Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівномірна збіжність



Рівномірна збіжність послідовності функцій ( відображень) - властивість послідовності f_n: X \ to Y , Де X - Довільне безліч, Y = (Y, d) - метричний простір, n = 1, 2, \ dots сходиться до функції (відображення) f: X \ to Y , Що означає, що для будь-якого \ Varepsilon> 0 існує такий номер N ε , Що для всіх номерів n> N ε і всіх точок x \ in X виконується нерівність

\ Left | f_n (x) - f (x) \ right | <\ epsilon

Зазвичай позначається f_n \ rightrightarrows f .

Ця умова рівнозначно тому, що

\ Lim_ {n \ to \ infty} \ sup_ {x \ in X} \ left | f_n (x) - f (x) \ right | = 0.

Приклад

  • Послідовність f n (x) = x n , n = 1,2, \ dots рівномірно сходиться на якому відрізку [0, a] , 0 <1 і не сходиться рівномірно на відрізку [0,1] .

Властивості

  • Якщо Y - лінійне нормоване простір і послідовності відображень f_n: X \ to Y і g_n: X \ to Y , n = 1,2, \ dots рівномірно сходяться на безлічі X , То послідовності {F n + g n} також як і f n} при будь-яких \ Alpha \ in \ R також рівномірно сходяться на X .
  • Для вещественнозначних функцій (або, більш загально, якщо Y - Лінійне нормоване кільце), послідовність відображень f_n: X \ to \ R , Рівномірно сходиться на множині X і g: X \ to \ R обмежене відображення, то послідовність {G f n} також рівномірно сходиться на X .
  • Якщо X - топологічний простір, Y - метричний простір і послідовність неперервних в точці x_0 \ in X відображень f_n: X \ to Y рівномірно сходиться на множині X до відображення f: X \ to Y , То це відображення також безперервно в точці x 0 .
  • Якщо послідовність інтегровних за Ріманом ( за Лебегом) функцій f_n: [a, b] \ to \ R рівномірно сходиться на відрізку [A, b] до функції f: [a, b] \ to \ R , То ця функція також інтегрована за Ріманом (відповідно по Лебегу), і для будь-якого x \ in [a, b] має місце рівність
    \ Lim_ {n \ to \ infty} \ int \ limits_a ^ x f_n (t) dt = \ int \ limits_a ^ xf (t) dt
    і збіжність послідовності функцій
    x \ mapsto \ int \ limits_a ^ x f_n (t) dt
    на відрізку [A, b] до функції
    x \ mapsto \ int \ limits_a ^ x f (t) dt
    рівномірна.
  • Якщо послідовність безперервно диференційовних на відрізку [A, b] функцій f_n: [a, b] \ to \ R , Сходиться в деякій точці x 0 , A послідовність їх похідних рівномірно сходиться на [A, b] , То послідовність {F n} також рівномірно сходиться на [A, b] , Її межа є безперервно диференціюється на цьому відрізку функцією.

Література

  • Александров П. С. Введение в теорію множин і загальну топологію, М., 1977.
  • Колмогоров А. Н., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. 5-е изд., М., 1981.
  • Келлі Дж. Л. Загальна топологія. 2-е вид., М., 1951.
  • Медведєв Ф. А. До історії поняття рівномірної збіжності рядів. / / Історико-математичні дослідження. - М .: Наука, 1974. - № 19. - С. 75-93.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Рівномірна обмеженість
Рівномірна неперервність
Збіжність в Lp
Збіжність
Абсолютна збіжність
Збіжність в міру
Збіжність по Чезаро
Збіжність за розподілом
Умовна збіжність
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru