Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівняння Дірака



План:


Введення

Рівняння Дірака - релятивістськи-інваріантне рівняння руху для бі-спінорно класичного поля електрона, яке застосовується також для опису інших точкових ферміонів зі спіном 1 / 2; встановлено П. Діраком в 1928.


1. Вид рівняння

Рівняння Дірака записується у вигляді

\ Left (mc ^ 2 \ alpha_0 + c \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ alpha_j p_j \ right) \ psi (\ mathbf {x}, t) = i \ hbar \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} (\ mathbf {x}, t)

де m \ - маса електрона (або іншого ферміони, описуваного рівнянням), c \ - швидкість світла, p_j = - i \ hbar \ partial_j - Три оператори компонент імпульсу (по x, y, z), \ Hbar = {h \ over 2 \ pi} , h - постійна Планка, x = (x, y, z) і t просторові координати і час відповідно, і \ Psi (\ mathbf {x}, t) - Чотирьохкомпонентної комплексна хвильова функція (біспінор).

\ Alpha_0, \ alpha_1, \ alpha_2, \ alpha_3 \ - лінійні оператори над простором біспіноров, які діють на хвильову функцію. Ці оператори підібрані так, що кожна пара таких операторів антікоммутірует, а квадрат кожного дорівнює одиниці:

\ Alpha_i \ alpha_j = - \ alpha_j \ alpha_i \ , Де i \ ne j та індекси i, j \ змінюються від 0 до 3,
\ Alpha_i ^ 2 = 1 для i \ від 0 до 3.

В обговорюваному поданні ці оператори представляються матрицями розміру 4 4 (це мінімальний розмір матриць, для яких виконуються умови антікоммутаціі), званими альфа-матрицями Дірака

  • Весь оператор в дужках у лівій частині рівняння називається оператором Дірака, точніше, в сучасній термінології його слід називати гамильтонианом Дірака, так як оператором Дірака зараз зазвичай прийнято називати коваріантний оператор D, з яким рівняння Дірака записується у вигляді = 0 (як описано в наступному зауваженні).
\ Left (i \ hbar c \, \ gamma ^ \ mu \, \ partial_ \ mu - mc ^ 2 \ right) \ psi = 0

2. Фізичний сенс

2.1. Електрон, позитрон

З рівняння Дірака випливає, що електрон має власний механічним моментом кількості руху - спіном, рівним ħ / 2, а також власним магнітним моментом, рівним магнетону Бора eħ/2mc, які раніше (1925) були відкриті експериментально (e і m - заряд і маса електрона, з - швидкість світла, ħ - постійна Дірака (скорочена постійна Планка)). За допомогою рівняння Дірака була отримана більш точна формула для рівнів енергії атома водню (і водневоподібних атомів), що включає тонку структуру рівнів (див. Атом), а також пояснений ефект Зеемана. На основі рівняння Дірака були знайдені формули для імовірностей розсіювання фотонів вільними електронами ( комптон-ефекту) і випромінювання електрона при його гальмуванні ( гальмівного випромінювання), що отримали експериментальне підтвердження. Однак послідовне релятивістське опис руху електрона дається квантової електродинаміки.

Характерна особливість рівняння Дірака - наявність серед його рішень таких, які відповідають станам з негативними значеннями енергії для вільного руху частки (що відповідає негативній масі частинки). Це представляло трудність для теорії, так як всі механічні закони для частинки в таких станах були б невірними, переходи ж в ці стани у квантовій теорії можливі. Дійсний фізичний зміст переходів на рівні з негативною енергією з'ясувався надалі, коли була доведена можливість взаємоперетворення часток. З рівняння Дірака випливало, що повинна існувати нова частинка (античастинка по відношенню до електрона) з масою електрона і електричним зарядом протилежного знаку; така частка була дійсно відкрита в 1932 К. Андерсоном і названа позитроном. Це стало величезним успіхом теорії електрона Дірака. Перехід електрона з стану з негативною енергією в стан з позитивною енергією і зворотний перехід інтерпретуються як процес утворення пари електрон-позитрон і анігіляція такої пари.


2.2. Застосування для інших частинок

Рівняння Дірака справедливо і для ін частинок зі спіном 1 / 2 (в одиницях ħ) - ферміонів, наприклад мюонів, нейтрино, при цьому добре відповідність досвіду виходить при прямому застосуванні рівняння Дірака до простих (а не складовим) часткам, як ті, які щойно згадані. Для протона і нейтрона (складових частинок, що складаються з кварків, пов'язаних глюонної полем, але також володіють спіном 1 / 2) воно при прямому застосуванні (як до простих часткам) призводить до неправильних значень магнітних моментів: магнітний момент "Діраковскій" протона "повинен бути" дорівнює ядерному магнетону eħ/2Мc (М - маса протона) , а нейтрона (оскільки він не заряджений) - нулю. Досвід же дає, що магнітний момент протона приблизно в 2,8 рази більше ядерного магнетона, а магнітний момент нейтрона негативний і по абсолютній величині складає близько 2 / 3 від магнітного моменту протона. Аномальні магнітні моменти цих часток обумовлені їх складовою природою і сильними взаємодіями.

Насправді це рівняння застосовано для кварків, які також є елементарними частинками зі спіном 1 / 2. Модифіковане рівняння Дірака можна використовувати для опису протонів і нейтронів, які не є елементарними частками (вони складаються з кварків). Іншу модифікацію рівняння Дірака - рівняння майорану, застосовують у деяких розширеннях Стандартної моделі для опису нейтрино.


2.3. Рівняння Дірака і квантова теорія поля

Рівняння Дірака описує не амплітуду ймовірності для одного електрона, як могло б здатися, а величину, пов'язану з щільністю заряду і струму Діраковскій частки: в силу збереження заряду зберігається величина, яку вважали повною вірогідністю знаходження частинки. Таким чином, рівняння Дірака - з самого початку багаточастинкові.

Теорія, що включає лише рівняння Дірака, що взаємодіє з класичним зовнішнім електромагнітним полем, не зовсім вірно приймає до уваги народження і знищення частинок. Вона добре пророкує магнітний момент електрона і тонку структуру ліній в спектрі атомів. Вона пояснює спін електрона, оскільки два з чотирьох рішень рівняння відповідають двом спінові станам електрона. Два залишилися рішень з негативною енергією відповідні античастинки електрона ( позитрон), передбаченої Дираком виходячи з його теорії і майже відразу ж слідом за цим відкритої експериментально.

Незважаючи на ці успіхи, така теорія має той недолік, що вона не описує взаємодію квантованного електронного поля з квантованим електромагнітним полем, в тому числі і народження / знищення частинок - один з фундаментальних процесів релятивістської теорії взаємодіючих полів. Ця трудність дозволена в квантової теорії поля. У разі електронів - додається квантованное електромагнітне поле, квантування самого електронного поля і взаємодія цих полів, а отримана теорія називається квантової електродинаміки.


3. Виведення рівняння Дірака

Рівняння Дірака - релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера :

H \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = i \ hbar {d \ over dt} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle.

Для зручності ми будемо працювати в координатному представленні, в якому стан системи задається хвильовою функцією ψ (x, t). У цьому поданні рівняння Шредінгера запишеться у вигляді

H \ psi (\ mathbf {x}, t) = i \ hbar \ frac {\ partial \ psi (\ mathbf {x}, t)} {\ partial t},

де гамільтоніан H тепер діє на хвильову функцію.

Ми повинні визначити гамільтоніан так, щоб він описував повну енергію системи. Розглянемо вільний електрон (ні з чим не взаємодіє, ізольований від усіх сторонніх полів). Для нерелятивистской моделі ми взяли б гамільтоніан аналогічний кінетичної енергії в класичної механіки (не беручи до уваги в цьому випадку ні релятивістських поправок, ні спина):

H = \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ frac {p_j ^ 2} {2m},

де p j - оператори проекцій імпульсу, де індекс j = 1,2,3 позначає декартові координати. Кожен такий оператор діє на хвильову функцію як просторова похідна:

p_j \ psi (\ mathbf {x}, t) \ \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ - i \ hbar \, \ frac {\ partial \ psi (\ mathbf {x}, t)} { \ partial x_j}.

Щоб описати релятивістську частку, ми повинні знайти інший гамільтоніан. При цьому є підстави припускати, що оператор імпульсу зберігає наведене щойно визначення. Згідно релятивістському співвідношенню, повна енергія системи виражається як

E = \ sqrt {(mc ^ 2) ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ 3 (p_jc) ^ 2}.

Це призводить до вираження

\ Sqrt {(mc ^ 2) ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ 3 (p_jc) ^ 2} \ \ psi = i \ hbar \ frac {d \ psi} {dt}.

Це не цілком задовільний рівняння, так як не видно явною Лоренц-ковариантности (виражає формальне рівноправність часу і просторових координат, що є одним з наріжних каменів спеціальної теорії відносності), а крім того - написаний корінь з оператора не виписаний явно. Однак зведення в квадрат лівої і правої частини призводить до явно Лоренц-коваріантного рівнянню Клейна-Гордона. Дірак припустив, що оскільки права частина рівняння містить першу похідну за часом, то і ліва частина повинна мати тільки похідні першого порядку за просторовими координатами (інакше кажучи - оператори імпульсу в першого ступеня). Тоді, вважаючи, що коефіцієнти перед похідними, яку б природу вони не мали, - постійні (внаслідок однорідності простору), залишається тільки записати:

i \ hbar \ frac {d \ psi} {dt} = \ left [c \ sum_ {i = 1} ^ 3 \ alpha_i p_i + \ alpha_0 mc ^ 2 \ right] \ psi

- Це і є рівняння Дірака (для вільної частки).

Однак ми поки не визначили коефіцієнти \ Alpha_i \ . Якщо вірно припущення Дірака, то права частина, зведена в квадрат, повинна дати

(Mc ^ 2) ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ 3 (p_jc) ^ 2

тобто

\ Left (mc ^ 2 \ alpha_0 + c \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ alpha_j p_j \, \ right) ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ 3 (p_jc) ^ 2.

Просто розкриваючи дужки в лівій частині отриманого рівняння, отримуємо такі умови на α:

\ Alpha_i \ alpha_j + \ alpha_j \ alpha_i = 0 \,, для всіх i, j = 0, 1, 2, 3 (i \ ne j),
\ Alpha_i ^ 2 = 1 \,, для всіх i = 0, 1, 2, 3. \

або, скорочено записавши всі разом:

\ Alpha_i \ alpha_j + \ alpha_j \ alpha_i = 2 \ delta_ {ij} \ для \ I, j = 0, 1, 2, 3,

або, ще коротше, користуючись фігурними дужками для позначення антікоммутаторов:

\ Left \ {\ alpha_i, \ alpha_j \ right \} = 2 \ delta_ {ij} \ для \ I, j = 0, 1, 2, 3.

де {,} - антікоммутатор, який визначається як {A, B} ≡ AB + BA, і δ ij - символ Кронекера, який приймає значення 1, якщо два індекси рівні і в іншому випадку 0. Дивіться алгебра Кліффорда.

Оскільки такі співвідношення не можуть виконуватися для звичайних чисел (адже числа коммутіруют, а α - ні), залишається - найпростіше - припустити, що α - це якісь лінійні оператори або матриці (тоді одиниці і нулі в правій частині співвідношень можна вважати відповідно одиничними і нульовими оператором або матрицею) і можна спробувати знайти конкретний набір α, скориставшись цими співвідношеннями (і це вдається).

Саме тут вперше стає абсолютно ясно, що хвильова функція повинна бути не однокомпонентної (тобто не скалярної), а векторної, маючи на увазі вектори якогось абстрактного "внутрішнього" простору, не пов'язаного прямо зі звичайним фізичним простором або простором-часом.

Матриці повинні бути ермітових, так щоб гамільтоніан теж був ермітових оператором. Найменша розмірність матриць, які задовольняють даним вище критеріями це комплексні матриці 4 4, хоча їх конкретний вибір (або подання) не однозначний. Ці матриці з операцією матричного множення утворюють групу. Хоча вибір подання цієї групи не впливає на властивості рівняння Дірака, він впливає на фізичний зміст компонент хвильової функції. Хвильова функція ж, очевидно, повинна тоді бути чотиривимірним комплексним абстрактним (не пов'язаних прямо з векторами звичайного простору-часу) векторним полем (тобто біспінорним полем).

