Рівняння Коші - Ейлера

В математики ( диференційних рівняннях), рівняння Коші - Ейлера (Ейлера - Коші) є окремим випадком лінійного диференціального рівняння (див. лінійне диференціальне рівняння), що приводиться до лінійному диференціальному рівнянню з постійними коефіцієнтами, яке має простий алгоритм вирішення.


1. Рівняння порядку n

Загальний вид рівняння:

\ Sum ^ {n} _ {k = 0} {a_k (\ alpha x + \ beta) ^ ky ^ {(k)} (x)} = f (x) .

Його окремий випадок:

\ Sum ^ {n} _ {k = 0} {a_kx ^ k y ^ {(k)} (x)} = f (x) .

1.1. Підстановка

Підстановка виду ~ \ (\ Alpha x + \ beta) = e ^ t тобто ~ \ T = \ ln (\ alpha x + \ beta) призводить рівняння до виду лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
Дійсно, зауважимо, що ~ \ T_x '= \ alpha (\ alpha x + \ beta) ^ {-1} , ~ \ T_ {xx}'' = - \ alpha ^ 2 (\ alpha x + \ beta) ^ {-2} і ~ \ T_ {xxx}'' '= +2 \ alpha ^ 3 (\ alpha x + \ beta) ^ {-3} .
У відповідності з цим:

~ \ Y (t) = y (t (x))

звідки

~ \ Y_x '(x) = y_t' (t) t_x '= y_t' (t) \ alpha (\ alpha x + \ beta) ^ {-1}

таким чином

~ \ (\ Alpha x + \ beta) y_x '(x) = \ alpha y_t' (t)

Обчислимо чергову похідну складної функції

~ \ Y_ {xx}'' (x) = (y_x '(x)) _x' = (y_t '(t) t_x') _x '= y_ {tt}'' (t) t_x't_x' + y_t ' (t) t_ {xx}'' = y_ {tt}'' (t) \ alpha ^ 2 (\ alpha x + \ beta) ^ {-2} + y_t '(t) (- \ alpha ^ 2) ( \ alpha x + \ beta) ^ {-2} ,

що призводить до

~ \ (\ Alpha x + \ beta) ^ 2 y_ {xx}'' (x) = \ alpha ^ 2 (y_ {tt}'' (t) - y_t '(t)) .

і далі

~ \ Y_ {xxx}'' '(x) = (y_ {xx}'' (x)) _x' = (y_ {tt}'' (t) (t_x ') ^ 2 + y_t' (t) t_ {xx}'') _x '= y_ {ttt}''' (t) t_x '(t_x') ^ 2 + y_ {tt}'' (t) 2t_x't_ {xx}'' + y_ {tt} '' (t) t_x't_ {xx}'' + y_t '(t) t_ {xxx}''' =

~ \ = Y_ {ttt}'' '(t) (t_x') ^ 3 + 3y_ {tt}'' (t) t_x't_ {xx}'' + y_t '(t) t_ {xxx}''' = y_ {ttt}'' '(t) \ alpha ^ 3 (\ alpha x + \ beta) ^ {-3} - 3y_ {tt}'' (t) \ alpha ^ 3 (\ alpha x + \ beta) ^ {-3} + 2y_t '(t) \ alpha ^ 3 (\ alpha x + \ beta) ^ {-3}

що, аналогічно, призводить до

~ \ (\ Alpha x + \ beta) ^ 3 y_ {xxx}'' '(x) = \ alpha ^ 3 (y_ {ttt}''' (t)-3y_ {tt}'' (t) +2 y_t '(t))

Цей ланцюг обчислень може бути продовжена до будь-якого порядку n


1.2. Приклад

Дано неоднорідне рівняння

~ \ (2x-1) ^ 3y'' '(x) +4 (2x-1) ^ 2y'' (x) -8 (2x-1) y' (x) = 32 \ ln (2x-1) .

Визначивши підстановку ~ \ T = \ ln (2x-1)~ \ \ Left ((2x-1) = e ^ t \ right) , Приходимо до рівняння

~ \ 8 (y'' '(t)-3y'' (t) +2 y' (t)) +4 \ cdot 4 (y'' (t) - y '(t)) - 8 \ cdot 2y' (t) = 32t .

Після приведення маємо лінійне неоднорідне рівняння з постійними коефіцієнтами

~ \ Y'' '(t)-y'' (t)-2y' (t) = 4 t ,

рішення якого має вигляд

~ \ Y (t) = c_1e ^ {-1t} + c_2e ^ {2t} + c_3 + t-t ^ 2

або в термінах ~ \ X

~ \ Y (x) = c_1 (2x-1) ^ {-1} + c_2 (2x-1) ^ {2} + c_3 + ln (2x-1)-ln (2x-1) ^ 2


2. Рівняння другого порядку

Загальний вид рівняння:

~ \ A_2 (\ alpha x + \ beta) ^ 2 y'' (x) + a_1 (\ alpha x + \ beta) y '(x) + a_0 y (x) = f (x) .

Його окремий випадок:

~ \ A_2 x ^ 2 y'' (x) + a_1 x y '(x) + a_0 y (x) = f (x) .

Підстановкою ~ \ (\ Alpha x + \ beta) = e ^ t тобто ~ \ T = \ ln (\ alpha x + \ beta)
або, відповідно,

~ \ X = e ^ t тобто ~ \ T = \ ln x

наводиться до виду лінійного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

~ \ A_2 \ alpha ^ 2 y'' (t) + a_1 \ alpha y '(t) + a_0 y (t) = f (e ^ t) .

або, відповідно,

~ \ A_2 y'' (t) + a_1 y '(t) + a_0 y (t) = f (e ^ t) .


2.1. Приклад

Дано неоднорідне рівняння

~ \ X ^ 2y'' (x)-2xy '(x) +2 y (x) = 6x .

Визначивши підстановку ~ \ T = \ ln x ( ~ \ X = e ^ t ), Приходимо до рівняння

~ \ (Y'' (t) - y '(t)) - 2y' (t) + 2y (t) = 6e ^ t .

Після приведення маємо лінійне неоднорідне рівняння з постійними коефіцієнтами

~ \ Y'' (t) - 3y '(t) + 2y (t) = 6e ^ t ,

рішення якого має вигляд

~ \ Y (t) = c_1e ^ {+1 t} + c_2e ^ {+2 t}-6te ^ {+1 t}

або в термінах ~ \ X

~ \ Y (x) = c_1x + c_2x ^ {2}-6x \ ln x


2.2. Ще один спосіб вирішення однорідного рівняння другого порядку

Розглянемо однорідне рівняння другого порядку виду:

~ \ X ^ 2 y'' (x) + p x y '(x) + q y (x) = 0 .

Його рішеннями є функції виду:

~ \ Y (x) = x ^ r ,

де r - Рішення характеристичного рівняння

~ \ R ^ 2 + (p - 1) r + q = 0 ,

яке збігається з характеристичним рівнянням однорідного рівняння з постійними коефіцієнтами, отриманого з вихідного рівняння шляхом описаної вище заміни змінної.


2.3. Приклад

Дано однорідне рівняння

~ \ X ^ 2y'' (x)-2xy '(x) +2 y (x) = 0 .

Характеристичне рівняння якого має вигляд

~ \ R ^ 2 + (-2 - 1) r + 2 = 0 \ Leftrightarrow r ^ 2-3r + 2 = 0 ,

з рішеннями ~ \ R_1 = 1 , ~ \ R_2 = 2 .
Тоді загальне рішення однорідного рівняння

~ \ Y (x) = c_1x + c_2x ^ {2}