Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ряд Фур'є



План:


Введення

Додавання членів ряду Фур'є

Ряд Фур'є - представлення довільної функції f з періодом τ у вигляді ряду

f (x) = \ frac {a_0} {2} + \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {+ \ infty} A_k \ cos (2 \ pi \ frac {k} {\ tau} x + \ theta_k)

Цей ряд може бути також переписаний у вигляді

f (x) = \ sum \ limits_ {k =- \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {f} _k e ^ {i2 \ pi \ frac {k} {\ tau} x} .

де

A k - Амплітуда k-го гармонійного коливання,
2 \ pi \ frac {k} {\ tau} = k \ omega - Кругова частота гармонійного коливання,
θ k - Початкова фаза k-го коливання,
\ Hat {f} _k - K-я комплексна амплітуда

У більш загальному вигляді рядом Фур'є елемента гильбертова простору називається розкладання цього елемента за ортогональному базису. Існує безліч систем ортогональних функцій : Уолша, табори, Котельникова ...

Розкладання функції в ряд Фур'є є потужним інструментом при вирішенні найрізноманітніших завдань завдяки тому, що ряд Фур'є прозорим чином веде себе при диференціюванні, інтегруванні, зсуві функції по аргументу і згортку функцій.


1. Тригонометричний ряд Фур'є

Тригонометричним рядом Фур'є функції f \ in L_2 ([- \ pi, \ pi]) називають функціональний ряд вигляду

f (x) = \ frac {a_0} {2} + \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} (a_n \ cos nx + b_n \ sin nx)
(1)

де

a_0 = \ frac {1} {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) dx,
a_n = \ frac {1} {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ cos (nx) dx,
b_n = \ frac {1} {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ sin (nx) dx,

Числа a 0 , a n і b n ( n = 1, 2, \ ldots ) Називаються коефіцієнтами Фур'є функції f . Формули для них можна пояснити наступним чином. Припустимо, ми хочемо представити функцію f \ in L_2 ([0,2 \ pi]) у вигляді ряду (1), і нам треба визначити невідомі коефіцієнти a 0 , a n і b n . Якщо помножити праву частину (1) на cos (k x) і проінтегрувати по проміжку [- Π, π] , Завдяки ортогональності в правій частині всі складові звернуться в нуль, крім одного. З отриманого рівності легко виражається коефіцієнт a k . Аналогічно для b k

Ряд (1) сходиться до функції f в просторі L 2 ([- π, π]) . Іншими словами, якщо позначити через S k (x) часткові суми ряду (1):

S_k (x) = \ frac {a_0} {2} + \ sum ^ {k} _ {n = 1} (a_n \ cos nx + b_n \ sin nx) ,

то їх середньоквадратичне відхилення від функції f буде прагнути до нуля:

\ Lim \ limits_ {k \ rightarrow \ infty} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} (f (x)-S_k (x)) ^ 2dx = 0 .

Незважаючи на середньоквадратичне збіжність, ряд Фур'є функції, взагалі кажучи, не зобов'язаний сходитися до неї поточечно.

Часто при роботі з рядами Фур'є буває зручніше в якості базису використовувати замість синусів і косинусів експоненти уявного аргументу. Ми розглядаємо простірL ^ 2 ([- \ pi, \ pi], \ mathbb {C}) комплекснозначних функцій з скалярним добутком

\ Langle f, g \ rangle: = \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ overline {g (x)} dx .

Ми також розглядаємо систему функцій

\ Varphi_k (x) = e ^ {ikx} = \ cos (kx) + i \ sin (kx), k \ in \ mathbb {Z} .

Як і раніше, ці функції є попарно ортогональними і утворюють повну систему, і, таким чином, будь-яка функція f \ in L ^ 2 ([- \ pi, \ pi], \ mathbb {C}) може бути розкладена по ним в ряд Фур'є:

f (x) = \ sum \ limits_ {k =- \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {f} _k e ^ {ikx} ,

де ряд у правій частині сходиться до f за нормою в f \ in L ^ 2 ([- \ pi, \ pi], \ mathbb {C}) . Тут

\ Hat {f} _k = \ frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {-ikx} dx .

Коефіцієнти: \ Hat {f} _k пов'язані з класичними коефіцієнтами Фур'є за наступними формулами:

\ Hat {f} _k = (a_k + ib_k) / 2, k> 0
\ Hat {f} _0 = a_0 / 2
\ Hat {f} _k = (a_ {| k |}-ib_ {| k |}) / 2, k <0
a_k = \ hat {f} _k + \ hat {f} _ {-k}, k> 0
b_k =-i (\ hat {f} _k-\ hat {f} _ {-k}), k> 0
  • Комплексна функція речової змінної розкладається в такий же ряд Фур'є по уявним експонентам, як і дійсна, але, на відміну від останньої, для її розкладання \ Hat {f} _k і \ Hat {f} _ {-k} не будуть, взагалі кажучи, комплексно сполученими.

2. Узагальнення

2.1. Ряди Фур'є в гільбертовому просторі

Описану вище конструкцію можна узагальнити з випадку простору L 2 [- π, π] з тригонометричної системою на довільне гільбертовому просторі. Нехай дані ортогональна система 1, φ 2,..., φ n,...} в гільбертовому просторі R і f - Довільний елемент з R . Припустимо, ми хочемо представити f у вигляді (нескінченної) лінійної комбінації елементів k} :

f = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} c_n \ varphi_n

Домножити цей вислів на φ k . З урахуванням ортогональності системи функцій k} всі складові ряду звертаються в нуль, крім доданка при n = k :

(F, φ k) = c k | | φ k | | 2

Послідовність чисел

c_k = \ frac {(f, \ varphi_k )}{|| \ varphi_k | | ^ 2}

називається координатами, або коефіцієнтами Фур'є елемента f по системі k} , А ряд

Σ c k φ k
k

називається рядом Фур'є елемента f по ортогональній системі k} .

Ряд Фур'є будь-якого елемента f з будь-якої ортогональної системі сходиться в просторі R , Але його сума не обов'язково дорівнює f . Для ортонормованій системи φ k в сепарабельном гільбертовому просторі наступні умови еквівалентні:

  • система є базисом, тобто сума ряду Фур'є будь-якого елемента дорівнює цьому елементу.
  • система є повною, тобто в R не існує ненульового елемента, ортогонального всіх елементів φ 1, φ 2,..., φ n,... одночасно.
  • система є замкненою, тобто для будь-якого f \ in R виконано рівність Парсеваля
\ Sum_ {k = 1} ^ \ infty c_k ^ 2 = | | f | | ^ 2 .
  • лінійні комбінації елементів φ 1, φ 2,..., φ n,... щільні у просторі R .

Якщо ці умови не виконуються, то сума ряду Фур'є елемента f дорівнює його ортогональної проекції на замикання лінійної оболонки елементів φ 1, φ 2,..., φ n,... . У цьому випадку замість рівності Парсеваля справедливо нерівність Бесселя:

\ Sum_ {k = 1} ^ \ infty c_k ^ 2 \ le | | f | | ^ 2
Приклади

Тригонометричні функції sin (k x) , cos (k x) утворюють базис гильбертова простору L 2 [- π, π] . Якщо ми розглянемо тільки косинуси або тільки синуси, то така система більше не буде повною. Замикання лінійної обоблочкі функцій cos (k x) - Це всі парні функції з L 2 , А замикання лінійної оболонки функцій sin (k x) - Всі непарні функції. Результатом розкладання функції f в ряди Фур'є по цих систем будуть відповідно парна і непарна частини функції f :

\ Sum \ limits_0 ^ n a_k \ cos (kx) = \ frac {f (x) + f (-x)} {2}
\ Sum \ limits_1 ^ n b_k \ sin (kx) = \ frac {f (x)-f (-x)} {2}

Ще цікавіша ситуація виникає при розгляді системи \ {E ^ {ikx} \} _ {k = 0} ^ {+ \ infty} . Ця система знову не буде повною. Замикання її лінійної оболонки - простір Харді H 2 . Елементи цього простору - ті і тільки ті функції f \ in L_2 , Що f (t) = g (e i t) , Де g - Граничні значення деякої функції, аналітичної в колі | Z | <1


2.2. Двоїстість Понтрягина

При узагальненні теорії рядів Фур'є на випадок гільбертовому просторі губляться властивості, які виражають зв'язок рядів Фур'є з сверткой - те, що коефіцієнти Фур'є згортки функцій є почленно творами їх коефіцієнтів Фур'є, і навпаки, коефіцієнти Фур'є твори подаються сверткой коефіцієнтів Фур'є співмножників. Ці властивості є ключовими для додатків теорії Фур'є до розв'язання диференціальних, інтегральних та інших функціональних рівнянь. Тому великий інтерес представляють такі узагальнення теорії рядів Фур'є, при яких ці властивості зберігаються. Таким узагальненням є теорія двоїстості Понтрягіна. Вона розглядає функції, задані на локально-компактних абелевих групах. Аналогом ряду Фур'є такої функції буде функція, задана на двоїстої групі.


3. Збіжність ряду Фур'є

Збіжність ряду Фур'є

3.1. Огляд результатів про збіжність ряду Фур'є

Позначимо через S N (f, x) часткові суми ряду Фур'є функції f (x) :

S_N (f, x): = \ sum \ limits_ {k =- N} ^ N \ hat {f} _ke ^ {ikx} .

Далі обговорюється збіжність послідовності функцій S N (f, x) до функції f (x) в різних сенсах. Функція f передбачається -Періодичної (якщо вона задана тільки на проміжку [- Π, π] , Її можна періодично продовжити).

  • Якщо f \ in L_2 ([- \ pi, \ pi]) , То послідовність S N (f, x) сходиться до функції f (x) в сенсі L 2 . Крім того, S N (f, x) є найкращим (в сенсі відстані в L 2 ) Наближенням функції f тригонометричним многочленом ступеню не вище N .
  • Збіжність ряду Фур'є в заданій точці x 0 - Локальне властивість, тобто, якщо функції f і g збігаються в деякій околиці x 0 , То послідовності S N (f, x 0) і S N (g, x 0) або одночасно розходяться, або одночасно сходяться, і в цьому випадку їхні межі збігаються.
  • Якщо функція f дифференцируема в точці x 0 , То її ряд Фур'є в цій точці сходиться до f (x 0) . Більш точні достатні умови в термінах гладкості функції f задаються ознакою Діні.
  • Функція, безперервна в точці x 0 , Може мати розходиться в ній ряд Фур'є. Однак, якщо він сходиться, то неодмінно до f (x 0) . Це випливає з того, що для безперервної в x 0 функції f послідовність S N (f, x 0) сходиться по Чезаро до f (x 0) .
  • Якщо функція f розривна в точці x 0 , Але має межі в цій точці праворуч і ліворуч f (x_0 +0) \ neq f (x_0-0) , То при деяких додаткових умовах S N (f, x 0) сходяться до (F (x 0 + 0) + f (x 0 - 0)) / 2 . Докладніше див модифікований ознака Діні.
  • Теорема Карлесона: якщо f \ in L_2 ([- \ pi, \ pi]) , То її ряд Фур'є сходиться до неї майже всюди. Це вірно і якщо f \ in L_p ([- \ pi, \ pi]), p> 1 . Однак, існують функції з L 1 ([- π, π]) , Ряд Фур'є яких розходиться у всіх точках (теорема Колмогорова).
  • Зафіксуємо точку x_0 \ in (- \ pi, \ pi) . Тоді множина всіх неперервних функцій, ряд Фур'є яких сходиться в цій точці, є множиною першої категорії в просторі C ([- π, π]) . У певному сенсі це означає, що "типова" безперервна функція має розходиться ряд Фур'є.

3.2. Зменшення коефіцієнтів Фур'є і аналітичність функції

Існує фундаментальна зв'язок між аналітичністю функції і швидкістю убування її коефіцієнтів Фур'є. Чим "краще" функція, тим швидше її коефіцієнти прагнуть до нуля, і навпаки. Статечне спадання коефіцієнтів Фур'є притаманне функціям класу C (k) , А експоненціальне - аналітичним функціям. Приклади такого роду зв'язку:

  • Коефіцієнти Фур'є будь інтегрованої функції прагнуть до нуля (лема Рімана-Лебега (Англ.) ).
  • Якщо функція f належить класу C (k) ([- π, π]) , Тобто дифференцируема k раз і її k -Я похідна неперервна, то \ Hat {f} _n = o \ left (\ frac {1} {n ^ k} \ right)
  • Якщо ряд \ Sum n ^ {\ alpha} \ hat {f} _nсходиться абсолютно, то f \ in C ^ {(k )}([- \ pi, \ pi]) при всіх k .
  • Якщо функція належить класу Гельдера з показником α> 1 / 2 , То ряд \ Sum \ hat {f} _n сходиться абсолютно (Теорема Бернштейна).
  • Якщо \ Hat {f} _n = O (a ^ n), 0 <a <1 , То функція f є аналітичної. Вірно і зворотнє.

Література

  • Жук В.В., Натансон Г. І. Тригонометричні ряди Фур'є і елементи теорії апроксимації - Л. : Изд-во Ленінгр. ун-ту, 1983. - С. 188.
  • Рудін В. Основи математичного аналізу - 1976.
  • Піскунов Н. С. Диференціальне та інтегральне числення для Втузов - М .: "Наука", 1964. - Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометричні ряди. - М .: "Світ", 1965. - Т. 1.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Фур'є
Число Фур'є
Фур'є, Шарль
Перетворення Фур'є
Віконне перетворення Фур'є
Швидке перетворення Фур'є
Дискретне перетворення Фур'є
Фур'є, Жан Батист Жозеф
Фур'є, Жан Батист Жозеф
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru