Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівняння Гамільтона



План:


Введення

Рівняння Гамільтона (також звані канонічними рівняннями) в фізиці та математики - система диференціальних рівнянь :

\ Dot p_j = - \ frac {\ partial H} {\ partial q_j}
\ Dot q_j = ~ ~ \ frac {\ partial H} {\ partial p_j}

де точкою над p і q позначена похідна по часу. Система складається з 2 N диференціальних рівнянь першого порядку (j = 1, 2, ..., N) для динамічної системи, описуваної N (узагальненими) координатами, які є рівняннями руху (однією з форм таких рівнянь, нарівні з рівняннями Лагранжа, яка є узагальненням ньютонівських рівнянь руху) системи, де H = H (q, p, t) \ equiv H (q_1, q_2, ..., q_N, p_1, p_2, ..., p_N, t) - Так звана функція Гамільтона, також іноді іменована гамільтоніаном, t - Час [1], q_i - (Узагальнені) координати (Q_1, q_2, \ dots, q_N) , І p_i - Узагальнені імпульси (P_1, p_2, \ dots, p_N) , Що визначають стан системи (точку фазового простору).

Рівняння Гамільтона широко використовуються в гамильтоновой механіці та інших галузях теоретичної фізики та математики.


1. Ньютоновский фізичний зміст

Найбільш проста інтерпретація цих рівнянь полягає в наступному. Гамільтоніан H ~ представляє в найбільш простих випадках енергію фізичної системи, яка є сума кінетичної і потенційної енергій, традиційно позначаються T ~ і V ~ відповідно:

H = T + V, ~ T = \ frac {p ^ 2} {2m}, ~ V = V (q) = V (x)

В окремому випадку, якщо q = X - декартові координати кожної матеріальної точки системи, записані підряд по три (фізичний простір будемо мати на увазі тут звичайним тривимірним), тобто

X_1 = x_1, \; X_2 = y_1, \; X_3 = z_1, \ \ X_4 = x_2, \; X_5 = y_2, \; X_6 = z_2, \; \ dots

то канонічні рівняння Гамільтона збігаються, враховуючи попередній абзац, з рівняннями руху Ньютона у вигляді:

\ Dot {\ vec P} = - \ nabla V
\ Dot {\ vec X} = \ vec p / m

де \ Vec X = (X_1, X_2, \ dots, X_N) , Причому кожне підпростір дає радіус-вектор відповідної матеріальної точки:

\ Vec r_1 = (X_1, X_2, X_3), \ \ vec r_2 = (X_4, X_5, X_6), \; \ dots

а узагальнені імпульси - відповідні компоненти тривимірних імпульсів цієї точки:

\ Vec p_1 = (P_1, P_2, P_3), \ \ vec p_2 = (P_4, P_5, P_6), \; \ dots

2. Фундаментальна інтерпретація

Функція Гамільтона по суті являє собою локальний закон дисперсії, що виражає квантову частоту (частоту коливань хвильової функції) \ Omega через хвильовий вектор \ Mathbf x для кожної точки простору [2] :

\ Omega = H (\ mathbf k, \ mathbf x).

У класичному наближенні (при великих [3] частотах і модулі хвильового вектора і порівняно повільною залежності від \ Mathbf x ) Цей закон досить очевидно описує рух хвильового пакета через канонічні рівняння Гамільтона, одні з яких ( \ Dot q_i = \ partial H / \ partial p_i ) Інтерпретуються як формула групової швидкості, отримана із закону дисперсії, а інші ( \ Dot p_i = - \ partial H / \ partial q_i ) Цілком природно - як зміна, зокрема поворот, хвильового вектора при поширенні хвилі в неоднорідному середовищі певного типу.


3. Висновок рівнянь Гамільтона

3.1. Висновок з принципу стаціонарного дії

З принципу найменшої (стаціонарного) дії рівняння Гамільтона безпосередньо виходять варіюванням дії

S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ bigg (\ sum_i p_i \ dot q_i - H (q, p, t) \ bigg) dt ,

незалежно по q і по p .


3.2. Висновок з лагранжевої механіки

Ми можемо вивести рівняння Гамільтона використовуючи інформацію про зміну лагранжіана при зміні часу, координат і імпульсів частинок.

\ Mathrm {d} L = \ sum_i \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ mathrm {d} q_i + \ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot q_i}} \ mathrm { d} {\ dot q_i} \ right) + \ frac {\ partial L} {\ partial t} \ mathrm {d} t

узагальнені імпульси визначаються як p_i = \ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot q_i}} , І рівняння Лагранжа свідчать: \ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot q_i}} - \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} = F_i

де F_i - Непотенційного узагальнена сила. Останній вираз перетвориться до вигляду \ Frac {\ partial L} {\ partial q_i} = {\ dot p} _i - F_i і результат підставляється в варіацію лагранжіана

\ Mathrm {d} L = \ sum_i \ left [\ left ({\ dot p} _i - F_i \ right) \ mathrm {d} q_i + p_i \ mathrm {d} {\ dot q_i} \ right] + \ frac {\ partial L} {\ partial t} \ mathrm {d} t

Можна записати:

\ Mathrm {d} L = \ sum_i \ left [\ left ({\ dot p} _i - F_i \ right) \ mathrm {d} q_i + \ mathrm {d} \ left (p_i {\ dot q_i} \ right) - {\ dot q_i} \ mathrm {d} p_i \ right] + \ frac {\ partial L} {\ partial t} \ mathrm {d} t

і перетвориться до форми:

\ Mathrm {d} \ left (\ sum_i p_i {\ dot q_i} - L \ right) = \ sum_i \ left [\ left (F_i-{\ dot p} _i \ right) \ mathrm {d} q_i + {\ dot q_i} \ mathrm {d} p_i \ right] - \ frac {\ partial L} {\ partial t} \ mathrm {d} t

Множник в лівій частині просто гамільтоніан, який був визначений раніше. Таким чином:

\ Mathrm {d} H = \ sum_i \ left [\ left (F_i-{\ dot p} _i \ right) \ mathrm {d} q_i + {\ dot q_i} \ mathrm {d} p_i \ right] - \ frac {\ partial L} {\ partial t} \ mathrm {d} t = \ sum_i \ left [\ frac {\ partial H} {\ partial q_i} \ mathrm {d} q_i + \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} \ mathrm {d} p_i \ right] + \ frac {\ partial H} {\ partial t} \ mathrm {d} t

де друге рівність виконується в силу визначення приватної похідної.


4. Узагальнення допомогою дужок Пуассона

Рівняння можуть бути записані в більш загальному вигляді, якщо використовувати алгебру Пуассона над створюючими p ~ і q ~ . У цьому випадку, більш загальна форма рівнянь Гамільтона свідчить

\ Frac {dA} {dt} = \ {A, H \} + \ frac {\ partial A} {\ partial t} ,

де A ~ , Звана класичної спостережуваної, - це деяка функція змінних p ~ , q ~ і t ~ , І H ~ - Гамільтоніан системи. З дужками Пуассона можна працювати без звернення до диференціальних рівнянь, оскільки дужки Пуассона повністю аналогічні дужках Лі в алгебрі Пуассона.

Цей алгебраїчний підхід дозволяє використовувати розподіл ймовірностей для q ~ і p ~ , Він також дозволяє знайти зберігаються величини (інтеграли руху).

Рівняння Гамільтона є одними з основних рівнянь класичної механіки. В квантовій механіці аналогом наведеного рівняння Гамільтона є рівняння Гейзенберга.


Примітки

  1. Від часу функція Гамільтона, взагалі кажучи, може залежати явно, хоча в багатьох фундаментальних випадках такої залежності якраз немає.
  2. Оскільки енергія і імпульс і є частота і хвильовий вектор, відрізняючись від них лише універсальним постійним множником, який може бути вибраний і одиничним у підходящою системі одиниць.
  3. Оскільки в зв'язок енергії та частоти, імпульсу і хвильового вектора в звичайних системах одиниць входить конcтанта Планка, яка в цих звичайних системах одиниць дуже мала, то звичайним для класичної механіки енергіям і імпульсам відповідають дуже великі (в порівняння зі звичайними для класичної механіки просторовими і часовими масштабами) частоти і хвилеві вектори.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Рівняння Гамільтона - Якобі
Теорема Гамільтона - Келі
Рівняння
Рівняння Єфименко
Диофантово рівняння
Пфаффово рівняння
Рівняння Ейнштейна
Рівняння Пуассона
Хвильове рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru