .: Наука, 1980. - № 25. - С. 10-24.
  • Письмовий Д. Т. Конспект лекцій з вищої математики, вид.: Айріс-прес, 2002.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема Тейлора
Число Тейлора
Формула Тейлора - Пеано
Ряд
Телескопічний ряд
Гомологічний ряд
Часовий ряд
Ряд Діріхле
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru