Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівняння Ейлера


BernoullisLawDerivationDiagram.svg

План:


Введення

Рівняння Ейлера - одне з основних рівнянь гідродинаміки ідеальної рідини. Названо на честь Л. Ейлера, що отримав це рівняння в 1752 (опубліковано в 1757). За своєю суттю є рівнянням руху рідини.


1. Класичне рівняння Ейлера

Розглянемо рух ідеальної рідини. Виділимо всередині неї деякий об'єм V. Згідно другим законом Ньютона, прискорення центру мас цього обсягу пропорційно повній силі, що діє на нього. У разі ідеальної рідини ця сила зводиться до тиску навколишнього обсяг рідини і, можливо, впливу зовнішніх силових полів. Припустимо, що це поле являє собою сили інерції або гравітації, так що ця сила пропорційна напруженості поля і масі елемента обсягу. Тоді

\ Int \ limits_V \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} \, dm = \ int \ limits_V \ mathbf {g} \, dm - \ oint \ limits_S p \, d \ mathbf {S} ,

де S - поверхня виділеного обсягу, g - напруженість поля. Переходячи, згідно формулі Гаусса - Остроградського, від поверхневого інтеграла до об'ємного і враховуючи, що dm = \ rho \, dV , Де \ Rho - Щільність рідини в даній точці, отримаємо:

\ Int \ limits_V \ rho \, \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} \, dV = \ int \ limits_V \ rho \, \ mathbf {g} \, dV - \ int \ limits_V \ nabla p \ , dV

В силу довільності обсягу V подинтегральних функції повинні бути рівні в будь-якій точці:

\ Rho \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} = \ rho \ mathbf {g} - \ nabla p

Висловлюючи повну похідну через конвективну похідну і приватну похідну :

\ Frac {d \ mathbf {v}} {dt} = \ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v}

отримуємо рівняння Ейлера для руху ідеальної рідини в поле тяжіння:

\ Frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} = \ mathbf {g} - \ frac {1} {\ rho} \ nabla p


де \ Rho \ left (x, y, z, t \ right) - Щільність рідини,
p \ left (x, y, z, t \ right) - Тиск в рідині,
\ Mathbf {v} \ left (x, y, z, t \ right) - Вектор швидкості рідини,
\ Mathbf {g} \ left (x, y, z, t \ right) - Вектор напруженості силового поля,
\ Nabla - оператор Набла для тривимірного простору.


2. Окремі випадки

2.1. Стаціонарний одновимірний потік

Для випадку стаціонарного, одновимірного потоку рідини чи газу рівняння Ейлера набуває вигляду:

v \ frac {dv} {dx} = - \ frac {1} {\ rho} \ cdot \ frac {dp} {dx}

У цій формі рівняння часто використовується для вирішення різних прикладних задач гідродинаміки і газодинаміки. Зокрема, інтегруванням цього рівняння за x при постійній щільності рідини \ Rho виходить відоме рівняння Бернуллі для нестисливої ​​рідини:

\ Frac {\ rho v ^ 2} {2} + p = const

2.2. Нестисливої ​​рідина

Нехай \ Rho = const . Використовуючи відому формулу

\ Frac {1} {2} \, \ operatorname {grad} \, v ^ 2 \, = \, [\ mathbf {v} \, \ operatorname {rot} \, \ mathbf {v}] \, + \ , \ left (\ mathbf {v \ nabla} \ right) \ mathbf {v} ,

перепишемо співвідношення у формі

\ Frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t} \, + \ frac {1} {2} \, \ operatorname {grad} \, v ^ 2 \, = \, [\ mathbf {v} \, \ operatorname {rot} \, \ mathbf {v}] \, - \ operatorname {grad} \ frac {p} {\ rho}

Беручи ротор і враховуючи, що

\ Operatorname {rot} \, \ operatorname {grad} \, \ phi = 0 ,

а приватні похідні комутують, отримуємо що

\ Frac {\ partial} {\ partial



2.3. Адіабатичне протягом

У випадку, якщо відбувається адіабатичне рух рідини, то рівняння Ейлера можна переписати з використанням теплової функції w \, наступним чином:

dw \, = \, V \, dp \, + \, T \, ds \, = \, V \, dp в силу того, що при адіабатичному процесі ентропія s постійна.

Отже:

\ Frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t} \, + \, \ left (\ mathbf {v \ nabla} \ right) \ mathbf {v} \, = \, - \ operatorname {grad} \, w

використовуючи відоме співвідношення:

\ Frac {1} {2} \, \ operatorname {grad} \, v ^ 2 \, = \, [\ mathbf {v} \, \ operatorname {rot} \, \ mathbf {v}] \, + \ , \ left (\ mathbf {v \ nabla} \ right) \ mathbf {v} ,

і застосовуючи операцію ротор до рівняння Ейлера одержимо шукане представлення у вигляді:

\ Frac {\ partial} {\ partial

Література

Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Гідродинаміка. - М ., 1986. - ( "Теоретична фізика", том VI).


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Рівняння Ейлера - Лагранжа
Рівняння Коші - Ейлера
Підстановки Ейлера
Формула Ейлера
Функція Ейлера
Пряма Ейлера
Критерій Ейлера
Метод Ейлера
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru