Рівняння Клейна - Гордона

Рівняння Клейна - Гордона (Рівняння Клейна - Гордона - Фока, рівняння Клейна-Фока):

\ Partial ^ 2_x \ psi + \ partial ^ 2_y \ psi + \ partial ^ 2_z \ psi - {1 \ over c ^ 2} \ partial ^ 2_t \ psi - {m ^ 2 c ^ 2 \ over \ hbar ^ 2} \ psi = 0.

або, коротко, використовуючи вдобавок природні одиниці (де \ Hbar = c = 1 ):

(\ Square \ - m ^ 2) \ psi = 0.

де \ Square \ - оператор Д'Аламбера.

- Є релятивістської версією рівняння Шредінгера. Використовується для опису швидко рухомих частинок, що мають масу (масу спокою). Строго застосовне до опису скалярних масивних полів (втім, поки з визначеністю не відомих у фундаментальній фізиці). Може бути узагальнено для часток з цілим і напівцілим спинами. [1] Крім іншого, ясно, що рівняння Клейна - Гордона - Фока є узагальненням хвильового рівняння, відповідного для опису безмассових скалярних і векторних полів.

Механічні системи (реальні чи уявні), описується рівнянням Клейна - Гордона, можуть бути простими модифікаціями систем, описуваних хвильовим рівнянням, наприклад:

  • в одновимірному випадку - натягнута важка нитка, лежача (приклеєна) на пружною (Гуковскій) підкладці.
  • макроскопічно ізотропний кристал, кожен атом якого знаходиться, крім зв'язки з сусідніми атомами, ще й у фіксованій в просторі квадратичної потенційній ямі.
  • більш реалістично, якщо говорити про реальних кристалах, розглянути моди поперечних коливань, при яких, наприклад, сусідні шари атомів коливаються в протифазі: такі моди (в лінійному наближенні) будуть підкорятися двовимірному рівнянню Клейна - Гордона в координатах, які лежать в площині шарів.

Рівняння, у якому останній ("масовий") член має знак, протилежний звичайному, описує в теоретичній фізиці Тахіон. Такий варіант рівняння також допускає просту механічну реалізацію.

Рівняння Клейна - Гордона для вільної частинки (яке і наведено вище) має просте рішення у вигляді синусоїдальних плоских хвиль.

  • Зауваження: поклавши просторові похідні нулю (що в квантовій механіці відповідає нульовому імпульсу частинки), ми маємо для звичайного рівняння Клейна - Гордона гармонійний осцилятор з частотою \ Pm mc ^ 2 / \ hbar , Що відповідає ненульовий енергії спокою, яка визначається масою m частинки. Тахіон же варіант рівняння в цьому випадку нестійкий, а рішення його включає в загальному випадку необмежено зростаючу експоненту.

1. Історія

Рівняння Клейна - Гордона спочатку записав Ервін Шредінгер до запису нерелятівістского рівняння, яке носить зараз його ім'я. Він відмовився від нього, бо не зміг включити спін електрона в рівняння. Шредінгер зробив спрощення рівняння Клейна - Гордона і знайшов "своє" рівняння.

В 1926 року, невдовзі після публікації рівняння Шредінгера, Фок написав статтю про його узагальненні на випадок магнітних полів, де сили залежали від швидкості та незалежно вивів це рівняння. І Клейн, і Фок використовували метод Калуци - Клейна. Фок також ввів калібрувальну теорію для хвильового рівняння.


2. Висновок

  • (Тут використані природні одиниці де \ Hbar = c = 1 ).

Рівняння Шредінгера для вільної частинки записується так:

\ Frac {\ hat {\ mathbf {p}} ^ 2} {2m} \ psi = i \ partial_t \ psi

де \ Hat {\ mathbf {p}} =-i \ mathbf {\ nabla} - Оператор імпульсу, оператор же \ Hat {E} = i \ partial_t - Будемо називати, на відміну від гамільтоніана, просто оператором енергії.

Рівняння Шредінгера не є релятивістськи коваріантного, тобто не узгоджується зі спеціальною теорією відносності (СТО).

Використовуємо релятивістське співвідношення, що зв'язує енергію і імпульс (з СТО):

p ^ 2 + m ^ 2 = E ^ 2.

Тоді просто підставляючи квантовомеханічних оператор імпульсу і оператор енергії [2] - отримуємо:

((-I \ mathbf {\ nabla}) ^ 2 + m ^ 2) \ psi = i ^ 2 \ partial_t ^ 2 \ psi,

що в коваріантного формі запишеться так:

(\ Square \ - m ^ 2) \ psi = 0.

де \ Square \ = \ nabla ^ 2 - \ partial_t ^ 2 - оператор Д'Аламбера.


3. Рішення рівняння Клейна - Гордона для вільної частинки

Шукати рішення рівняння Клейна - Гордона для вільної частинки

\ Mathbf {\ nabla} ^ 2 \ psi-\ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ psi = \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ psi

можна, як і для будь-якого лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами, у вигляді суперпозиції (тобто будь, кінцевою або нескінченною лінійної комбінації) плоских хвиль:

\ Psi (\ mathbf {r}, \; t) = e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)},

підставляючи ж кожну таку хвилю в рівняння, отримуємо умову на \ Mathbf k і \ Omega :

-K ^ 2 + \ frac {\ omega ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2}.

Плоска хвиля, як легко помітити, описує чистий стан з певною енергією і імпульсом (тобто є власною функцією відповідних операторів). Енергія та імпульс (тобто власні значення цих операторів), виходячи з цього, можуть бути для неї просто пораховані, як і у випадку нерелятивістської частинки:

\ Langle \ mathbf {p} \ rangle = \ langle \ psi | \ hat {\ mathbf {p}} | \ psi \ rangle = \ langle \ psi |-i \ hbar \ mathbf {\ nabla} | \ psi \ rangle = \ hbar \ mathbf {k}
\ Langle E \ rangle = \ langle \ psi | \ hat {E} | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} | \ psi \ rangle = \ hbar \ omega

Знайдене співвідношення k і \ Omega тоді (знову) дає рівняння зв'язку між енергією та імпульсом релятивістської частинки з ненульовою масою, відоме з класики:

\ Langle E ^ 2 \ rangle = m ^ 2c ^ 4 + \ langle \ mathbf {p} ^ 2 \ rangle c ^ 2.

Причому зрозуміло, що співвідношення для середніх величин буде виконуватися не тільки для станів з певною енергією і імпульсом, але і для будь-якої їх суперпозиції, тобто для будь-якого рішення рівняння Клейна - Гордона (що, зокрема, забезпечує виконання цього співвідношення і в класичному межі ).

Для безмассових частинок ми можемо покласти m = 0 в останньому рівнянні. Тоді отримаємо для безмассових частинок закон дисперсії (він же співвідношення енергії і імпульсу) у вигляді:

\ Langle E ^ 2 \ rangle = \ langle \ mathbf {p} ^ 2 \ rangle c ^ 2.

Використавши формулу групової швидкості \ Mathbf {v} _ {gr} = \ partial \ omega / \ partial \ mathbf {k} \ , Неважко отримати звичайні релятивістські формули зв'язку імпульсу і енергії зі швидкістю; в принципі, того ж результату можна добитися і просто порахувавши комутатор гамільтоніана з координатою, але в разі рівняння Клейна - Гордона ми стикаємося з труднощами виписати гамільтоніан в явному вигляді [3] (очевидний тільки квадрат гамільтоніана).


Примітки

  1. см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. - "Введення в теорію квантованих полів" 4,6
  2. Можна було б просто витягти корінь з оператора в дужках у лівій частині рівняння
    ((-I \ mathbf {\ nabla}) ^ 2 + m ^ 2) \ psi = i ^ 2 \ partial_t ^ 2 \ psi,
    тобто знайти таким чином гамільтоніан, тоді в правій частині залишилася б перша похідна за часом, і аналогія з рівнянням Шредінгера була б ще більш безпосередній і прямий. Однак стверджується, що для випадку скалярного (або векторного) поля \ Psi неможливо виконати це так, щоб вийшов гамільтоніан був локальним. Для випадку ж біспінорного \ Psi Дірака вдалося отримати таким чином локальний (і навіть з похідними лише першого порядку) гамільтоніан, отримавши цим самим так зване рівняння Дірака (всі рішення якого в просторі Маньківського, до речі, є і рішеннями рівняння Клейна - Гордона, але не назад, а у викривленому просторі відмінність рівнянь стає явним).
  3. див. примітку 2.

5. Зовнішні посилання