В фізиці та математики, рівняння Гамільтона - Якобі

H \ left (q_1, \ dots, q_n; \ frac {\ partial S} {\ partial q_1}, \ dots, \ frac {\ partial S} {\ partial q_n}; t \ right) + \ frac {\ partial S} {\ partial t} = 0.

Тут S позначає класичне дію, H (q_1, \ dots, q_n; p_1, \ dots, p_n; t) - Класичний гамільтоніан, q_i - Узагальнені координати.

Безпосередньо відноситься до класичної (не квантовою) механіці, проте добре пристосоване для встановлення зв'язку між класичною механікою і квантової, так як його можна, наприклад, отримати практично прямо з рівняння Шредінгера в наближенні бистроосціллірующей хвильової функції (великих частот і хвильових чисел).

У класичній механіці виникає зазвичай зі спеціального канонічного перетворення класичного гамільтоніана, яке призводить до цього нелінійному диференціальному рівнянню першого порядку, рішення якого описує поведінку динамічної системи.

Слід відрізняти рівняння Гамільтона - Якобі від рівнянь руху Гамільтона та Ейлера - Лагранжа. Хоча це рівняння і виводиться з них, але являє собою одне рівняння, що описує динаміку механічної системи з будь-якою кількістю ступенів свободи s, на відміну від 2 s рівнянь Гамільтона і s рівнянь Ейлера - Лагранжа.

Рівняння Гамільтона - Якобі допомагає елегантно вирішити задачу Кеплера.


1. Канонічне перетворення

Рівняння Гамільтона - Якобі негайно випливає з того факту, що для будь виробляючої функції S (q, p ', t) (нехтуючи індексами), рівняння руху не змінюються для H (q, p, t) і H' (q ', p ', t)

(1) \ qquad {\ partial S \ over \ partial q} = p, \ qquad {\ partial S \ over \ partial p '} = q', \ qquad H '= H + {\ partial S \ over \ partial t}.

Нові рівняння руху стають

(2) \ qquad {\ partial H '\ over \ partial q'} = - {dp '\ over dt}, \ qquad {\ partial H' \ over \ partial p '} = {dq' \ over dt}.

Рівняння Гамільтона - Якобі з'являється з специфічної виробляючої функції S, яка робить H 'тотожною нулю. У цьому випадку всі його похідні зануляются і

(3) \ qquad {dp '\ over dt} = {dq' \ over dt} = 0.

Таким чином, в штрихувати системі координат система абсолютно стационарна в фазовому просторі. Однак, ми ще не визначили, за допомогою якої виробляючої функції S досягається перетворення в штрихувати систему координат. Ми використовуємо той факт, що

H '(q', p ', t) = H (q, p, t) + {\ partial S \ over \ partial t} = 0.

Оскільки рівняння (1) дає p = \ partial S / \ partial q, можна записати

H \ left (q, {\ partial S \ over \ partial q}, t \ right) + {\ partial S \ over \ partial t} = 0,

що є рівнянням Гамільтона - Якобі.


2. Рішення

Рівняння Гамільтона - Якобі часто вирішують методом розділення змінних. Нехай деяка координата (для визначеності будемо говорити про q_1 ) І відповідний їй імпульс \ Frac {\ partial S} {\ partial q_1} входять у рівняння у формі

\ Frac {\ partial S} {\ partial t} + H \ left (f_1 \ left (q_1, \ frac {\ partial S} {\ partial q_1} \ right), q_2, \ ldots, q_n, \ frac {\ partial S} {\ partial q_2}, \ ldots, \ frac {\ partial S} {\ partial q_n} \ right) = 0.

Тоді можна покласти

f_1 \ left (q_1, \ frac {\ partial S} {\ partial q_1} \ right) = \ alpha_1
\ Frac {\ partial S} {\ partial q_1} = g_1 (q_1, \ alpha_1),

де \ Alpha_1 - Довільна стала, g_1 - Зворотна функція, і вирішувати рівняння Гамільтона - Якобі вже з меншим числом змінних. Якщо процес можна продовжити по всім змінним, то рішення рівняння прийме вигляд

S = - \ int H (\ alpha_1, \ ldots, \ alpha_n) dt + \ int g_1 (q_1, \ alpha_1) dq_1 + \ int g_2 (q_2, \ alpha_1, \ alpha_2) dq_2 + \ ldots + \ int g_n ( q_n, \ alpha_1, \ dots, \ alpha_n) dq_n + k,

де \ Alpha_i - Довільні постійні, k - Константа інтегрування. Нагадаємо, що при цьому S є функцією кінцевої точки (Q_1, \ dots, q_n) . Так як дія задає канонічне перетворення гамильтоновой системи, то його похідні по координатах - це імпульси в новій системі координат, тому вони повинні зберігатися:

\ Beta_i = {\ partial S \ over \ partial \ alpha_i} (\ mathbf {q}, \ alpha_1, \ dots, \ alpha_n, t).

Разом з рівняннями на імпульси це визначає рух системи.


Література