У вступі ми навели уявлення, використане Діраком. Це подання можна правильно записати як

\ Alpha_0 = \ begin {bmatrix} I & 0 \ \ 0 &-I \ end {bmatrix} \ quad \ alpha_j = \ begin {bmatrix} 0 & \ sigma_j \ \ \ sigma_j & 0 \ end {bmatrix}

де 0 і I - 2 2 нульова і одинична матриці відповідно, і σ j (j = 1, 2, 3) - матриці Паулі, що є, до речі, матричним представленням кватернионов, о которых давно известно, что они антикоммутируют.

Гамильтониан в этом уравнении

H = \,mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j\,

называется гамильтонианом Дирака.

  • Для обычного уравнения Дирака в двумерном пространстве или в трехмерном, но с m =0, вместо альфа-матриц достаточно просто матриц Паули; вместо четырехкомпонентного биспинорного поля при этом роль волновой функции будет играть двухкомпонентное спинорное.

4. Природа волновой функции

Поскольку на волновую функцию ψ действуют матрицы 44, она должна быть четырёхкомпонентным объектом. Мы увидим в следующем параграфе, что волновая функция состоит из двух степеней свободы, одна из которых соответствует положительным энергиям, а другая отрицательным. Каждая из них имеет ещё по две степени свободы, связанные с проекцией спина на выделенное направление , условно часто обозначаемые словами "вверх" или "вниз".

Мы можем записать волновую функцию в виде столбца:

\psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{bmatrix}\psi_1(\mathbf{x},t) \\ \psi_2(\mathbf{x},t) \\ \psi_3(\mathbf{x},t) \\ \psi_4(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}.

Дуальную волновую функцию записывают в виде строки:

\bar{\psi}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\bar{\psi}(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \psi^\dagger \alpha^0,

де

\psi^\dagger = \begin{bmatrix}\psi_1^*(\mathbf{x},t) & \psi_2^*(\mathbf{x},t) & \psi_3^*(\mathbf{x},t) & \psi_4^*(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}

символ * обозначает обычное комплексное сопряжение.

Как и для обычной однокомпонентной волновой функции можно ввести квадрат модуля волновой функции, который даёт плотность вероятности как функцию координаты x и времени t. В данном случае роль квадрата модуля играет скалярное произведение волновой функции и дуальной ей, то есть квадрат эрмитовой нормы биспинора:

\bar{\psi} \psi = \bar{\psi}(\mathbf{x},t) \psi \, (\mathbf{x},t) = \sum_{a, b = 1}^4 \psi_a^*(\mathbf{x},t) (\alpha^0)_{a b} \psi_b(\mathbf{x},t).

Сохранение вероятности задаёт условие нормировки

\int \bar{\psi} \psi \; d^3x = 1.

Привлекая уравнение Дирака можно получить "локальный" ток вероятности :

\frac{\partial}{\partial t} \bar{\psi} \psi \, (\mathbf{x},t) = - \nabla \cdot \mathbf{J}.

Ток вероятности J задаётся как

J_j = c \bar{\psi} \alpha_j \psi.

Умножая J на заряд электрона e, приходим к плотности электрического тока j для электрона.

Значение компонент волновой функции зависит от координатной системы. Дирак показал как ψ преобразуется при изменении координатной системы, включая повороты в трёхмерном пространстве и преобразования между (быстро) движущимися друг относительно друга системами отсчёта. ψ при этом не преобразуется как вектор обычного пространства (или пространства-времени) при вращениях пространства или преобразованиях Лоренца (что само по себе и не удивительно, так как его компоненты изначально не связаны прямо с направлениями в обычном пространстве). Такой объект получил название четырехкомпонентного дираковского спинора (иначе называемого биспинором - последнее название связано с тем, что первоначально в качестве спиноров рассматривались только двухкомпонентные комплексные объекты, пара которых может образовать биспинор). Биспинор можно интерпретировать как вектор в особом пространстве, называемом обычно "внутренним пространством", не пересекающемся с обычным ("внешним") пространством. Однако, как уже было сказано выше, компоненты спинорных волновых функций при преобразовании координат внешнего пространства изменяются вполне определенным образом, хотя и отличающемся от преобразования компонент векторов обычного пространства.

Точности ради следует сказать, что все изменения, связанные с поворотами координат во внешнем пространстве, можно перенести на матрицы α (которые тогда будут выглядеть по-разному для разных внешних систем координат, но будут сохранять свои основные свойства - антикоммутативности и равенства единице квадрата каждой матрицы), в этом случае компоненты (би-)спиноров вообще не будут меняться при поворотах внешнего пространства.


5. Решение уравнения

Для решения уравнения в случае свободной частицы привлекается спинор χ

\chi^{(1)} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{(2)} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} ,

де \chi^{(1)} \, соответствует спину вверх, а \chi^{(2)} \, соответствует спину вниз.

Для античастиц верно обратное:

\chi^{*(1)} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{*(2)} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} .

Введём также матрицы Паули,

\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \quad \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, \quad \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.

5.1. Для частиц

Решение уравнения Дирака для свободных частиц запишется в виде

\psi = u(\mathbf{p}) e^{i p \cdot x} \,
де
\mathbf{p} \, - обычный трёхмерный вектор, а
p и x - 4-векторы.

Биспинор u является функцией момента и спина,

u^{(s)}(\mathbf{p}) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix} \chi^{(s)}\\ \frac{\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{E+m} \chi^{(s)} \end{bmatrix} \,

5.2. Для античастиц

\psi = v(\mathbf{p}) e^{i p \cdot x} \,

з

v^{(s)}(\mathbf{p}) = \sqrt{|E|+m} \begin{bmatrix} \frac{- \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{|E|+m} \chi^{*(s)} \\ \chi^{*(s)} \end{bmatrix} \,

5.3. Биспиноры

Полные соотношения для биспиноров u и v :

\sum_{s=1,2}{u^{(s)}_p \bar{u}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ + m \,
\sum_{s=1,2}{v^{(s)}_p \bar{v}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ - m \,
де
p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu \, (определение \gamma^\mu\, - см. чуть ниже).

6. Енергетичний спектр

Полезно найти собственные значения энергии гамильтониана Дирака. Для того чтобы это сделать, мы должны решить стационарное уравнение:

H \psi_0 (\mathbf{x}) = E \psi_0(\mathbf{x})

где ψ 0 - независимая от времени часть полной волновой функции

\psi (\mathbf{x}, t) = \psi_0 (\mathbf{x}) e^{- i E t / \hbar},

подстановкой которой в нестационарное уравнение Дирака мы получаем стационарное.

Будем искать решение в виде плоских волн. Для удобства выберем в качестве оси движения ось z. Таким образом

\psi_0 = w e^{\frac{ipz}{\hbar}}

где w - постоянный четырёхкомпонентный спинор и p - импульс частицы, как можно показать действуя оператором импульса на эту волновую функцию. В представлении Дирака уравнение для ψ 0 сводится к задаче на собственные значения:

\begin{bmatrix} mc^2 & 0 & pc & 0 \\ 0 & mc^2 & 0 & -pc \\ pc & 0 & -mc^2 & 0 \\ 0 & -pc & 0 & -mc^2 \end{bmatrix} w = E w.

Для каждого значения p, существует два двумерных пространства собственных значений. Одно пространство собственных значений содержит положительные собственные значения, а другое - отрицательные в виде

E_\pm (p) = \pm \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}.

пространство с положительными собственными значениями порождается собственными состояниями:

\left\{ \begin{bmatrix}pc \\ 0 \\ \epsilon \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ pc \\ 0 \\ - \epsilon \end{bmatrix} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}}

и для отрицательных:

\left\{ \begin{bmatrix}-\epsilon \\ 0 \\ pc \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ \epsilon \\ 0 \\ pc \end{bmatrix} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}}

де

\epsilon \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ |E| - mc^2.

Первое порождающее собственное состояние в каждом собственном пространстве имеет положительную проекцию спина на z направление ("спин вверх"), и второе собственное состояние имеет спин указывающий в противоположном направлении − z ("спин вниз").

В нерелятивистском пределе ε компонента спинора уменьшается до кинетической энергии частицы, которая пренебрежимо мала в сравнении с pc :

\epsilon \sim \frac{p^2}{2m} \ll pc.

В этом пределе четырёхкомпонентную волновую функцию можно интерпретировать как относительную амплитуду (i) спин вверх с положительной энергией, (ii) спин вниз с положительной энергией, (iii) спин вверх с отрицательной энергией, и (iv) спин вниз с отрицательной энергией. Это описание не точно в релятивистском случае, где ненулевые компоненты спинора имеют тот же порядок величины.


7. Дырочная теория

Найденные в предыдущей секции решения c отрицательными энергиями проблематичны, поскольку предполагалось, что частица имеет положительную энергию. Математически говоря, однако, кажется, нет никакой причины для нас, чтобы отклонить решения отрицательной энергии. Так как они существуют, мы не можем просто игнорировать их, как только мы включаем взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, любой электрон, помещенный в состояние с положительной энергией перешёл бы в состояние с отрицательной энергией успешно понизив энергию, испуская лишнюю энергию в форме фотонів. Реальные электроны очевидно не ведут себя таким образом.

Щоб справлятися з цією проблемою, Дірак вводив гіпотезу, відому як діркова теорія, що вакуум - це багаточастинкові квантовий стан, в якому всі стани з негативною енергією зайняті. Цей опис вакууму як "море" електронів називають морем Дірака. Оскільки принцип заборони Паулі забороняє електронам займати те ж саме стан, будь-який додатковий електрон був би змушений зайняти стан з позитивною енергією, і електрони з позитивної енергії не будуть переходити в стану з негативною енергією.

Дірак далі міркував, що якщо стану з негативною енергією не повністю заповнені, кожне незайняте стан - зване діркою - вело б себе як позитивно заряджена частинка. Отвір має "позитивної" енергією, тому що енергія необхідна для створення пари частинка-дірка з вакууму. Як зазначено вище, Дірак спочатку думав, що дірка могла б бути протоном, але Вейль вказав, що дірка повинна вести себе, як ніби вона має ту ж саму масу як електрон, тоді як протон більше ніж в 1800 разів важче. Дірка була в кінцевому рахунку ідентифікована як позитрон, експериментально виявлений Карлом Андерсоном в 1932.

Опис "вакууму" через нескінченне море електронів негативної енергії не цілком задовільно. Нескінченно негативні вклади від моря електронів негативної енергії мають бути скорочені з нескінченною позитивної "голої" енергією і внеском у щільність заряду, і струм, що йде від моря електронів негативної енергії точно скорочується з нескінченним позитивним фоном "желе" так, щоб повна електрична щільність заряду вакууму дорівнювала нулю. В квантової теорії поля, перетворення Боголюбова операторів народження і знищення (перетворює зайняте електронне стан з негативною енергією в незаповнені позитронне стан з позитивною енергією і незайняте електронне стан з негативною енергією у зайняте позитронне стан з позитивною енергією) дозволяє нам оминати формалізм моря Дірака навіть при тому, що, формально, ці підходи еквівалентні.

У певних застосуваннях в фізиці твердого тіла, проте, основні поняття "діркової теорії" є коректними. Море електронів провідності в провіднику, називають морем Фермі, містить електрони з енергіями до хімічного потенціалу системи. Незаповнені стан в море Фермі ведуть себе як позитивно-заряджений електрони, хоча це "дірка", а не "позитрон". Негативний заряд моря Фермі урівноважений позитивно-зарядженої іонної гратами матеріалу.


8. Рівняння Дірака в поданні кватернионов

Рівняння Дірака можна просто записати в поданні, що використовує кватерніони. Ми запишемо його в термінах подання двох полів над кватернионами для правих (Ψ) і лівих (Φ) електронів:

\ Partial_t \ psi i + i \ partial_x \ psi + j \ partial_y \ psi + k \ partial_z \ psi = m_e \ phi j,
\partial_t\phi i - i \partial_x \phi-j \partial_y \phi- k\partial_z \phi = m_e \psi j.

Здесь важно, с какой стороны единичные кватернионы умножаются. Заметим, что массовый и временной члены умножаются справа на кватернионы. Это представление уравнения Дирака используется в компьютерном моделировании.


9. Релятивистски ковариантная форма

Ковариантная запись уравнения Дирака для свободной частицы выглядит так:

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0,

или, используя правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу, так:

\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

9.1. Пояснения

Часто полезно бывает использовать уравнение Дирака в релятивистски ковариантной форме, в которой пространственные и временные координаты рассматриваются формально равноправно.

Чтобы сделать это сначала вспомним, что оператор импульса p действует как пространственная производная:

\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t).

Умножая уравнение Дирака с каждой стороны на α 0 (вспоминая что α 0 =I) и подставляя его в определение для p, получим

\left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right) - mc^2 \right] \psi = 0.

Теперь определим четыре гамма матрицы :

\gamma^0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \,,\quad \gamma^j \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \alpha_j.

Эти матрицы обладают тем свойством, что

\left\{\gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = 2\eta^{\mu\nu} \cdot I\,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3

где η метрика плоского пространства. Эти соотношения определяют алгебру Клиффорда называемую алгеброй Дирака.

Уравнение Дирака теперь можно записать используя четыре-вектор x = ( ct, x), как

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

В этой форме уравнение Дирака можно получить с помощью нахождения экстремума действия

\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2)\psi \, d^4 x

де

\bar\psi \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \psi^\dagger \gamma_0

называется дираковской присоединённой матрицей для ψ. Это основа для использования уравнения Дирака в квантовой теории поля.

В этой форме электромагнитное взаимодействие можно просто добавить расширив частную производную до калибровочноковариантной производной:

\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu.

9.2. Запись с использованием "Feynman slash"

Иногда используется запись с использованием "перечёркнутых матриц" ("Feynman slash"). Приняв обозначение

a\!\!\!/ \leftrightarrow \sum_\mu \gamma^\mu a_\mu ,

видим, что уравнение Дирака можно записать как

(i \hbar c \, \partial\!\!\!/ - mc^2) \psi = 0

и выражение для действия записывается в виде

\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \partial \!\!\!/ - mc^2)\psi \, d^4 x.



10. Дираковские билинейные формы

Имеется пять различных (нейтральных) дираковских билинейных форм без производных:

де \sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2} \left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]_{-} і .


11. Электромагнитное взаимодействие

До сих пор мы рассматривали электрон, на который не действуют никакие внешние поля. По аналогии с гамильтонианом заряженной частицы в классической электродинамике, мы можем изменить гамильтониан Дирака так, чтобы включить эффект электромагнитного поля. Переписанный гамильтониан - (в единицах СИ):

H = \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[p_j - e A_j(\mathbf{x}, t) \right] c + e \varphi(\mathbf{x}, t)

где e - электрический заряд электрона (здесь принято соглашение, что знак e отрицателен), а A и φ - электромагнитные векторный и скалярный потенциалы, соответственно.

Полагая φ = 0 и работая в нерелятивистском пределе, Дирак, нашёл для двух верхних компонент в положительной области энергий волновые функции (которые, как обсуждено ранее, являются доминирующими компонентами в нерелятивистском пределе):

\left( \frac{1}{2m} \sum_j |p_j - e A_j(\mathbf{x}, t)|^2 - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \sigma_j B_j(\mathbf{x}) \right) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}
= (E - mc^2) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}

где B = \nabla A - магнитное поле действующее на частицу. Це уравнение Паули для нерелятивистских частиц с полуцелым спином, с магнитным моментом \hbar e/2mc (то есть, g-фактор равняется 2). Фактический магнитный момент электрона больше чем это значение, хотя только примерно на 0,12 %. Несоответствие происходит из-за квантовых колебаний в электромагнитного поля, которыми пренебрегли. См. вершинная функция.

В течение нескольких лет после открытия уравнения Дирака, большинство физиков полагало, что оно также описывает протон и нейтрон, которые являются фермионами с полуцелым спином. Однако, начинаясь с экспериментов Стерна и Фриша в 1933, найденные магнитные моменты этих частиц не совпадают значительно с предсказанными из уравнения Дирака значениями. Протон имеет магнитный момент, в 2.79 раза больший чем предсказанный (с протонной массой, вставленной для m в вышеупомянутые формулы), то есть, g-фактор равен 5.58. Нейтрон, который является электрически нейтральным, имеет g-фактор−3.83 . Эти "аномальные магнитные моменты" были первым экспериментальным признаком, что протон и нейтрон не элементарные (а составные или, говоря более общим образом, имеющие некоторую внутреннюю структуру) частицы. Впоследствии оказалось, что их можно считать состоящими из меньших частиц, названных кварками, связанными, как полагают, глюонным полем. Кварки имеют полуцелый спин и, насколько известно, точно описываются уравнением Дирака.


11.1. Гамильтониан взаимодействия

Заслуживает внимания факт, что гамильтониан может быть записан как сумма двух слагаемых:

H = H_{\mathrm{free}} + H_{\mathrm{int}} \,

где H free - гамильтониан Дирака для свободного электрона и H int - гамильтониан взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Последний запишется в виде

H_{\mathrm{int}} = e \varphi(\mathbf{x}, t) - ec \sum_{j=1}^3 \alpha_j A_j(\mathbf{x}, t).

Он имеет математическое ожидание (среднее)

\langle H_{\mathrm{int}} \rangle = \int \, \psi^\dagger H_{\mathrm{int}} \psi \, d^3x = \int \, \left(\rho \varphi - \sum_{i=1}^3 j_i A_i \right) \, d^3x

где ρ - плотность электрического заряда и j - плотность электрического тока, определённые через ψ. Подынтегральная функция в последнем интеграле - плотность энергии взаимодействия - лоренц-инвариантная скалярная величина, что легко увидеть, записав в терминах четырехмерной плотности тока j = ( ρc, j) и четырехмерного электромагнитного потенциала A = ( φ/c, A) - каждый из которых является 4-вектором, а следовательно их скалярное произведение инвариантно. И энергия взаимодействия записывается как интеграл по пространству от этого инварианта:

\langle H_{\mathrm{int}} \rangle = \int \, \left( \sum_{\mu,\nu = 0}^3 \eta^{\mu\nu} j_\mu A_\nu \right) \; d^3x

где η - метрика плоского пространства Минковского (лоренцева метрика пространства-времени):

\eta^{00} = 1,\
\eta^{ii} \;= -1 \quad\, (i=1,2,3),
\eta^{\mu\nu} = 0 \ \ \ \ (\mu, \nu = 0,1,2,3; \mu \ne \nu).

А следовательно - проинтегрированная по времени энергия взаимодействие даст лоренц-инвариантный член в действии (так как повороты и преобразования Лоренца не меняют четырехмерный объем).


12. Лагранжиан

Классическая плотность лагранжиана фермиона с полуцелым спином с массой m задаётся

\mathcal{L} = \overline{\psi} \left(i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) \psi \,

де \overline{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0. \,

Для получения уравнений движения можно подставить этот лагранжиан в уравнения Эйлера - Лагранжа :

\partial_\mu \left( \frac{\partial L}{\partial ( \partial_\mu \psi_\sigma )} \right) - \frac{\partial L}{\partial \psi_\sigma} = 0. \,

Оценив два члена:

\ Frac {\ partial L} {\ partial (\ partial_ \ mu \ psi_ \ sigma)} = \ overline {\ psi} _ {\ sigma ^ \ prime} \ left (i \ gamma ^ \ mu \ right) _ { \ sigma ^ \ prime \ sigma} \,
\ Frac {\ partial L} {\ partial \ psi_ \ sigma} =-m \ overline {\ psi} _ {\ sigma} \,

І зібравши обидва результату, отримаємо рівняння

i \ partial_ \ mu \ overline {\ psi} \ gamma ^ \ mu + m \ overline {\ psi} = 0 \, ,

яке ідентичне рівнянню Дірака:

i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu \ psi - m \ psi = 0. \,

Примітки

  1. Оскільки і форма з альфа-матрицями Лоренц-коваріантна, правильніше називати форму з гамма-матрицями просто чотиривимірний (а при заміні звичайних похідних на коваріантний вона дасть общековаріантную запис рівняння Дірака).

Література


15.1. Вибрані статті


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Рівняння Дірака для графену
Море Дірака
Постійна Дірака
Медаль Дірака
Великі числа Дірака
Статистика Фермі - Дірака
Принцип відповідності Дірака
Рівняння
Рівняння Ейнштейна
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru