Рівняння Ейлера - Лагранжа

Рівняння Ейлера - Лагранжа (у фізиці також рівняння Лагранжа - Ейлера або рівняння Лагранжа) є основними формулами варіаційного обчислення, c допомогою яких шукаються стаціонарні точки і екстремуми функціоналів. Зокрема, ці рівняння широко використовуються в задачах оптимізації, і, разом з принципом найменшої дії, використовуються для обчислення траєкторій в механіці. В теоретичній фізиці взагалі це (класичні) рівняння руху в контексті отримання їх з написаного явно вирази для дії ( лагранжіана).

Використання рівнянь Ейлера - Лагранжа для знаходження екстремуму функціонала в деякому розумінні аналогічно використанню теореми диференціального числення, яка стверджує, що лише в точці, де перша похідна функції звертається в нуль, гладка функція може мати екстремум (у разі векторного аргументу прирівнюється нулю градієнт функції, тобто похідна по векторному аргументу). Точніше кажучи, це пряме узагальнення відповідної формули на випадок функціоналів - функцій нескінченновимірного аргументу.

Рівняння були отримані Леонардом Ейлером і Жозефом-Луї Лагранжем в 1750-х роках.


1. Затвердження

Нехай заданий функціонал

J = \ int \ limits_a ^ b F (x, f (x), f '(x)) \, dx.

з підінтегральна функція \! F (x, f (x), f '(x)) , Що володіє безперервними першими приватними похідними і званої функцією Лагранжа або лагранжіаном, де через f 'позначена перша похідна f по x. Якщо цей функціонал досягає екстремуму на деякій функції \! f , То для неї повинне виконуватися звичайне диференціальне рівняння

\ Frac {\ partial F} {\ partial f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial F} {\ partial f '} = 0,

що називається рівнянням Ейлера - Лагранжа.


2. Приклади

Розглянемо стандартний приклад: знайти найкоротший шлях між двома точками площини. Відповіддю, очевидно, є відрізок, що з'єднує ці точки. Спробуємо отримати його за допомогою рівняння Ейлера - Лагранжа. Нехай точки, які треба з'єднати, мають координати \! (A, c) і \! (B, d) . Тоді довжина шляху \! y (x) , Що з'єднує ці точки, може бути записана таким чином:

L = \ int \ limits_a ^ b \ sqrt {1 + \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2} dx.

Рівняння Ейлера - Лагранжа для цього функціоналу приймає вигляд:

\ Frac d {dx} \ frac {\ partial} {\ partial y '} \ sqrt {1 + \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2} = 0,

звідки отримуємо, що

\ Frac {dy} {dx} = C \ Rightarrow y = Cx + D.

Таким чином, отримуємо пряму лінію. Враховуючи, що \! y (a) = c , \! y (b) = d , Тобто що вона проходить через вихідні точки, отримуємо вірну відповідь: відрізок, що з'єднує точки.


3. Багатовимірні варіації

Існує також безліч багатовимірних варіантів рівнянь Ейлера - Лагранжа.

  • Якщо q (t) - Шлях в n -Мірному просторі, то він доставляє екстремум функціоналу
J = \ int \ limits_ {t1} ^ {t2} L (t, q (t), q '(t)) \, dt

тільки якщо задовольняє умові

\ Frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial q'_k} - \ frac {\ partial L} {\ partial q_k} = 0\ Forall k = 1, 2, \ dots n

У фізичних додатках коли \! L є лагранжіаном (мається на увазі лагранжіана деякої фізичної системи; тобто якщо J - дію для цієї системи), ці рівняння - суть (класичні) рівняння руху такої системи. Це твердження може бути прямо загально і на випадок нескінченновимірного q.

  • Інша багатовимірне узагальнення виходить при розгляді функції n змінних. Якщо \! \ Omega - Будь, в даному випадку n-мірна, поверхня, то
J = \ int \ limits_ {\ Omega} L (f, x_1, \ dots, x_n, f_ {x_1}, \ dots, f_ {x_n}) \, d \ Omega,

де x_i = x_1, x_2, x_3, \ dots, x_n - Незалежні координати, f = f (x_1, x_2, x_3, \ dots, x_n) , f_ {x_i} \ equiv \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} ,

доставляє екстремум якщо тільки f задовольняє рівнянню в приватних похідних

\ Frac {\ partial L} {\ partial f} - \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ partial} {\ partial x_i} \ frac {\ partial L} {\ partial f_ {x_i}} = 0.

Якщо n = 2 і L - Функціонал енергії, то ця задача називається "мінімізацією поверхні мильної плівки".

  • Очевидна комбінація двох описаних вище випадків використовується для отримання рівнянь руху розподілених систем, таких як фізичні поля, що коливаються струни або мембрани і т.п.

Зокрема, замість статичного рівняння рівноваги мильної плівки, наведеного в якості прикладу в попередньому пункті, маємо в цьому випадку динамічне рівняння руху такої плівки (якщо, звичайно, нам вдалося спочатку записати для неї дію, тобто кінетичну і потенційну енергію).


4. Історія

Рівняння Ейлера - Лагранжа було отримано в 1750-х роках Ейлером і Лагранжем при вирішенні задачі про изохроне. Це проблема визначення кривої, по якій важка частинка потрапляє в фіксовану точку за фіксований час, незалежно від початкової точки.

Лагранж вирішив цю задачу в 1755 і відіслав рішення Ейлера. Розвинений згодом метод Лагранжа і застосування його в механіці привело до формулювання лагранжевої механіки. Листування вчених призвела до створення варіаційного числення (термін придумав Ейлер в 1766).


5. Доказ

Висновок одновимірного рівняння Ейлера - Лагранжа є одним з класичних доказів у математиці. Воно грунтується на основний лемі варіаційного числення.

Ми хочемо знайти таку функцію \! f , Яка задовольняє граничним умовам \! f (a) = c , \! f (b) = d і доставляє екстремум функціоналу

J = \ int \ limits_a ^ b F (x, f (x), f '(x)) \, dx.

Припустимо, що \! F має безперервні перші похідні. Досить і слабших умов, але доказ для загального випадку більш складно.

Якщо \! f дає екстремум функціоналу і задовольняє граничним умовам, то будь слабке обурення \! f , Яке зберігає граничні умови, повинно збільшувати значення \! J (Якщо \! f мінімізує його) або зменшувати \! J (Якщо \! f максимізує).

Нехай \! \ Eta (x) - Будь дифференцируемая функція, яка задовольнить умові \! \ Eta (a) = \ eta (b) = 0 . Визначимо

J (\ varepsilon) = \ int \ limits_a ^ b F (x, f (x) + \ varepsilon \ eta (x), f '(x) + \ varepsilon \ eta' (x)) \, dx.

Оскільки \! f дає екстремум для \! J (0) , То \! J '(0) = 0 , Тобто

J '(0) = \ int \ limits_a ^ b \ left [\ eta (x) \ frac {\ partial F} {\ partial f} + \ eta' (x) \ frac {\ partial F} {\ partial f '} \ right] \, dx = 0.

Інтегруючи по частинах другий доданок, знаходимо, що

0 = \ int \ limits_a ^ b \ left [\ frac {\ partial F} {\ partial f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial F} {\ partial f '} \ right] \ eta (x) \, dx + \ left [\ eta (x) \ frac {\ partial F} {\ partial f '} \ right] _a ^ b.

Використовуючи граничні умови на \! \ Eta , Отримаємо

0 = \ int \ limits_a ^ b \ left [\ frac {\ partial F} {\ partial f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial F} {\ partial f '} \ right] \ eta (x) \, dx.

Звідси, так як \! \ Eta (x) - Будь-яка, слід рівняння Ейлера - Лагранжа:

\ Frac {\ partial F} {\ partial f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial F} {\ partial f '} = 0.

Якщо не вводити граничні умови на \! \ Eta (x) , То також потрібні умови трансверсально:

\ Frac {\ partial F} {\ partial f '} (a) = 0
\ Frac {\ partial F} {\ partial f '} (b) = 0

6. Узагальнення на випадок з вищими похідними

Лагранжіана може також залежати і від похідних f порядки вище, ніж перший.

Нехай функціонал, екстремум якого потрібно знайти, заданий у вигляді:

J = \ int \ limits_a ^ b F (x, f (x), f '(x), f'' (x), ..., f ^ {(n)} (x)) \, dx.

Якщо накласти граничні умови на f і на її похідні до порядку n-1 включно, а також передбачити, що F має безперервні перші похідні, то можна, застосовуючи інтегрування по частинах кілька разів, вивести аналог рівняння Ейлера-Лагранжа і для цього випадку:

\ Frac {\ partial F} {\ partial f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial F} {\ partial f '} + \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} \ frac { \ partial F} {\ partial f''} - \ cdots + (-1) ^ n \ frac {d ^ n} {dx ^ n} \ frac {\ partial F} {\ partial f ^ {(n)}} = 0.

Це рівняння часто називають рівнянням Ейлера - Пуассона.

Два лагранжіана, отлічающеся на повну похідну, дадуть одні й ті ж диференціальні рівняння, однак максимальний порядок похідних в цих лагранжіанах може бути різний. Наприклад, L_1 = (f ^ \ prime (x)) ^ 2 ~, ~ L_2 =-f (x) f ^ {\ prime \ prime} (x) ~, ~ L_1-L_2 = \ frac {d} {dx} ( f (x) f ^ \ prime (x)) . Щоб отримати диференціальне рівняння на екстремум, до L_1 досить застосувати "звичайне" рівняння Ейлера - Лагранжа, а для L_2 , Оскільки він залежить від другої похідної, потрібно використовувати рівняння Ейлера - Пуассона з відповідним доданком:

\ Frac {\ partial L_1} {\ partial f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial L_1} {\ partial f '} = -2 f ^ {\ prime \ prime} (x),
\ Frac {\ partial L_2} {\ partial f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial L_2} {\ partial f '} + \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} \ frac { \ partial L_2} {\ partial f ^ {\ prime \ prime}} = -2 f ^ {\ prime \ prime} (x),

і в обох випадках вийде одне і те ж диференціальне рівняння -2 F ^ {\ prime \ prime} (x) = 0 .


Література

  • Алексєєв В. М., Тихомиров В. М., Фомін С. В. Оптимальне управління. - М.: Наука, 1979
  • Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Сучасна геометрія: Методи і додатки. - М.: Наука, 1979
  • Ельсгольц Л. Е. Диференціальні рівняння та варіаційне числення. - М.: Наука, 1969.
  • Зелікіним М. І. Однорідні простору і рівняння Ріккаті у варіаційному численні, - Факторіал, Москва, 1998.
  • Зелікіним М. І. Оптимальне управління та варіаційне числення, - УРСС, Москва, 2004.