В фізиці та математики, рівняння Гамільтона - Якобі
Тут S позначає класичне дію, - Класичний гамільтоніан,
- Узагальнені координати.
Безпосередньо відноситься до класичної (не квантовою) механіці, проте добре пристосоване для встановлення зв'язку між класичною механікою і квантової, так як його можна, наприклад, отримати практично прямо з рівняння Шредінгера в наближенні бистроосціллірующей хвильової функції (великих частот і хвильових чисел).
У класичній механіці виникає зазвичай зі спеціального канонічного перетворення класичного гамільтоніана, яке призводить до цього нелінійному диференціальному рівнянню першого порядку, рішення якого описує поведінку динамічної системи.
Слід відрізняти рівняння Гамільтона - Якобі від рівнянь руху Гамільтона та Ейлера - Лагранжа. Хоча це рівняння і виводиться з них, але являє собою одне рівняння, що описує динаміку механічної системи з будь-якою кількістю ступенів свободи s, на відміну від 2 s рівнянь Гамільтона і s рівнянь Ейлера - Лагранжа.
Рівняння Гамільтона - Якобі допомагає елегантно вирішити задачу Кеплера.
1. Канонічне перетворення
Рівняння Гамільтона - Якобі негайно випливає з того факту, що для будь виробляючої функції S (q, p ', t) (нехтуючи індексами), рівняння руху не змінюються для H (q, p, t) і H' (q ', p ', t)
Нові рівняння руху стають
Рівняння Гамільтона - Якобі з'являється з специфічної виробляючої функції S, яка робить H 'тотожною нулю. У цьому випадку всі його похідні зануляются і
Таким чином, в штрихувати системі координат система абсолютно стационарна в фазовому просторі. Однак, ми ще не визначили, за допомогою якої виробляючої функції S досягається перетворення в штрихувати систему координат. Ми використовуємо той факт, що
Оскільки рівняння (1) дає можна записати
що є рівнянням Гамільтона - Якобі.
2. Рішення
Рівняння Гамільтона - Якобі часто вирішують методом розділення змінних. Нехай деяка координата (для визначеності будемо говорити про ) І відповідний їй імпульс
входять у рівняння у формі
Тоді можна покласти
де - Довільна стала,
- Зворотна функція, і вирішувати рівняння Гамільтона - Якобі вже з меншим числом змінних. Якщо процес можна продовжити по всім змінним, то рішення рівняння прийме вигляд
де - Довільні постійні,
- Константа інтегрування. Нагадаємо, що при цьому
є функцією кінцевої точки
. Так як дія задає канонічне перетворення гамильтоновой системи, то його похідні по координатах - це імпульси в новій системі координат, тому вони повинні зберігатися:
Разом з рівняннями на імпульси це визначає рух системи.
Література
- Стаття в Фізичної енциклопедії
- Гантмахер Ф. Р. Лекції з аналітичної механіки. 2-е видання М.: Наука, 1966.
- Добронравов В. В. Основи аналітичної механіки. М.: Вища школа, 1976.
- Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Механіка. - Видання 5-е, стереотипне. - М .: Физматлит, 2004. - 224 с. - ("Теоретична фізика", том I). - ISBN 5-9221-0055-6
- Ланцоша К. Варіаційні принципи механіки. М.: Фізматгіз. 1965.
- Ліч Дж. У. Класична механіка. М.: Иностр. література, 1961.
- Павленко Ю. Г. Лекції по теоретичній механіці. М.: Физматлит, 2002. - 392с.
- Парс Л. А. Аналітична динаміка. М.: Наука, 1971.