Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівняння Максвелла


Solenoid.svg

План:


Введення

Рівняння Максвелла - система диференціальних рівнянь, що описують електромагнітне поле і його зв'язок з електричними зарядами і струмами у вакуумі і суцільних середовищах. Разом з виразом для сили Лоренца утворюють повну систему рівнянь класичної електродинаміки. Рівняння, сформульовані Джеймсом Клерком Максвеллом на основі накопичених до середини XIX століття експериментальних результатів, зіграли ключову роль у розвитку уявлень теоретичної фізики і зробили сильний, часто вирішальне, вплив не тільки на всі галузі фізики, безпосередньо пов'язані з електромагнетизмом, але й на багато що виникли згодом фундаментальні теорії, предмет яких не зводився до електромагнетизму (одним з найяскравіших прикладів тут може служити спеціальна теорія відносності).


1. Історія

Джеймс Клерк Максвелл

Рівняння, сформульовані Джеймсом Клерком Максвеллом, виникли на основі ряду важливих експериментальних відкриттів, які були зроблені на початку XIX століття. У 1820 році Ганс Християн Ерстед виявив [1], що пропускається через дріт гальванічний струм змушує відхилятися магнітну стрілку компаса. Це відкриття привернуло широку увагу вчених того часу. У тому ж 1820 Біо і Савар експериментально знайшли вираз [2] для породжуваної струмом магнітної індукції ( закон Біо-Савара), і Андре Марі Ампер виявив, що взаємодія на відстані виникає також між двома провідниками, за якими пропускається струм. Ампер ввів термін " електродинамічний "і висунув гіпотезу, що природний магнетизм пов'язаний з існуванням в магніті кругових струмів [3].

Вплив струму на магніт, виявлене Ерстед, призвело Майкла Фарадея до ідеї про те, що повинно існувати зворотний вплив магніту на струми. Після тривалих експериментів, в 1831 році, Фарадей відкрив, що переміщається біля провідника магніт породжує в провіднику електричний струм. Це явище було названо електромагнітної індукції. Фарадей ввів поняття "поля сил" - деякої середовища, що знаходиться між зарядами і струмами. Його міркування носили якісний характер, проте вони зробили величезний вплив на дослідження Максвелла.

Після відкриттів Фарадея стало ясно, що старі моделі електромагнетизму ( Ампер, Пуассон тощо) неповні. Незабаром з'явилася теорія Вебера, заснована на дальнодействії. Проте до цього моменту вся фізика, крім теорії тяжіння, мала справу тільки з блізкодейственнимі силами (оптика, термодинаміка, механіка суцільних середовищ та ін.) Гаусс, Ріман і ряд інших вчених висловлювали припущення, що світло має електромагнітну природу, так що теорія електромагнітних явищ теж повинна бути блізкодейственной. Цей принцип став істотною особливістю теорії Максвелла.

У своєму знаменитому "Трактаті про електрику і магнетизм" ( 1873) Максвелл писав [4] :

Приступаючи до вивчення праці Фарадея, я встановив, що його метод розуміння явищ був так же математичним, хоча і не представленим у формі звичайних математичних символів. Я також знайшов, що цей метод можна виразити у звичайній математичній формі і таким чином порівняти з методами професійних математиків.

Замінюючи фарадеевскій термін "поле сил" на поняття "напруженість поля", Максвелл зробив його ключовим об'єктом своєї теорії [5] :

Якщо ми приймемо цю середу як гіпотезу, я вважаю, що вона повинна займати видатне місце в наших дослідженнях, і що нам слід було б спробувати сконструювати раціональне уявлення про всі деталі її дії, що і було моєю постійною метою в цьому трактаті.

Подібна електродинамічна середу з'явилася абсолютно новим поняттям для ньютонівської фізики. Остання вивчала взаємодію між собою матеріальних тел. Максвелл ж записав рівняння, яким повинна підпорядковуватися середа, визначальна взаємодія зарядів і струмів та існуюча навіть за їх відсутності.

Електричний струм створює магнітну індукцію (закон Ампера)

Аналізуючи відомі експерименти, Максвелл отримав систему рівнянь для електричного і магнітного полів. В 1855 у своїй найпершій статті "Про фарадеевих силових лініях" [6] ("On Faraday's Lines of Force" [7]) він вперше записав в диференціальної формі систему рівнянь електродинаміки, але не вводячи ще струм зміщення. Така система рівнянь описувала всі відомі на той час експериментальні дані, але не дозволяла зв'язати між собою заряди і струми і передбачити електромагнітні хвилі [8]. Вперше струм зміщення був введений Максвеллом в роботі "Про фізичні силових лініях" [9] ("On Physical Lines of Force" [10]), що складається з чотирьох частин і опублікованій в 1861-1862 роках. Узагальнюючи закон Ампера, Максвелл вводить струм зміщення, ймовірно, щоб зв'язати струми і заряди рівнянням безперервності, яке вже було відомо для інших фізичних величин [8]. Отже, у цій статті фактично була завершена формулювання повної системи рівнянь електродинаміки. У статті 1864 "Динамічна теорія електромагнітного поля" [11] ("A dynamical theory of the electromagnetic field" [12]) розглянута сформульована раніше система рівнянь з 20 скалярних рівнянь для 20 скалярних невідомих. У цій статті Максвелл вперше сформулював поняття електромагнітного поля як фізичної реальності, яка має власну енергію і кінцевий час розповсюдження, що визначає запізнілий характер електромагнітної взаємодії [8].

Змінний потік магнітного поля створює електричне поле (закон Фарадея)

Виявилося, що не тільки струм, але і змінюється з часом електричне поле (струм зміщення) породжує магнітне поле. У свою чергу, в силу закону Фарадея, що змінюється магнітне поле знову породжує електричне. В результаті, в порожньому просторі може поширюватися електромагнітна хвиля. З рівнянь Максвелла випливало, що її швидкість дорівнює швидкості світла, тому Максвелл зробив висновок про електромагнітну природу світла.

Частина фізиків виступила проти теорії Максвелла (особливо багато заперечень викликала концепція струму зсуву). Гельмгольц запропонував свою теорію, компромісну стосовно моделей Вебера і Максвелла, і доручив своєму учневі Генріху Герцу провести її експериментальну перевірку. Проте досліди Герца однозначно підтвердили правоту Максвелла.

Максвелл не використовував векторних позначень і записував свої рівняння в досить громіздкому компонентному вигляді. У своєму трактаті [13] він, крім того, частково використовував кватерніонів формулювання. Сучасна форма рівнянь Максвелла з'явилася близько 1884 після робіт Хевісайда, Герца і Гіббса. Вони не тільки переписали систему Максвелла у векторному вигляді, але і симметризовавший її, переформулювати в термінах поля, позбувшись електричного і магнітного потенціалів, що грали в теорії Максвелла істотну роль, оскільки вважали, що ці функції є лише непотрібними допоміжними математичними абстракціями [14]. Цікаво, що сучасна фізика підтримує Максвелла, але не розділяє негативне ставлення його ранніх послідовників до потенціалом. Електромагнітний потенціал відіграє важливу роль в квантової фізики і проявляється як фізично вимірювана величина в деяких експериментах, наприклад, в ефекті Ааронового - Бома [15].

Система рівнянь у формулюванні Герца і Хевісайда деякий час називалася рівняннями Герца - Хевісайда [16]. Ейнштейн у класичній статті "До електродинаміки рухомих тіл" [17] назвав їх рівняннями Максвелла - Герца. Іноді в літературі зустрічається також назва рівняння Максвелла - Хевісайда [18].

Рівняння Максвелла зіграли важливу роль при виникненні спеціальної теорії відносності (СТО). Джозеф Лармор (1900 рік) [19] і незалежно від нього Хенрік Лоренц ( 1904) [20] знайшли перетворення координат, часу і електромагнітних полів, які залишають рівняння Максвелла інваріантними при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої. Ці перетворення відрізнялися від перетворень Галілея класичної механіки і, слідуючи Анрі Пуанкаре [21], стали називатися перетвореннями Лоренца. Вони стали фундаментом математичним спеціальної теорії відносності.

Поширення електромагнітних хвиль зі швидкістю світла спочатку інтерпретувалося як обурення деякої середовища, так званого ефіру [22]. Були зроблені численні спроби (див. історичний огляд) виявити рух Землі відносно ефіру, проте вони незмінно давали негативний результат. [23] Тому Анрі Пуанкаре висловив гіпотезу про принципову неможливість знайти подібний рух ( принцип відносності). Йому ж належить постулат про незалежність швидкості світла від швидкості його джерела та виведення (разом з Лоренцем), виходячи з сформульованого так принципу відносності, точного виду перетворень Лоренца (при цьому були показані і групові властивості цих перетворень). Ці дві гіпотези (постулату) лягли і в основу статті Альберта Ейнштейна ( 1905) [17]. З їх допомогою він також вивів перетворення Лоренца і затвердив їх загальнофізичної сенс, особливо підкресливши можливість їх застосування для переходу з будь інерціальної системи відліку в будь-яку іншу інерційну. Ця робота фактично ознаменувала собою побудова спеціальної теорії відносності. В СТО перетворення Лоренца відображають загальні властивості простору і часу, а модель ефіру виявляється непотрібною. Електромагнітні поля є самостійними об'єктами, існуючими нарівні з матеріальними частками.

Класична електродинаміка, заснована на рівняннях Максвелла, лежить в основі численних додатків електро-та радіотехніки, СВЧ і оптики. До теперішнього часу не було виявлено жодного ефекту, який вимагав би видозміни рівнянь. Вони виявляються застосовні і в квантовій механіці, коли розглядається рух, наприклад, заряджених частинок в зовнішніх електромагнітних полях. Тому рівняння Максвелла є основою мікроскопічного опису електромагнітних властивостей речовини.

Рівняння Максвелла затребувані також в астрофізиці та космології, оскільки багато планети і зірки володіють магнітним полем. Магнітне поле визначає, зокрема, властивості таких об'єктів, як пульсари і квазари.

На сучасному рівні розуміння всі фундаментальні частинки є квантовими збудженнями ("квантами") різних полів. Наприклад, фотон - це квант електромагнітного поля, а електрон - квант спінорно поля [24]. Тому польовий підхід, запропонований Фарадеєм і істотно розвинений Максвеллом, є основою сучасної фізики фундаментальних частинок, у тому числі її стандартної моделі.

  • Історично дещо раніше він зіграв важливу роль у появі квантової механіки в формулюванні Шредінгера і взагалі відкритті квантових рівнянь, що описують рух частинок, у тому числі і релятивістських ( рівняння Клейна-Гордона, рівняння Дірака), хоча спочатку аналогія з рівняннями Максвелла тут бачилася скоріше лише в загальній ідеї, тоді як згодом виявилося, що вона може бути зрозуміла як більш конкретна і детальна (як це описано вище).

Також польовий підхід, в цілому висхідний до Фарадею і Максвеллу, став центральним у теорії гравітації (включаючи ОТО).


2. Запис рівнянь Максвелла та системи одиниць

Запис більшості рівнянь у фізиці не залежить від вибору системи одиниць. Проте в електродинаміки це не так. Залежно від вибору системи одиниць в рівняннях Максвелла виникають різні коефіцієнти (константи). Міжнародна система одиниць СІ є стандартом в техніці і викладанні, однак суперечки серед фізиків про її достоїнства і недоліки в порівнянні з конкуруючою симетричною гауссовой системою одиниць (СГС) не вщухають [25]. Перевага системи СГС в електродинаміки полягає в тому, що всі поля в ній мають одну розмірність, а рівняння, на думку багатьох вчених, записуються простіше і природніше [26]. Тому СГС продовжує застосовуватися в наукових публікаціях з електродинаміки і у викладанні теоретичної фізики, наприклад, в курсі теоретичної фізики Ландау і Ліфшиця. Однак для практичних застосувань вводяться в СГС одиниці вимірювань, багато з яких неіменовані і неоднозначні, часто незручні. Система СІ стандартизована і краще самосогласованни, на цій системі побудована вся сучасна метрологія [27]. Крім того, система СІ зазвичай використовується в курсах загальної фізики. У зв'язку з цим всі співвідношення, якщо вони по-різному записуються в системах СІ та СГС, далі наводяться в двох варіантах.


3. Диференціальна форма

Рівняння Максвелла є у векторній записи систему з чотирьох рівнянь, яка зводиться в компонентному поданні до восьми (два векторних рівняння містять по три компоненти кожне плюс два скалярних [28]) лінійних диференціальних рівнянь в приватних похідних 1-го порядку для 12 компонент чотирьох векторних функцій ( \ Mathbf {D}, \ mathbf {E}, \ mathbf {H}, \ mathbf {B} ):

Назва
СГС
СІ
Примірне словесне вираження
Закон Гауса
\ Nabla \ cdot \ mathbf {D} = 4 \ pi \ rho
\ Nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho
Електричний заряд є джерелом електричної індукції.
Закон Гауса для магнітного поля
\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0
\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0
Не існує магнітних зарядів. [~ 1]
Закон індукції Фарадея
\ Nabla \ times \ mathbf {E} =- \ frac {1} {c} \, \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}
\ Nabla \ times \ mathbf {E} =- \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}
Зміна магнітної індукції породжує вихровий електричне поле. [~ 1]
Теорема про циркуляцію магнітного поля
\ Nabla \ times \ mathbf {H} = \ frac {4 \ pi} {c} \ mathbf {j} + \ frac {1} {c} \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}
\ Nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {j} + \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}
Електричний струм і зміна електричної індукції породжують вихровий магнітне поле

Жирним шрифтом надалі позначаються векторні величини, курсивом - скалярні.

Введені позначення:

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено електромагнітне поле. Соотношения, связывающие величины \ Mathbf {E} , \ Mathbf {B} , \mathbf{D} , \mathbf{H} і \ Mathbf {j} и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.


4. Интегральная форма

При помощи формул Остроградского-Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений :

Назва
СГС
СІ
Примірне словесне вираження
Закон Гауса
\oint_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}=4\pi Q
\oint_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}= Q
Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v , который окружает поверхность s .
Закон Гауса для магнітного поля
\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0
\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0
Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон індукції Фарадея
\oint_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s \mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}
\oint_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}
Зміна потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l , который является границей поверхности s .
Теорема про циркуляцію магнітного поля
\oint_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\frac{4\pi}{c} I+\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}
\oint_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}
Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l , который является границей поверхности s .
Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введені позначення:

  • s\ - двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём v\, и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера - Максвелла (её границей является замкнутый контур l\ ).
  • Q=\int_v \rho\, dv\ - электрический заряд, заключённый в объёме v\, ограниченном поверхностью s\ (в единицах СИ - Кл);
  • I=\int_s \mathbf{j}\cdot d\mathbf{s}\ - электрический ток, проходящий через поверхность s\ (в единицах СИ - А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади d\mathbf{s} направлен из объёма наружу. Орієнтація d\mathbf{s} при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, "вкручивающегося" при повороте в направлении обхода контурного интеграла по d\mathbf{l} .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции \mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{D}, \mathbf{H} являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.


5. Сила Лоренца

При решении уравнений Максвелла распределения зарядов \rho\, и токов \ Mathbf {j} часто считаются заданными. С учётом граничных условий и материальных уравнений это позволяет определить напряжённость электрического поля \ Mathbf {E} и магнитную индукцию \ Mathbf {B}, которые, в свою очередь, определяют силу, действующую на пробный заряд q\,, двигающийся со скоростью \ Mathbf {u} . Эта сила называется силой Лоренца :

СГС
СІ
\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}+\frac{q}{c}\,[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]
\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}+q\,[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]

Электрическая составляющая силы направлена по электрическому полю (если q>0\,), а магнитная - перпендикулярна скорости заряда и магнитной индукции. Впервые выражение для силы, действующей на заряд в магнитном поле (электрическая компонента была известна), получил в 1889 году Хевисайд [30] [31] за три года до Хендрика Лоренца, который вывел выражение для этой силы в 1892 году.

В более сложных ситуациях в классической и квантовой физике в случае, когда под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из уравнений Максвелла и уравнений движения, включающих силы Лоренца. Получение точного аналитического решения такой полной системы сопряжено обычно с большими сложностями.


6. Размерные константы в уравнениях Максвелла

В гауссовой системе единиц СГС все поля имеют одинаковую размерность, и в уравнениях Максвелла фигурирует единственная фундаментальная константа c\,, имеющая размерность скорости, которая сейчас называется скоростью света (именно равенство этой константы скорости распространения света дало Максвеллу основания для гипотезы об электромагнитной природе света [32]).

В системе единиц СИ, чтобы связать электрическую индукцию и напряжённость электрического поля в вакууме, вводится электрическая постоянная ε 0 ( \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E} ). Магнитная постоянная \mu_0\, является таким же коэффициентом пропорциональности для магнитного поля в вакууме ( \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H} ). Названия электрическая постоянная и магнитная постоянная сейчас стандартизованы [33]. Ранее для этих величин также использовались, соответственно, названия диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.

Скорость электромагнитного излучения в вакууме (скорость света) в СИ появляется при выводе волнового уравнения :

c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.

В системе единиц СИ, в качестве точных размерных констант определены скорость света в вакууме c\ и магнитная постоянная \mu_0\ . Через них выражается электрическая постоянная ε 0 .

Принятые значения [34] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в таблице:

Символ
Найменування
Численное значение
Единицы измерения СИ
c\
Постоянная скорости света
299\;792\;458 (точно)
м / з
\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\
Магнитная постоянная
1{,}256\;637\;06\dots\times 10^{-6}
Гн
ε 0 = 1 / (μ 0 c 2)
Электрическая постоянная
8{,}854\;187\;82\dots\times 10^{-12}
Ф

Иногда вводится величина, называемая " волновым сопротивлением ", или "импедансом" вакуума :

Z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\mu_0 c \approx 120\piОм.

Приближённое значение для Z_0\ получается, если для скорости света принять значение c=3\cdot 10^8 м/c. В системі СГС Z_0=1\ . Эта величина имеет смысл отношения амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в вакууме.


7. Уравнения Максвелла в среде

Чтобы получить полную систему уравнений электродинамики, к системе уравнений Максвелла необходимо добавить материальные уравнения, связывающие величины \ Mathbf {j} , \mathbf{H} , \mathbf{D} , \ Mathbf {E} , \ Mathbf {B}, в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагниченности и электропроводности среды, использующие идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами \ Mathbf {j} , \mathbf{H} , \mathbf{D} с одной стороны и \ Mathbf {E} , \ Mathbf {B} с другой стороны.


7.1. Связанные заряды и токи

Слева: Совокупность микроскопических диполей в среде образуют один макроскопический дипольный момент и эквивалентны двум заряженным с противоположным знаком пластинам на границе. При этом внутри среды все заряды скомпенсированы; Справа: Совокупность микроскопических циркулярных токов в среде эквивалентна макроскопическому току, циркулирующему вдоль границы. При этом внутри среды все токи скомпенсированы.

При приложении электрического поля к диэлектрическому материалу каждая из его молекул превращается в микроскопический диполь. При этом положительные ядра атомов немного смещаются в направлении поля, а электронные оболочки в противоположном направлении. Кроме этого, молекулы некоторых веществ изначально имеют дипольный момент. Дипольные молекулы стремятся ориентироваться в направлении поля. Этот эффект называется поляризацией диэлектриков. Такое смещение связанных зарядов молекул в объёме эквивалентно появлению некоторого распределения зарядов на поверхности, хотя все молекулы, вовлечённые в процесс поляризации остаются нейтральными (см. рисунок).

Аналогичным образом происходит магнитная поляризация (намагнивание) в материалах, в которых составляющие их атомы и молекулы имеют магнитные моменты, связанные со спином и орбитальным моментом ядер и электронов. Угловые моменты атомов можно представить в виде циркулярных токов. На границе материала совокупность таких микроскопических токов эквивалентна макроскопическим токам, циркулирующим вдоль поверхности, несмотря на то, что движение зарядов в отдельных магнитных диполях происходит лишь в микромасштабе (связанные токи).

Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.

В среде сторонние электрические и магнитные поля вызывают поляризацию и намагничивание вещества, которые макроскопически описываются соответственно вектором поляризации \mathbf P і вектором намагниченности \mathbf M вещества, а вызваны появлением связанных зарядов \rho_b\ и токов \mathbf{j}_b . В результате поле в среде оказывается суммой внешних полей и полей, вызванных связанными зарядами и токами.

СГС
СІ
\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}
\mathbf{j}_b = c \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}
\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}
\mathbf{j}_b = \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}

Поляризація \mathbf P і намагниченность вещества \mathbf M связаны с векторами напряжённости и индукции электрического и магнитного поля следующими соотношениями:

СГС
СІ
\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi \mathbf{P}
\mathbf{B}=\mathbf{H}+4\pi \mathbf{M}
\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}
\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})

Поэтому, выражая векторы \mathbf{D} і \mathbf{H} через \ Mathbf {E} , \ Mathbf {B} , \rho_b\ і \mathbf{j}_b, можно получить математически эквивалентную систему уравнений Максвелла:

СГС
СІ
\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi[\rho_f+\rho_b]
\nabla\cdot\mathbf{E}= \frac{1}{\varepsilon_0}[\rho_f+\rho_b]
\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0
\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0
\ Nabla \ times \ mathbf {E} =- \ frac {1} {c} \, \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}
\ Nabla \ times \ mathbf {E} =- \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}
\nabla\times\mathbf{B}=\frac{4\pi}{c} [\mathbf{j}_b+\mathbf{j}_f]+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0[\mathbf{j}_b+\mathbf{j}_f]+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

Индексом f\ здесь обозначены свободные заряды и токи. Уравнения Максвелла в такой форме являются фундаментальными, в том смысле, что они не зависят от модели электромагнитного устройства вещества. Разделение зарядов и токов на свободные и связанные позволяет "спрятать" в \rho_b\ , \mathbf{j}_b, а затем в \mathbf{P}, \mathbf{M} и, следовательно, в \mathbf{D},\mathbf{B} сложный микроскопический характер электромагнитного поля в среде.


7.2. Материальные уравнения

Материальные уравнения устанавливают связь между \mathbf{D},\mathbf{H} і \mathbf{E},\mathbf{B} . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин [35].

\bullet В слабых электромагнитных полях, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, в случае изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред справедливо приближение, в котором поляризуемость и намагниченность линейно зависят от приложенных полей:

СГС
СІ
\mathbf{P}=\chi_e\mathbf{E}
\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H}
\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}
\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H},

где введены безразмерные константы: \chi_e\ - диэлектрическая восприимчивость и \chi_m\ - магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в 4\pi\ раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

СГС
СІ
\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}=(1+4\pi\chi_e)\mathbf{E}
\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}=(1+4\pi\chi_m)\mathbf{H}
\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon\mathbf{E}=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E}
\mathbf{B}=\mu_0\mu\mathbf{H}=\mu_0(1+\chi_m)\mathbf{H},

де \varepsilon\ - относительная диэлектрическая проницаемость, \mu\ - относительная магнитная проницаемость. Размерные величины ε 0 ε (в единицах СИ - Ф / м) и μ 0 μ (в единицах СИ - Гн / м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость соответственно.

\bullet В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, выражаемая законом Ома :

\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E},

де \sigma\ - удельная проводимость среды (в единицах СИ - Ом −1 м −1).

\bullet В анизотропной среде ε , \mu\ і \sigma\ являются тензорами \hat\varepsilon , \hat\mu і \hat\sigma . В системе координат главных осей они могут быть описаны диагональными матрицами. В этом случае, связь между напряжённостями полей и индукциями имеют различные коэффициенты по каждой координате. Например, в системе СИ :

\begin{array}{lll} D_x = \varepsilon_{0}\varepsilon_{xx}\,E_x,~~~~~ & D_y = \varepsilon_{0}\varepsilon_{yy}\,E_y,~~~~~ & D_z = \varepsilon_{0}\varepsilon_{zz}\,E_z, \\ [3mm] B_x = \mu_0\mu_{xx}\,H_x,~~~~~ & B_y = \mu_0\mu_{yy}\,H_y,~~~~~ & B_z = \mu_0\mu_{zz}\,H_z. \end{array}

\bullet Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между \mathbf{D},\mathbf{H} і \mathbf{E},\mathbf{B} може бути нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между \mathbf{D},\mathbf{H} і \mathbf{E},\mathbf{B} наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсіями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией, материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int_v\!\int\limits_{-\infty}^t \hat{\chi}_e (\mathbf{r},\mathbf{r}' ,t-t', \mathbf{E}, \mathbf{H})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')\, d t' d^3\mathbf{r}';
\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \int_v\!\int\limits_{-\infty}^t \hat{\chi}_m (\mathbf{r},\mathbf{r}', t-t', \mathbf{E}, \mathbf{H})\, \mathbf{H}(\mathbf{r}', t')\, d t' d^3\mathbf{r}'.

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ε 0 = 1 ).


7.3. Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии

В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

СГС
СІ
\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}
\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B}=\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}+\frac{\varepsilon\mu}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}
\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0
\ Nabla \ times \ mathbf {E} =- \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}
\nabla\times\mathbf{B}={\mu\mu_0}\mathbf{j}+\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

В оптическом диапазоне частот вместо диэлектрической проницаемости ε використовується показатель преломления n=\sqrt{\varepsilon\mu} (зависящий от длины волны), показывающий отличие скорости распространения монохроматической световой волны в среде от скорости света в вакууме. При этом в оптическом диапазоне диэлектрическая проницаемость обычно заметно меньше чем на низких частотах, а магнитная проницаемость большинства оптических сред практически равна единице. Показатель преломления большинства прозрачных материалов составляет от 1 до 2, достигая 5 у некоторых полупроводников [36]. В вакууме и диэлектрическая, и магнитная проницаемости равны единице: ε = μ = 1 .

Поскольку уравнения Максвелла в линейной среде являются линейными относительно полей (\mathbf{E},\mathbf{B}) и свободных зарядов и токов (\rho,\mathbf{j}), справедлив принцип суперпозиции :

Если распределения зарядов и токов (\rho_1,\mathbf{j}_1) создают электромагнитное поле с компонентами (\mathbf{E}_1,\mathbf{B}_1), а другие распределения (\rho_2,\mathbf{j}_2) создают, соответственно, поле (\mathbf{E}_2,\mathbf{B}_2), то суммарное поле, создаваемое источниками (\rho_1+\rho_2,\mathbf{j}_1+\mathbf{j}_2), будет равно (\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2,\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2) .

При распространении электромагнитных полей в линейной среде в отсутствие зарядов и токов сумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.


7.4. Граничні умови

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, "сшивая" на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе [37] :

СГС
СІ
(\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0 ,
(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s ,
(\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0 ,
(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf{j}_s ,

де \mathbf{n}_{1-2} - единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2 и имеющий размерность, обратную длине, \mathbf{j}_s - плотность поверхностных свободных токов вдоль границы (то есть не включая связанных токов намагничивания, складывающихся на границе среды из микроскопических молекулярных итп токов). Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:

СГС
СІ
(\mathbf{D}_1-\mathbf{D}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -4\pi\rho_s ,
(\mathbf{B}_1-\mathbf{B}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0 ,
(\mathbf{D}_1-\mathbf{D}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -\rho_s ,
(\mathbf{B}_1-\mathbf{B}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0 ,

де \rho_s\ - поверхностная плотность свободных зарядов (то есть не включающая в себя связанных зарядов, возникающих на границе среды вследствие диэлектрической поляризации самой среды).

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:

(\mathbf{j}_1-\mathbf{j}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = \frac{\partial}{\partial t}\rho_s ,

Важным частным случаем является граница раздела диэлектрика и идеального проводника. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:

СГС
СІ
\mathbf{E}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0 ,
\mathbf{H}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s ,
\mathbf{D}_1 \cdot \mathbf{n}_{1-2} = -4\pi\rho_s ,
\mathbf{B}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0 ,
\mathbf{E}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0 ,
\mathbf{H}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf{j}_s ,
\mathbf{D}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -\rho_s ,
\mathbf{B}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0 ,

8. Закони збереження

Уравнения Максвелла содержат в себе законы сохранения заряда и энергии электромагнитного поля.

8.1. Рівняння неперервності

Источники полей ( \rho,~\mathbf{j}) не могут быть заданы произвольным образом. Применяя операцию дивергенции к четвёртому уравнению (закон Ампера-Максвелла) и используя первое уравнение (закон Гаусса), можно получить уравнение непрерывности для зарядов и токов:

\nabla\cdot\mathbf{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.
Вывод уравнения непрерывности

Дивергенция от ротора равна нулю, поэтому для четвёртого уравнения Максвелла (Закон Ампера-Максвелла) в системе СИ имеем:

0=\nabla\cdot[\nabla\times \mathbf{H}] = \nabla\cdot\mathbf{j}+\frac{\partial \nabla\cdot \mathbf{D}}{\partial t}= \nabla\cdot\mathbf{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t},

где в последнем равенстве подставлено первое уравнение (Закон Гаусса).

Это уравнение при помощи интегральной теоремы Остроградского-Гаусса можно записать в следующем виде:

\oint_s \mathbf{j}\cdot d\mathbf{s} = - \frac{d}{d t}\int_v \rho\, dv.

В левой части уравнения находится полный ток, протекающий через замкнутую поверхность s\ . В правой части - изменение со временем заряда, находящегося внутри объёма v\ . Таким образом, изменение заряда внутри объёма возможно только при его притоке или оттоке через поверхность s\, ограничивающую объём.

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Поэтому это уравнение само по себе может быть положено в основу электромагнитной теории. Тогда, например, ток смещения (производная по времени электрического поля) должен обязательно присутствовать в законе Ампера.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.


8.2. Закон збереження енергії

Якщо помножити третє рівняння Максвелла в диференціальної формі (закон Фарадея) скалярно на \ Mathbf H , А четверте (закон Ампера - Максвелла) на - \ Mathbf E і скласти результати, можна отримати теорему Пойнтінга :

\ Nabla \ cdot \ mathbf {S} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ left (w_E + w_H \ right) =- \ mathbf {E} \ mathbf {j},

де

СГС СІ
\ Mathbf {S} = \ frac {c} {4 \ pi} \ mathbf E \ times \ mathbf H
w_E = \ frac {1} {8 \ pi} \, \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D}
w_H = \ frac {1} {8 \ pi} \, \ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {B}
\ Mathbf {S} = \ mathbf E \ times \ mathbf H
w_E = \ frac {1} {2} \, \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D}
w_H = \ frac {1} {2} \, \ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {B}
Висновок теореми Пойнтінга

За допомогою третього і четвертого рівняння Максвелла в диференціальній формі, в системі СІ можна отримати:

\ Mathbf {E} \ cdot [\ nabla \ times \ mathbf {H}] = \ mathbf {E} \ mathbf {j} + \ mathbf {E} \ cdot \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t },~~~~~~~~~~~~~ \ mathbf {H} \ cdot [\ nabla \ times \ mathbf {E}] = - \ mathbf {H} \ cdot \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}.

Різниця лівих частин рівнянь згортається за наступною формулою векторного аналізу (похідна твору):

У лінійних, але, можливо, неізотропних середовищах, між напряженностямі і індукції існує лінійний зв'язок. Наприклад, для електричного поля \ Mathbf {D} = \ varepsilon_0 \, \ hat {\ varepsilon} \ cdot \ mathbf {E} . Якщо \ Hat {\ varepsilon} симетрична матриця, не залежна від часу, то:

\ Mathbf {E} \ cdot \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t} = \ varepsilon_0 \, \ mathbf {E} \ cdot \ hat {\ varepsilon} \ cdot \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} = \ frac {\ varepsilon_0} {2} \, \ frac {\ partial (\ mathbf {E} \ cdot \ hat {\ varepsilon} \ cdot \ mathbf {E})} { \ partial t} = \ frac {1} {2} \ frac {\ partial (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D})} {\ partial t}.

Аналогічно для магнітного поля.

Вектор \ Mathbf {S} називається вектором Пойнтінга (вектором щільності потоку електромагнітної енергії) і визначає кількість електромагнітної енергії, яку переносять через одиницю площі в одиницю часу. Інтеграл вектора Пойнтінга по перетину хвилі, визначає її потужність. Важливо відзначити, що, як вперше вказав Хевісайд, фізичний зміст потоку енергії має тільки безвіхревое частина вектора Пойнтінга. Вихрова частина, дивергенція якої дорівнює нулю, не пов'язана з перенесенням енергії. Зауважимо, що Хевісайд отримав вираз для закону збереження незалежно від Пойнтінга. У російськомовній літературі вектор Пойнтінга часто називається також "вектором Умова - Пойнтінга ".

Величини w_E \ і w_H \ визначають об'ємні щільності енергії, відповідно, електричного і магнітного полів. При відсутності струмів і пов'язаних з ними втрат теорема Пойнтінга є рівнянням безперервності для енергії електромагнітного поля. Проінтегрувавши його в цьому випадку по деякому замкнутому обсягом і скориставшись теоремою Остроградського-Гаусса, можна отримати закон збереження енергії для електромагнітного поля:

\ Oint_s \ mathbf {S} \ cdot d \ mathbf {s} + \ frac {d} {dt} \ int_v (w_E + w_H) \, dv = 0.

Це рівняння показує, що за відсутності внутрішніх втрат зміна енергії електромагнітного поля в обсязі відбувається тільки за рахунок потужності електромагнітного випромінювання, що переноситься через кордон цього обсягу.

Вектор Пойнтинга пов'язаний з імпульсом електромагнітного поля [38] :

\ Mathbf {p} = \ frac {1} {c ^ 2} \ int \ mathbf {S} \, dv,

де інтегрування проводиться по всьому простору. Электромагнитная волна, поглощаясь или отражаясь от некоторой поверхности, передаёт ей часть своего импульса, что проявляется в форме светового давления. Экспериментально этот эффект впервые наблюдался П. Н. Лебедевым в 1899 году.


9. Потенциалы

9.1. Скалярный и векторный потенциалы

Закон Фарадея и закон Гаусса для магнитной индукции выполняются тождественно, если электрическое и магнитное поля выразить через скалярный \ Varphi и векторный \ Mathbf {A} потенциалы [39] :

СГС
СІ
\mathbf{E}=-\nabla \varphi - \frac{1}{c}\,\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}
\mathbf{E}=-\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}
Доказательство

Если магнитное поле равно ротору векторного потенциала, то дивергенция автоматически равна нулю:

\nabla\cdot\mathbf{B}= \nabla\cdot[\nabla\times\mathbf{A}]=[\nabla\times\nabla]\cdot\mathbf{A} = 0.

Подставляя выражение для напряжённости электрического поля в закон Фарадея, например, в системе СИ, получаем:

\nabla\times\mathbf{E} =\nabla\times\left(-\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) = -\nabla\times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.

При данных электрическом \ Mathbf {E} и магнитном \ Mathbf {B} полях, скалярный и векторный потенциалы определены неоднозначно. Якщо \psi\ - произвольная функция координат и времени, то следующее преобразование не изменит значение полей:

СГС
СІ
\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} +\nabla \psi
\varphi \rightarrow \varphi - \frac{1}{c}\,\frac{\partial \psi}{\partial t}
\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} +\nabla \psi
\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t}.

Подобные преобразования играют важную роль в квантовой электродинамике и лежат в основе локальной калибровочной симметрии электромагнитного взаимодействия. Локальная калибровочная симметрия вводит зависимость от координат и времени в фазу глобальной калибровочной симметрии, которая, в силу теоремы Нётер, приводит к закону сохранения заряда.

Неоднозначность определения потенциалов оказывается удобной для наложения на них дополнительных условий, называемых калибровкой. Благодаря этому, уравнения электродинамики принимают более простой вид. Рассмотрим, например, уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах с диэлектрической ( ε ) и магнитной ( \mu\) проницаемостями. Для даних \ Varphi і \ Mathbf {A} всегда можно подобрать такую функцию f , чтобы выполнялось калибровочное условие Лоренца [40] :

СГС
СІ
\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\varepsilon\mu}{c}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0
\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0.

В этом случае оставшиеся уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах могут быть записаны в следующем виде:

СГС
СІ
\square\phi = -4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}
\square\mathbf{A} = -\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}
\square\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}
\square\mathbf{A} = -\mu\mu_0\,\mathbf{j},

де \square - оператор Д'Аламбера, который и в системе СГС, и в системе СИ имеет вид:

\square = \Delta -\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}.

Таким образом, 8 уравнений Максвелла для компонент электромагнитного поля (2 векторных и 2 скалярных) при помощи потенциалов могут быть сведены к 4 уравнениям (скалярному для \ Varphi и векторному для \ Mathbf {A} ). Решения этих уравнений для произвольно двигающегося точечного заряда называются потенциалами Лиенара - Вихерта [41].

Возможно введение других калибровок. Так, для решения ряда задач удобной оказывается кулоновская калибровка :

\nabla\cdot\mathbf{A} = 0

В этом случае:

СГС
СІ
\Delta\phi = -4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}
\square\mathbf{A} = -\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}_\bot
\Delta\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}
\square\mathbf{A} = -\mu\mu_0\,\mathbf{j}_\bot,

,

де \mathbf{j}_\bot - соленоидальная часть тока ( \nabla\mathbf\cdot{j}_\bot=0 ).

Первое уравнение описывает мгновенное (без запаздывания) действие кулоновской силы, поскольку кулоновская калибровка неинвариантна относительно преобразований Лоренца. При этом энергию кулоновского взаимодействия можно отделить от остальных взаимодействий, что облегчает квантование поля в гамильтоновом формализме [42].

Векторный потенциал играет большую роль в электродинамике и в квантовой теории поля, однако для исследования процессов распространения электромагнитных волн в отсутствие токов и зарядов его введение часто не приводит к упрощению системы, а сводится к простой замене векторов электрического и магнитного поля на другой аналогичный вектор, описываемый теми же уравнениями. Так, для гармонических полей векторный потенциал будет просто пропорционален электрическому полю (скалярный потенциал при этом можно положить равным нулю).


9.2. Векторы Герца

\bullet В 1887 году Генрих Герц предложил вместо непосредственного решения уравнений Максвелла для двух векторных функций электрического и магнитного полей или скалярного и векторного потенциалов перейти к новой единственной векторной функции, которая носит теперь имя электрического вектора Герца {\mathbf \Pi}^e и позволяет в некоторых случаях упростить решение электродинамических задач, сводя их к решению скалярного волнового уравнения.

СГС
СІ
\varphi=-\nabla\cdot\mathbf{\Pi}^e,
\mathbf{A}=\frac{\varepsilon\mu}{c}\frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t},
\varphi=-\nabla\cdot\mathbf{\Pi}^e,
\mathbf{A}=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t},
\mathbf {E}^e = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{\Pi}^e) - \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{\Pi}^e}{\partial t^2},
\mathbf {B}^e = \frac{\mu\varepsilon}{c} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t}.
\mathbf {E}^e = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{\Pi}^e) - \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{\Pi}^e}{\partial t^2},
\mathbf {B}^e = \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t}.

Заметим, что скалярный \ Varphi и векторный \ Mathbf {A} потенциалы, выраженные через вектор Герца, автоматически удовлетворяют калибровочному условию Лоренца. Вектор Герца учитывает все поля, связанные со свободными зарядами и их токами.

Подставляя выражения для полей через электрический вектор в два последних уравнения Максвелла, можно получить [43] [44] :

СГС
СІ
\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\varepsilon}\mathbf{P}_f ,
\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\varepsilon} \left[\mathbf {P}+\mathbf{P}_f\right] .
\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0}\mathbf {P}_f,
\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0} \left[\mathbf {P}+\mathbf {P}_f\right].

Здесь введён вектор поляризации свободных зарядов и токов:

\mathbf j_f = \frac{\partial }{\partial t} {\mathbf P}_f,~~~~~~~~~~~~~~~~ \rho_f = - \nabla\cdot {\mathbf P}_f,

(при этом уравнение непрерывности для заряда автоматически выполняется).

Таким образом, электрический вектор Герца определяется волновыми уравнениями, в правой части которых стоит поляризуемость, обусловленная свободными, либо свободными и связанными зарядами, то есть электрическими дипольными моментами.

\bullet В 1901 году парный электрическому вектору Герца магнитный вектор, который также традиционно называют именем Герца, ввёл итальянский физик Аугусто Риги [45].

СГС
СІ
\varphi=0\,,
\mathbf{A}=\nabla\times\mathbf{\Pi}^m,
\varphi=0\,,
\mathbf{A}=\frac{1}{c}\nabla\times\mathbf{\Pi}^m,
\mathbf {D}^m = -\frac{\varepsilon\mu}{c} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^m}{\partial t},
\mathbf {H}^m = \nabla\times[\nabla\times \mathbf{\Pi}^m] .
\mathbf {D}^m = -\frac{\varepsilon\mu}{c^2} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^m}{\partial t},
\mathbf {H}^m = \nabla\times[\nabla\times \mathbf{\Pi}^m] .

Поскольку поля, описываемые магнитным вектором Герца, не зависят от свободных зарядов и токов, а магнитные монополи не обнаружены, потенциалы удовлетворяют калибровке Лоренца в вырожденном виде - т. н. кулоновской калибровке ( φ = 0 , \nabla\cdot\mathbf{A}=0 ).

Аналогичным образом можно получить уравнения для магнитного потенциала Герца, подставляя выраженные через него поля в третье и четвёртое уравнения Максвелла без тока:

СГС
СІ
\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} = 0 ,
\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\mu} \mathbf {M} .
\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =0,
\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\mu} \mathbf {M}.

Действие сторонних магнитных полей, связанных с внешними источниками, может быть учтено по аналогии с электрическим вектором Герца введением в правые части дополнительной магнитной поляризации \mathbf {M}_f .

Таким образом, выделяется два типа электромагнитных полей, выражающихся через электрический и магнитный потенциалы Герца, а произвольное поле можно представить в виде суммы таких полей. Поля, выражающиеся через электрический вектор Герца носят название полей электрического типа или поперечно-магнитных (TM) полей, поскольку магнитное поле для них ортогонально направлению вектора Герца. Соответственно, поля, выражающиеся через магнитный вектор Герца, называют полями магнитного типа или поперечно-электрическими полями (TE), электрическое поле в которых ортогонально порождающему вектору Герца. Поля TM можно представить как поля, порождаемые распределёнными в пространстве электрическими диполями, а поля TE, соответственно, магнитными. Векторные потенциалы Герца, в свою очередь, могут быть во многих случаях выражены через скалярные потенциалы.


9.3. Потенциалы Дебая

В электродинамике широко используются скалярные потенциалы, предложенные Дебаем [46].

Волновое уравнение представляет собой систему трёх связанных скалярных уравнений, которые распадаются на три скалярных уравнения Гельмгольца только в декартовой системе координат. Для удобства поиска решений, удовлетворяющих граничным условиям желательно выбирать координатные системы, координатные поверхности которых близки или совпадают с поверхностями границ. Один из подходов к решению векторного уравнения Гельмгольца состоит во введении скалярных функций \psi\,, удовлетворяющих скалярному волновому уравнению Гельмгольца, через которые затем могут быть выражены векторные поля [47] :

\nabla^2 {\psi}+ k^2 \psi=0.
{\mathbf M}_\psi=\nabla\times ({\mathbf f}\psi),
{\mathbf N}_\psi = \frac{1}{k}\nabla\times\nabla \times({\mathbf f}\psi),
{\mathbf L}_\psi=\nabla\psi.

Тут \ Mathbf f - некоторая векторная функция координат. Вектор {\mathbf L}_\psi, описывает потенциальную часть поля и его можно положить равным нулю при отсутствии свободных зарядов.

Если для некоторой ортогональной координатной системы существует функция {\mathbf f}({\mathbf r}), пропорциональная координатному вектору, то произвольное векторное поле, удовлетворяющее векторному уравнению Гельмгольца в этой системе, можно представить в виде суммы векторных функций, пропорциональных векторам {\mathbf M}_\psi і {\mathbf N}_\psi . Как следует из уравнений Максвелла, электрическому полю, пропорциональному {\mathbf M}_\psi, соответствует магнитное поле типа {\mathbf N}_\psi и наоборот. При этом векторные потенциалы {\mathbf f}\psi соответствуют векторам Герца. Поскольку в этом случае поле, пропорциональное {\mathbf M}_\psi , нормально вектору {\mathbf f}, его компоненты являются тангенциальными к соответствующей {\mathbf f} координатной поверхности. Если границы в решаемой задаче совпадают с одной из таких координатных поверхностей, то удовлетворение граничным условиям существенно упрощается.

Такое представление возможно только в ограниченном числе ортогональных координатных систем [48]. В декартовой системе координат в качестве вектора {\mathbf f} может выступать любой координатный вектор. Соответствующие решения представляют собой плоские волны. Для цилиндрической системы координат {\mathbf f}={\mathbf i}_z , Для сферической {\mathbf f}={\mathbf r} . Кроме того, такое представление возможно в конической, а также относительно оси z в параболической и эллиптической цилиндрических системах координат.


9.4. Векторы Римана - Зильберштейна

Если ввести комплексный вектор Римана - Зильберштейна \mathbf F і комплексно сопряжённый ему вектор \mathbf F^* [49] [50] [51] :

СГС
СІ
\mathbf F=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\left[\sqrt{\epsilon}\mathbf E+i\sqrt{\mu}\mathbf H\right],
\mathbf F=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\mathbf E+i\sqrt{\mu\mu_0}\mathbf H\right],

то уравнения Максвелла сводятся к двум:

СГС
СІ
\nabla\cdot \mathbf{F}=\sqrt{\frac{2\pi}{\varepsilon}}\rho,
\nabla\times \mathbf{F}=i\sqrt{2\pi\mu}\mathbf{j}+i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.
\nabla\cdot \mathbf{F}=\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon\varepsilon_0}}\rho,
\nabla\times \mathbf{F}=i\sqrt{\frac{\mu\mu_0}{2}}\mathbf{j}+i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.

При отсутствии сторонних зарядов и токов остаётся только второе уравнение (первое из-за равенства дивергенции ротора нулю в этом случае удовлетворяется автоматически с точностью до не зависящей от времени компоненты):

\nabla\times \mathbf F= i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.

В отличие от волнового уравнения, которое получаются в этом случае для векторов поля или потенциала, последнее векторное дифференциальное уравнение имеет первый, а не второй порядок и поэтому в ряде случаев может быть проще для решения.

Для гармонического поля с зависимостью \mathbf F= \mathbf F^\pm e^{\pm i\omega t} вектор \mathbf F является собственным вектором оператора ротора:

\nabla\times\mathbf F^\pm=\mp k\mathbf F^\pm.

При выбранной нормировке \mathbf F имеет смысл комплексной амплитуды электромагнитного поля, а его квадрат модуля

w=|\mathbf F|^2\equiv\mathbf F^*\mathbf F=w_E+w_H

имеет смысл плотности энергии поля.

Вектор Пойнтинга :

\mathbf S=-\frac{ic}{\sqrt{\varepsilon\mu}}{\mathbf F}^*\times{\mathbf F}.

Вектори \mathbf F і \mathbf F^* можно интерпретировать как волновые функции циркулярно поляризованных фотонов [50].


10. Коваріантна формулювання

С современной точки зрения, четырехмерная ковариантная формулировка электродинамики, и в частности - запись уравнений Максвелла в таком виде, является физически наиболее фундаментальной.

Практически она приводит, кроме явной ковариантности, к значительно большей компактности уравнений, а значит определенной красоте и в ряде случаев удобству, и более органично и прямо включает в себя единство электромагнитного поля.

Под ковариантной формулировкой понимают два различающихся, но прямо и непосредственно связанных варианта: лоренц-ковариантная формулировка в плоском пространстве-времени Минковского и общековариантная формулировка для общего случая искривленного пространства-времени (стандартно рассматриваемая в контексте общей теории относительности). Второй вариант отличается от первого тем, что метрика пространства-времени в нем не постоянна (что может означать как присутствие гравитации, так и просто использование более широкого класса координат, например, соответствующих неинерциальным системам отсчета), и во многом сводится к замене обычных производных по (четырехмерным) координатам на ковариантные производные (в значительной части случаев это сводится к механической замене первых на вторые). Кроме прочего, второй вариант позволяет исследовать взаимодействие электромагнитного поля с гравитацией.

  • Ниже сначала рассмотрен (как более простой) первый вариант - вариант лоренц-ковариантной формулировки в плоском пространстве-времени.

10.1. Четырёхмерные векторы

При ковариантной записи уравнений электродинамики производится переход от трёхмерных векторов и скаляров к четырёхмерным векторам (4-векторы). Независимо от системы единиц, четырехмерные координаты (4-вектор координат, в компоненты которого входят время и трехмерные пространственные координаты), производная по этим координатам (4-производная) и плотность тока определяются следующим образом [52] :

x^\alpha=(ct, ~\mathbf{r})=(ct,x,y,z),
\partial_\alpha=\frac{\partial }{\partial x^\alpha}=\Bigl(\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}, ~\nabla\Bigr)=\Bigl(\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\Bigr),

j^\alpha=\rho \frac{dx^\alpha}{dt}=(c\rho, ~\mathbf{j})=(c\rho,j_x,j_y,j_z).

Индекс 4-вектора принимает значения \alpha=0,1,2,3\ . В компонентной записи вектора сначала идёт нулевая компонента, затем - пространственные. Например, время равно t=x^0/c\, а плотность заряда \rho=j^0/c\ . В силу этих определений, закон сохранения заряда в ковариантной форме принимает следующий вид:

\partial_\alpha j^\alpha=0.

По повторяющемуся индексу предполагается суммирование от 0 до 3 (правило Эйнштейна).

Приклад

Приведенное выше уравнение является компактной записью уравнения непрерывности:

\partial_0 j^0+\partial_1 j^1+\partial_2 j^2+\partial_3 j^3= \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\mathbf{j}=0.

Введём 4-вектор потенциала, имеющий в системах СГС і СИ следующие компоненты:

СГС
СІ
A^\alpha = (\varphi, ~~\mathbf{A})
A_\alpha = (\varphi, -\mathbf{A})
A^\alpha = (\varphi/c, ~~\mathbf{A})
A_\alpha = (\varphi/c, -\mathbf{A})

При ковариантной записи играет роль положение индекса у 4-вектора. Если индекс находится внизу, то такой вектор называется ковариантным вектором (или ковектором), и его пространственные компоненты имеют обратный знак по сравнению с компонентами 4-вектора. Поднятие и опускание индексов проводится при помощи метрического тензора A_\alpha=g_{\alpha\beta}A^\beta\, который в четырёхмерном пространстве Минковского имеет диагональный вид с сигнатурой: g_{\alpha\beta}=g^{\alpha\beta}={\rm diagonal}(1,-1,-1,-1)\ .

При помощи такого определения 4-вектора потенциала, калибровочное условие Лоренца в ковариантной форме можно записать следующим образом:

\partial_\alpha A^\alpha=0.

Если это условие выполняется, то уравнения Максвелла для потенциалов в вакууме при наличии зарядов и токов принимают вид:

СГС
СІ
\partial^2 A^\alpha = \frac{4\pi}{c}\,j^\alpha
\partial^2 A^\alpha = \mu_0\,j^\alpha ,

де \partial^2 - оператор Даламбера с обратным знаком:

\partial^2 = \partial_\alpha\partial^\alpha = -\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta.

Нулевая компонента уравнений Максвелла для 4-вектора потенциала соответствует уравнению для \ Varphi, а пространственная - для \ Mathbf {A} .


10.2. Тензор електромагнітного поля

Определим ковариантный тензор электромагнитного поля при помощи производной от 4-вектора потенциала [53] [54] :

F_{\alpha\beta}=\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha.

Явный вид этого антисимметричного тензора ( F_{\alpha\beta} =-F_{\beta\alpha}\) может быть представлен в следующем виде:

СГС
СІ
F_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right),
F_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right).

Временные компоненты тензора составлены из компонент напряжённости электрического поля, а пространственные - магнитного, что может быть записано следующим образом: F_{\alpha\beta}=(\mathbf{E},\mathbf{B}) . В тензоре электромагнитного поля с верхними индексами изменяется знак у нулевых компонент (то есть перед компонентами электрического поля): F^{\alpha\beta}=(-\mathbf{E},\mathbf{B}) .

Используя определение тензора электромагнитного поля, несложно проверить выполнение следующего тождества:

\partial_\alpha F_{\beta \gamma}+\partial_\beta F_{\gamma\alpha}+\partial_\gamma F_{\alpha \beta}=0.

Его можно переписать в более компактном виде, введя дуальный тензор электромагнитного поля:

\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\tilde{F}^{\alpha \beta} =\frac{1}{2} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\, F_{\gamma\delta},

де \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\ - антисимметричный символ Леви-Чивиты ( \epsilon^{0123}=1\ ). Это уравнение является ковариантной записью закона Гаусса для магнитного поля и закона электромагнитной индукции Фарадея. Компоненты дуального тензора \tilde{F}_{\alpha\beta} получаются из тензора F_{\alpha\beta}\, в результате перестановки электрического и магнитного полей [55] : \tilde{F}_{\alpha\beta}=(\mathbf{B},-\mathbf{E}) , \tilde{F}^{\alpha\beta}=(-\mathbf{B},-\mathbf{E}) .

Полная система уравнений Максвелла в ковариантной форме имеет вид:

СГС
СІ
\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0
\partial_\alpha F^{\alpha \beta}=\frac{4\pi}{c}j^\beta,
\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0
\partial_\alpha F^{\alpha \beta}=\mu_0\,j^\beta.

За повторюваному індексом \ Alpha \ проводиться підсумовування від 0 до 3, а в правій частині другого рівняння знаходиться 4-вектор струму. Нульова компонента цього рівняння відповідає закону Гаусса, а просторові - закону Ампера - Максвелла.

За допомогою тензора електромагнітного поля можна отримати закони перетворень компонент електричного і магнітного полів, вимірюваних щодо різних інерціальних систем відліку [56] [57] :

СГС
СІ
E'_y = \ gamma \, (E_y - {u \ over c} \, B_z ),~~~ E'_z = \ gamma \, (E_z + {u \ over c} \, B_y),
B'_y = \ gamma \, (B_y + {u \ over c} \, E_z ),~~~ B'_z = \ gamma \, (B_z - {u \ over c} \, E_y),
E'_y = \ gamma \, (E_y - u \, B_z ),~~~ E'_z = \ gamma \, (E_z + u \, B_y),
B'_y = \ gamma \, (B_y + {u \ over c ^ 2} \, E_z), ~ ~ B'_z = \ gamma \, (B_z - {u \ over c ^ 2} \, E_y),

де "штрихувати" величини вимірюються щодо системи відліку, що рухається уздовж осі x \, зі швидкістю u \, щодо системи, в якій вимірюються "не штрихувати" компоненти полів, а \ Gamma = 1 / \ sqrt {1-u ^ 2 / c ^ 2} - Фактор Лоренца. Компоненти полів вздовж напрямку відносного руху інерціальних систем відліку залишаються незмінними: E'_x = E_x, ~ ~ B'_x = B_x .

Рівняння Максвелла в вакуумі інваріантні щодо перетворень Лоренца. Це послужило одним з поштовхів до створення спеціальної теорії відносності.

Електричне і магнітне поля різним чином змінюються при інверсії осей просторової системи координат. Електричне поле є полярним вектором, а магнітне - аксіальним вектором. Можна побудувати дві інваріантні відносно перетворень Лоренца величини:

Перший інваріант є скаляром, а другий - псевдоскаляром, тобто змінює свій знак при інверсії координатних осей.


10.3. Лагранжіан

Дія S \ і лагранжіан (функція Лагранжа) L \ для пробного заряду, що рухається в зовнішньому електромагнітному полі в системі СГС і СІ мають вигляд [58] [59] :

СГС
СІ
S = \ int (-mc \, ds ~ - ~ \ frac {q} {c} \, A_ \ alpha \, dx ^ \ alpha)
L = - mc ^ 2 \ sqrt {1 - \ frac {\ mathbf {u ^ 2}} {c ^ 2}} + \ frac {q} {c} \, \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {u }-q \ varphi
S = \ int (-mc \, ds ~ - ~ q \, A_ \ alpha \, dx ^ \ alpha)
L = - mc ^ 2 \ sqrt {1 - \ frac {\ mathbf {u ^ 2}} {c ^ 2}} + q \, \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {u}-q \ varphi

де:

  • m \ - масса частицы (в единицах СИ - кг);
  • \ Mathbf {u} - её скорость (в единицах СИ - м/с);
  • q\ - заряд частицы (в единицах СИ - Кл);
  • ds=\sqrt{dx_\alpha dx^\alpha} - 4-х интервал.

Уравнения движения заряда под воздействием силы Лоренца в ковариантной записи имеют вид:

СГС
СІ
mc \frac{d^2x^\alpha}{ds^2} = \frac{q}{c}\, F^{\alpha\beta}\, \frac{dx_\beta}{ds}
mc \frac{d^2x^\alpha}{ds^2} = q\, F^{\alpha\beta}\, \frac{dx_\beta}{ds}.

Уравнения Максвелла получаются из принципа наименьшего действия, в котором динамическими переменными являются 4-х потенциалы электромагнитного поля A^\alpha\ . При этом используется следующее ковариантное выражение для действия [59] [60] :

СГС
СІ
S = -\frac{1}{16\pi c} \int F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\, d^4x - \frac{1}{c^2} \int A_\alpha\,j^\alpha\,d^4x
S = - \ frac {1} {4 \ mu_0} \ int F_ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} \, d ^ 4x - \ int A_ \ alpha \, j ^ \ alpha \, d ^ 4x,

де виробляється інтегрування по інваріантному 4-обсягом d ^ 4x = c \, dt \, dv .


10.4. Запис за допомогою диференціальних форм

Рівняння Максвелла в коваріантний формі, аналогічно векторному представленню в тривимірному просторі, можна записати в "безиндексной формі". Для цього вводиться операція зовнішнього твори \ Wedge , Що володіє властивістю антисиметричність \ Mathrm {d} x ^ \ alpha \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ beta =- \ mathrm {d} x ^ \ beta \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ alpha . Зовнішнє твір дозволяє записувати згорнуті по всіх індексах висловлювання з антисиметричною тензорами, такими як F_ {\ alpha \ beta} \ . При цьому виникають об'єкти, звані диференціальними формами (або просто формами) [61]. 1-форма потенціалу поля визначається наступним чином (за індексом \ Alpha \ - Сума від 0 до 3):

\ Mathrm {A} = A_ \ alpha \ mathrm {d} x ^ \ alpha \.

З 1-форми, за допомогою операції зовнішнього диференціювання \ Mathrm {d} \ , Виходить 2-форма електромагнітного поля (або 2-форма Фарадея):

\ Mathrm {F} = \ mathrm {d} \, \ mathrm {A} = \ mathrm {d} A_ \ alpha \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ alpha = \ partial_ \ beta A_ \ alpha ~ \ mathrm { d} x ^ \ beta \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ alpha = \ frac {1} {2} F_ {\ alpha \ beta} ~ \ mathrm {d} x ^ \ alpha \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ beta.

Операція зовнішнього диференціювання має властивість \ Mathrm {d} ^ 2 = 0 \ , Що призводить до закону Гаусса для магнітного поля і закону Фарадея:

\ Mathrm {d} \, \ mathrm {F} = \ mathrm {d} ^ 2 \, \ mathrm {A} = \ frac {1} {2} \, \ partial_ \ gamma F_ {\ alpha \ beta} \ , \ mathrm {d} x ^ \ gamma \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ alpha \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ beta = \ frac {1} {6} \, (\ partial_ \ gamma F_ { \ alpha \ beta} + \ partial_ \ alpha F_ {\ beta \ gamma} + \ partial_ \ beta F_ {\ gamma \ alpha}) ~ \ mathrm {d} x ^ \ alpha \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ beta \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ gamma = 0.

Для запису залишилися рівнянь Максвелла вводиться дуальна до \ Mathrm {F} \ 2-форма ^ * \ Mathrm {F} \ , Звана також 2-формою Максвелла [62] :

~ ^ * \ Mathrm {F} = \ frac {1} {2} \, \ tilde {F} _ {\ alpha \ beta} ~ \ mathrm {d} x ^ \ alpha \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ beta = \ frac {1} {4} \, F ^ {\ alpha \ beta} \, \ epsilon_ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} ~ \ mathrm {d} x ^ \ gamma \ wedge \ mathrm { d} x ^ \ delta,

і 3-форма струму:

^ * \ Mathrm {J} = - \ frac {1} {3!} \, J ^ {\ alpha} \, \ epsilon_ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} ~ \ mathrm {d} x ^ \ beta \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ gamma \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ delta,

де \ Epsilon_ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \ - Абсолютний антисиметричною символ Леві-Чівіта ( \ Epsilon_ {0123} =- 1 \ ). Згортка з символом Леві-Чевіти зовнішнього твори диференціалів називається оператором зірки Ходжа.

У цих позначеннях рівняння Максвелла в системах СГС і СІ приймають такий вигляд [63] :

СГС
СІ
\ Mathrm {d} \, \ mathrm {F} = 0,
\ Mathrm {d} ^ * \ mathrm {F} = \ frac {4 \ pi} {c} \, ^ * \ mathrm {J},
\ Mathrm {d} \, \ mathrm {F} = 0,
\ Mathrm {d} ^ * \ mathrm {F} = \ mu_0 \, ^ * \ mathrm {J}.
Доказ

Щоб показати еквівалентність цих рівнянь рівнянням Максвелла, необхідно записати їх в тривимірній векторної формі. У цьому випадку, в системі СГС, струм і 2-форма Максвелла мають вигляд:

^ * \ Mathrm {J} = c \ rho \ mathrm {d} v-\ mathbf {j} \ mathrm {d} \ mathbf {s} \ wedge \ mathrm {d} t \, c ,~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ^ * \ mathrm {F} = \ mathbf {E} \ mathrm {d} \ mathbf {s} - \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {r } \ wedge \ mathrm {d} t \, c,

де \ Mathrm {d} v = \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z - Тривимірний обсяг, а \ Mathrm {d} \ mathbf {s} = (\ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z, ~ \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x, \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y) - Вектор площі поверхні в тривимірному просторі. Так як:

\ Mathrm {d} ^ * \ mathrm {F} = (\ nabla \ mathbf {E}) \ mathrm {d} v + \ Bigl (\ frac {1} {c} \ frac {\ partial \ mathbf {E} } {\ partial t} - \ nabla \ times \ mathbf {B} \ Bigr) \ mathrm {d} \ mathbf {s} \ wedge \ mathrm {d} t \, c.

то, з урахуванням рівнянь Максвелла в диференціальній формі, одержимо ^ * \ Mathrm {J} \ .

З урахуванням тотожності \ Mathrm {d} ^ 2 = 0 \ , Останнє рівняння Максвелла, записане за допомогою диференціальних форм відразу призводить до рівняння безперервності (закону збереження заряду):

\ Mathrm {d} ^ * \ mathrm {J} = 0 \.

У такій формі рівняння Максвелла залишаються справедливими і на довільному 4-мірному різноманітті, наприклад, у викривленому просторі-часі загальної теорії відносності. У цьому випадку, у співвідношеннях додатково з'являється визначник метричного тензора g . Наприклад, для струму і зовнішнього диференціювання:

^ * \ Mathrm {J} = - \ frac {1} {3!} \, J ^ {\ alpha} \ sqrt {-g} \, \ epsilon_ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} ~ \ mathrm { d} x ^ \ beta \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ gamma \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ delta, ~~~~~~~~~~~~~~ \ mathrm {d} ^ * \ mathrm {F} = \ frac {1} {4} \, F ^ {\ alpha \ beta }_{~~; \ alpha} \ sqrt {-g} \, \ epsilon_ {\ beta \ gamma \ delta \ eta} ~ \ mathrm {d} x ^ \ gamma \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ delta \ wedge \ mathrm {d} x ^ \ eta.


10.5. Общековаріантная запис в компонентах

На довільному 4-мірному різноманітті, тобто в загальному випадку, що включає і простір-час ненульовий кривизни (а також довільних чотиривимірних координат, включаючи випадки неінерційній систем відліку) електродинаміка може бути сформульована і в звичайних індексних позначеннях.

В основному рецепт переходу від випадку нульової кривизни простору-часу і лоренцевих систем відліку в ньому, детально описаного вище, до загального випадку полягає в заміні звичайних похідних по координатах на коваріантний похідні, врахування того, що метрика в цьому випадку не постійна і не має спеціального лоренцева виду (тобто практично довільна), а також при інтегруванні - наприклад, при записі дії - врахування того, що метрика входить в елемент обсягу (через множник \ Sqrt {-g} - Корінь з мінус детермінанта метрики).


11. Спектральне подання

У електродинаміки велике значення мають гармонійні коливання. Такі поля можна представити у вигляді:

\ Mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ frac {1} {2} \ left [\ tilde {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}) e ^ {-i \ omega t } + \ mbox {c. c.} \ right] = \ Re [\ tilde {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}) e ^ {-i \ omega t}],

\ Mathbf {H} (\ mathbf {r}, t) = \ frac {1} {2} \ left [\ tilde {\ mathbf {H}} (\ mathbf {r}) e ^ {-i \ omega t } + \ mbox {c. c.} \ right] = \ Re [\ tilde {\ mathbf {H}} (\ mathbf {r}) e ^ {-i \ omega t}].

де \ Omega \ - частота коливань поля. Позначення "cc" означає комплексне поєднання попереднього доданку. У деяких роботах коефіцієнт 1 / 2 в угоді про гармонійних амплітудах не використовується, що призводить до відповідної модифікації всіх пов'язаних з цією угодою виразів. У літературі також часто зустрічається вибір зворотного знаку в комплексній експоненті. Розглянутий тут варіант узгоджується з прийнятим у квантової теорії в поданні Шредінгера.

Усереднені за період щільності енергії електричного і магнітного поля дорівнюють, відповідно:

СГС
СІ
\ Langle w_E \ rangle = \ frac {\ tilde {\ varepsilon}} {16 \ pi} \, | \ tilde {\ mathbf {E}} | ^ 2,
\ Langle w_H \ rangle = \ frac {\ tilde {\ mu}} {16 \ pi} \, | \ tilde {\ mathbf {H}} | ^ 2.
\ Langle w_E \ rangle = \ frac {\ varepsilon_0 \ tilde {\ varepsilon} | {\ tilde {\ mathbf {E }}}|^ 2} {4},
\ Langle w_H \ rangle = \ frac {\ mu_0 \ tilde {\ mu} | \ tilde {\ mathbf {H}} | ^ 2} {4}.

Використовуючи перетворення Фур'є, за гармонійним коливанням можна розкласти поля з довільною тимчасової залежністю.

\ Mathbf {E} (r, t) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ Tilde {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}, \ omega) e ^ {- i \ omega t} \ frac {d \ omega} {2 \ pi},
\ Mathbf {H} (r, t) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ Tilde {\ mathbf {H}} (\ mathbf {r}, \ omega) e ^ {- i \ omega t} \ frac {d \ omega} {2 \ pi}.

Перехід до спектральних компонентів дозволяє зосередитися на координатної залежності полів. Рівняння Максвелла для спектральних компонент в однорідних середовищах при цьому беруть вигляд:

СГС
СІ
\ Nabla \ cdot \ tilde {\ mathbf {E}} = \ frac {4 \ pi \ tilde {\ rho}} {\ tilde {\ varepsilon}},
\ Nabla \ cdot \ tilde {\ mathbf {E}} = \ frac {\ tilde {\ rho}} {\ varepsilon_0 \ tilde {\ varepsilon}},
\ Nabla \ cdot \ tilde {\ mathbf {B}} = 0,
\ Nabla \ cdot \ tilde {\ mathbf {B}} = 0,
\ Nabla \ times \ tilde {\ mathbf {E}} = i \ frac {\ omega} {c} \ tilde {\ mathbf {B}},
\ Nabla \ times \ tilde {\ mathbf {E}} = i \ omega \ tilde {\ mathbf {B}},
\ Nabla \ times \ tilde {\ mathbf {B}} =- i \ tilde {\ varepsilon} \ tilde {\ mu} \ frac {\ omega} {c} \ left [1 + i \ frac {4 \ pi \ tilde {\ sigma}} {\ omega \ tilde {\ varepsilon}} \ right] \ tilde {\ mathbf {E}}.
\ Nabla \ times \ tilde {\ mathbf {B}} =

Діелектрична і магнітна проникності середовища в спектральному представленні пов'язані з сприйнятливості матеріальних рівнянь в інтегральному уявленні Фур'є-перетворенням:

СГС
СІ
\ Tilde {\ varepsilon} (\ omega) = 1 +4 \ pi \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ Chi_e (\ tau) e ^ {i \ omega \ tau} d \ tau ,
\ Tilde {\ mu} (\ omega) = 1 +4 \ pi \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ Chi_m (\ tau) e ^ {i \ omega \ tau} d \ tau .
\ Tilde {\ varepsilon} (\ omega) = 1 + \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ Chi_e (\ tau) e ^ {i \ omega \ tau} d \ tau,
\ Tilde {\ mu} (\ omega) = 1 + \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ Chi_m (\ tau) e ^ {i \ omega \ tau} d \ tau.

12. Рівняння без вільних зарядів і струмів

За відсутності вільних зарядів і струмів \ Rho = 0 \, , \ Mathbf {j} = 0 , в ізотропних та однорідних середовищах без дисперсії рівняння Максвелла приймають наступний вигляд:

СГС
СІ
\ Nabla \ cdot \ mathbf {E} = 0 ,~~~~~~~~~~~~~~~ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0,
\ Nabla \ times \ mathbf {E} =- \ frac {1} {c} \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t },~~~~~~ \ nabla \ times \ mathbf {B } = \ frac {\ varepsilon \ mu} {c} \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t},
\ Nabla \ cdot \ mathbf {E} = 0 ,~~~~~~~~~~~~~ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0,
\ Nabla \ times \ mathbf {E} =- \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t },~~~~~~ \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ frac {\ varepsilon \ mu} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}.

Рішеннями цих рівнянь є напруженість електричного поля \ Mathbf {E} і магнітна індукція \ Mathbf {B} . Діелектрична ε і магнітна μ проникності визначаються властивостями середовища. Для вакууму ε = 1 , \ Mu = 1 \, .


12.1. Хвильове рівняння

Рівняння Максвелла є диференціальними рівняннями першого порядку по координатах і часу. Однак, у другій парі в кожне рівняння входять обидві невідомі векторні функції \ Mathbf {E} і \ Mathbf {B} . При відсутності зарядів і струмів можна перейти до рівнянь другого порядку, кожне з яких залежить тільки від одного, електричного або магнітного поля:

\ Delta \ mathbf {E} - \ frac {\ varepsilon \ mu} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 \ mathbf E} {\ partial t ^ 2} = 0, ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ \ Delta \ mathbf {B} - \ frac {\ varepsilon \ mu} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 \ mathbf B} {\ partial t ^ 2} = 0.

Такі рівняння називаються хвильовими.

Висновок хвильового рівняння

Беручи ротор від закону Фарадея, і використовуючи закон Ампера-Максвелла, отримуємо (в системі СІ):

\ Nabla \ times [\ nabla \ times \ mathbf E] = \ nabla \ times \ left (- \ frac {\ partial \ mathbf B} {\ partial t} \ right) =- \ frac {\ partial} {\ partial t} [\ nabla \ times \ mathbf B] =- \ frac {\ varepsilon \ mu} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 \ mathbf E} {\ partial t ^ 2}.

З іншого боку, розкриваючи подвійне векторний добуток, маємо:

\ Nabla \ times [\ nabla \ times \ mathbf E] = \ nabla \, (\ nabla \ cdot \ mathbf E) - \ Delta \ mathbf E = - \ Delta \ mathbf E,

так як дивергенція електричного поля у вакуумі дорівнює нулю. Приравнивая эти два выражения, получаем волновое уравнение для электрического поля. Аналогично получается волновое уравнение для магнитного поля.

В лоренцевской калибровке в отсутствие зарядов и токов волновому уравнению удовлетворяют также векторный и скалярный потенциалы:

\Delta\varphi-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=0, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \Delta\mathbf{A}-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2}=0.

Величина c/\sqrt{\varepsilon\mu}, входящая в волновые уравнения определяет скорость распространения электромагнитных полей в среде. Её максимальное значение c достигается в вакууме, когда ε = 1 і \mu=1\, .


12.2. Рівняння Гельмгольца

Нехай ω - круговая частота гармонического сигнала и зависимость от времени выбрана в виде e^{-i\omega t}\, . При отсутствии электрических зарядов в среде, уравнение Гельмгольца принимает вид:

\Delta\mathbf E+k^2\mathbf E= 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta\mathbf B+k^2\mathbf B= 0,

де k^2=\mu\varepsilon\frac{\omega^2}{c^2} .


13. Некоторые точные решения

13.1. Поле движущегося точечного заряда

Если заряд движется с постоянной скоростью \ Mathbf {u}, то вокруг него возникает магнитное поле \ Mathbf {B}, а напряжённость электрического перестаёт быть сферически симметричной [64] :

СГС
СІ
\mathbf{E}=\frac{Q}{\varepsilon}\, \frac{\mathbf{r}}{r^3}\, \frac{1-u^2/c^2}{(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2/c^2)^{3/2}}
\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c}\,[\mathbf{u}\times \mathbf{E}]
\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\, \frac{\mathbf{r}}{r^3}\, \frac{1-u^2/c^2}{(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2/c^2)^{3/2}}
\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,[\mathbf{u}\times \mathbf{E}]

Одиничний вектор \mathbf{n}=\mathbf{r}/r направлен от заряда к точке измерения напряжённости поля. r\, - модуль вектора \mathbf r . Если ввести угол \theta\, между векторами \ Mathbf {u} і \mathbf{n} , То [\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2=u^2\sin^2\theta . При фиксированном расстоянии от заряда напряжённость электрического поля минимальна в точках, находящихся на линии движения заряда. Максимальное значение достигается в плоскости, проходящей через заряд перпендикулярно его скорости. Магнитная индукция, в силу векторного произведения, перпендикулярна скорости и электрическому полю. Так как заряд движется, в фиксированной точке пространства электрическое и магнитное поля изменяются со временем. Они удовлетворяют уравнениям Максвелла с плотностью заряда и тока, пропорциональных дельта-функции Дирака :

\rho(\mathbf{r})=Q\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0),~~~~~~~~~~~ \mathbf{j}(\mathbf{r})=\mathbf{u}\,\rho(\mathbf{r}) ,

де \mathbf{r}_0 - текущее положение заряда.

На пробный заряд q\,, двигающийся в той же системе отсчёта, действует сила Лоренца. Она может быть получена при помощи преобразований Лоренца из закона Кулона и принципа инвариантности заряда [65]. В этом смысле магнитное поле по своей природе является релятивистским эффектом.

Если точечный заряд двигается с ускорением, то создаваемое им поле зависит не только от скорости, но и от ускорения. Составляющая поля, зависящая от ускорения, соответствует излучению электромагнитной волны [41].


13.2. Плоские электромагнитные волны

\bullet Предположим, что напряжённость электрического поля и магнитная индукция являются произвольными функциями следующей комбинации координат и времени:

\mathbf{E}(\mathbf r, t)=\mathbf{E}\Bigl(\mathbf{n}\mathbf{r}-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr), ~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{B}(\mathbf r, t)=\mathbf{B}\Bigl(\mathbf{n}\mathbf{r}-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),

де \mathbf{n} - некоторый постоянный вектор. У цьому випадку \ Mathbf {E} і \ Mathbf {B} удовлетворяют уравнениям Максвелла в отсутствие зарядов и токов, если между ними существует следующая связь:

СГС
СІ
\mathbf{B}=\sqrt{\varepsilon\mu}\,[\mathbf{n}\times\mathbf{E}]
\mathbf{B}=\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,[\mathbf{n}\times\mathbf{E}]

и они перпендикулярны вектору \mathbf{n}, который должен быть единичным:

\mathbf{n}\mathbf{E}=0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf{n}\mathbf{B}=0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf{n}^2=1.

Вывод решения для плоской волны

Если напряжённость электрического поля зависит от координат и времени в виде следующей их комбинации u=\mathbf{n}\mathbf{r}-c t/\sqrt{\varepsilon\mu}, то для производной j\ -той компоненты вектора \ Mathbf {E} по i\ -той координате и времени можно записать:

\nabla_i E_j = \frac{\partial E_j}{\partial r_i} = \frac{d E_j}{du}\,\frac{\partial u}{\partial r_i} = n_i E_j ,~~~~~~~~~~~~~~~~ \frac{\partial E_j}{\partial t} = -\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} \frac{d E_j}{du},

и аналогично для магнитной индукции. Поэтому уравнения Максвелла в отсутствие зарядов и токов принимают вид (система СИ):

\frac{d(\mathbf{n}\mathbf{E})}{du} = 0,~~~~~~~~ \frac{d(\mathbf{n}\mathbf{B})}{du} = 0,~~~~~~~~ \frac{d}{du}\bigl([\mathbf{n}\times \mathbf{E}] - \frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\mathbf{B}\bigr)= 0,~~~~~~~~ \frac{d}{du}\bigl([\mathbf{n}\times \mathbf{B}] + \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c} \mathbf{E}\bigr)= 0.

Интегрируя эти соотношения по u \, и опуская константы интегрирования, которые соответствуют постоянным полям, получаем:

\mathbf{n}\mathbf{E} = 0,~~~~~~~~~ \mathbf{n}\mathbf{B} = 0,~~~~~~~~~ \mathbf{B} = \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,[\mathbf{n}\times \mathbf{E}],~~~~~~~~~ \mathbf{E}= -\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\, [\mathbf{n}\times \mathbf{B}].

Подставляя четвёртое уравнение в третье, получаем \mathbf{n}^2=1 .

Физический смысл решения в виде плоской волны состоит в следующем. Выберем ось z\декартовой системы координат так, чтобы вектор \mathbf{n} был направлен вдоль неё. Тогда электрические и магнитные поля волны зависят от координаты z\ и времени t\ наступним чином:

\mathbf{E}(z, t)=\mathbf{E}\Bigl(z-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr), ~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{B}(z, t)=\mathbf{B}\Bigl(z-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),

Предположим, что в начальный момент времени t=0\, напряжённость поля является произвольной векторной функцией z\ . С течением времени, эта функция будет сдвигаться в пространстве вдоль оси z\ зі швидкістю c/\sqrt{\varepsilon\mu} .

В электромагнитной волне в общем случае напряжённость поля может быть произвольной непериодической функцией u=\mathbf{n}\mathbf{r}-c t/\sqrt{\varepsilon\mu} . Например, решение в виде плоской волны может описывать электромагнитный импульс локализованный вдоль направления движения. В плоскости перпендикулярной \mathbf{n}, электромагнитные поля не изменяются, что означает, что в этой плоскости плоская волна не ограничена и имеет плоский фазовый фронт (именно поэтому волна называется плоской). Так как электрическое и магнитное поля при распространении плоской волны всё время остаются перпендикулярными вектору \mathbf{n}, такие волны называют "поперечными" или "трансверсальными". Вектори \ Mathbf {E} і \ Mathbf {B}, в силу свойств векторного произведения, также перпендикулярны друг другу.

\bullet Плотности энергии электрического и магнитного поля в плоской волне равны друг другу:

СГС
СІ
w_E=w_H = \frac{\varepsilon}{8\pi}\, \mathbf{E}^2
w_E=w_H = \frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2} \, \mathbf{E}^2

Вектор Пойнтинга (плотность потока энергии), независимо от системы единиц, связан с полной плотностью энергии следующим образом:

\mathbf{S}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\, \mathbf{n}\, (w_E+w_H).

Это соотношение соответствует уравнению связи импульса и энергии для безмассовой частицы в релятивистской теории. Однако, скорость c/\sqrt{\varepsilon\mu} в среде меньше чем скорость света в вакууме c\, .

Циркулярно и линейно поляризованная плоская электромагнитная волна

Плоские и поперечные волны являются математическими абстракциями. Реальные волны конечной апертуры из-за эффекта дифракции можно считать плоскими и поперечными лишь в некотором приближении.

\bullet Важный частный случай решения в виде плоских волн возникает, когда напряжённости полей являются гармоническими периодическими функциями. Выберем координатную ось z\, вдоль волнового вектора \mathbf{k} . Тогда вектор электрического поля (как, впрочем, и магнитного) будет лежать в плоскости (x,y)\, , Тобто \mathbf{E}=(E_x,E_y,0) . Если по каждой проекции в этой плоскости электрическое поле совершает периодические колебания, то такую волну называют монохроматической плоской волной:

E_x=a\, \cos(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}+\phi_1),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ E_y=b\, \cos(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}+\phi_2).

Сравнение с общим решением для плоской волны, приводит к следующей связи между вектором \mathbf{k} и константой \omega\,, которое называется уравнением дисперсии :

\mathbf{k}= \mathbf{n}\, \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,\omega,~~~~~~~~~~~~~\mathbf{k}^2 = \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,\omega^2.

В этом случае, вектор \mathbf{k} називається волновым вектором, а \omega\, - круговой частотой монохроматической электромагнитной волны. Модуль волнового вектора и круговая частота связаны с длиной волны \lambda\, и её частотой \nu\, наступним чином:

k = \frac{2\pi}{\lambda},~~~~~~~~~\omega=2\pi\nu,~~~~~~~~~~~\lambda\nu = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}.

Константи \phi_1\, і \phi_2\, являются сдвигами фазы, а a \, і b\, - амплитудами колебаний вдоль каждой оси.

В фиксированной точке пространства ( \mathbf{k}\mathbf{r}=\mathrm{const}) вектор электрического поля, в общем случае, описывает в плоскости (x,y)\ эллипс, поэтому такие волны называются эллиптически поляризованными. Их частным случаем являются волны поляризованные по кругу. Вырожденный в прямую эллипс соответствует колебаниям напряжённости поля вдоль одной прямой в плоскости (x,y)\ . Такие волны называются линейно поляризованными. Аналогична ситуация с вектором магнитной индукции, который всё время перпендикулярен напряжённости электрического поля.


14. Связь с другими теориями

Уравнения Максвелла полностью совместимы с принципами спеціальної теорії відносності. Они также применимы при микроскопическом описании вещества, когда заряженные частицы подчиняются принципам квантовой механики, а электромагнитное поле остаётся классическим (не квантовым). В этом случае квантовые объекты (например, электроны) описываются уравнением Шрёдингера или уравнением Дирака, однако, потенциалы электромагнитного взаимодействия в этих уравнениях определяются классическими уравнениями Максвелла.

Тем не менее, существуют явления, для описания которых требуется более последовательное объединение полевого подхода Фарадея - Максвелла с принципами квантовой механики. Оно осуществляется при помощи методов квантовой теории поля в квантової електродинаміки. В этом случае форма уравнений Максвелла (лагранжиан) остаётся неизменной, однако поля становятся операторами, а уравнения Максвелла - операторными уравнениями Гейзенберга. Решение подобных уравнений приводит к появлению новых эффектов, отсутствующих в классической теории поля. Эти эффекты существенны, в частности, в следующих физических ситуациях:

  • Сверхсильные поля ( E \sim m_e^2c^3/e\hbar ≈1.3210 18 В/м, где m_e\ - масса электрона, e\ - его заряд, \ Hbar - постоянная Планка) - работа такого поля на комптоновской длине волны электрона равна по порядку величины энергии покоя электрона, что приводит к самопроизвольной генерации электрон-позитронных пар из вакуума (эффект Швингера) [66]. В результате возникает эффективное взаимодействие фотонов, которое отсутствует в классической электродинамике, приводящее к эффективному изменению лагранжиана поля (например, в низкоэнергетическом пределе поле описывается лагранжианом Гейзенберга - Эйлера [67]).
  • Сверхслабые поля, с энергией \sim\hbar\omega , Де \omega\ - частота поля (см. формула Планка). В этом случае становятся заметными отдельные кванты электромагнитного поля - фотони.
  • Для описания эффектов поглощения и испускания света атомами и молекулами.
  • Для описания неклассических, например, сжатых состояний поля [68].
  • На малых расстояниях, сравнимых с комптоновской длиной волны электрона, \lambda_e=\hbar/m_ec ≈ 3.8610 −13 м, когда в результате вакуумных эффектов, модифицируется, например, закон Кулона.

15. Аксиоматический подход

Исторически уравнения Максвелла возникли в результате обобщения различных экспериментальных открытий. Однако с аксиоматической точки зрения их можно получить при помощи следующей последовательности шагов [69] :

  • Постулируются:
    • закон Кулона (сила \mathbf{F}, действующая на пробный заряд q\, со стороны неподвижного заряда Q\, );
    • инвариантность заряда в различных инерциальных системах отсчёта;
    • принцип суперпозиции.
  • За допомогою преобразований Лоренца получается значение для вектора силы \mathbf{F}, действующей на пробный заряд, со стороны равномерно двигающегося со скоростью \ Mathbf {u} заряда Q\,, которое совпадает с силой Лоренца.
  • Дивергенція і ротор, вычисленные от электрической ( \ Mathbf {E}) и магнитной ( \ Mathbf {B}) составляющих силы дают уравнения Максвелла для точечного заряда. В силу принципа суперпозиции они записываются для произвольного распределения зарядов и токов. В заключение постулируется применимость этих уравнений и к ускоренному движению зарядов.

Второй подход основан на лагранжевом формализме [70]. При этом постулируется, что электромагнитное поле описывается линейным взаимодействием четырёхмерного потенциала A^\alpha\,, с четырёх-вектором электрического тока j^\alpha\,, а свободный лагранжиан пропорционален инвариантной свёртке квадрата тензора электромагнитного поля F^{\alpha\beta}\, .

Как в первом, так и во втором подходе предполагаются установленными принципы теории относительности. Хотя исторически она возникла на основе уравнений Максвелла и второго постулата Эйнштейна, известен, восходящий к работам Игнатовского [71], Франка и Роте [72], аксиоматический способ построения СТО, не использующий постулата об инвариантности скорости света и уравнений Максвелла.

В обоих аксиоматических подходах получаются уравнения Максвелла в вакууме при наличии свободных зарядов. Расширение этих уравнений на электродинамику сплошных сред требует дальнейшего привлечения различных модельных представлений о структуре вещества.


16. Единственность решений уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла являются диференціальними рівняннями в приватних похідних. Поэтому для их решения необходимо задать начальные и граничные условия. При фиксированных функциях плотности заряда и тока для нестационарных полей получаемое решение единственно. Этот факт формулируется в виде теоремы [73] [74] [75] :

Если напряженности электрического и магнитного полей заданы в начальный момент времени t = 0 в каждой точке некоторой области пространства v и в течениe всего времени t\ge 0 заданы тангенциальные (касательные) составляющие напряженности электрического или магнитного поля на границе этой области s , то существует единственное решение уравнений Максвелла.

Доказательство

Пусть электрическая и магнитная индукции связаны с напряжённостями полей при помощи следующих материальных уравнений:

\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)=\hat{\varepsilon}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}, t), ~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)=\hat{\mu}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{H}(\mathbf{r}, t),

де \hat{\varepsilon}(\mathbf{r}) і \hat{\mu}(\mathbf{r}) - положительно определённые, симметричные, стационарные матрицы. Если при данных начальных и граничных условиях существуют два различных решения, то следующие величины будут отличны от нуля:

\mathbf{e}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}_2(\mathbf{r}, t)-\mathbf{E}_1(\mathbf{r}, t), ~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{h}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{H}_2(\mathbf{r}, t)-\mathbf{H}_1(\mathbf{r}, t),

где индекс указывает номер решения. Так как начальные и граничные условия заданы (одинаковые для обоих возможных решений), то:

\mathbf{e}(\mathbf{r}, 0)=\mathbf{h}(\mathbf{r}, 0)=0,~~~~~~~~~~~~~~~ [\mathbf{e}_\tau(\mathbf{r}, t) \cup \mathbf{h}_\tau(\mathbf{r}, t)]\Big|_s=0.

Первые соотношения соответствуют начальным условиям, в вторые - граничным условиям на поверхности s , Де \mathbf{e}=\mathbf{e}_n+\mathbf{e}_\tau . (Индекс n - нормальная составляющая к поверхности, а τ - касательная. Аналогічно для \mathbf{h}) Подстановка функций \mathbf{e}(\mathbf{r}, t) і \mathbf{h}(\mathbf{r}, t) в уравнения Максвелла для роторов приводит к следующим уравнениям:

k\,\nabla\times\mathbf{e}=-\frac{\partial (\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})}{\partial t}, ~~~~~~~~~~~~~~~~~ k\,\nabla\times\mathbf{h}=\frac{\partial (\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e})}{\partial t},

где коэффициент k дорівнює c в системе СГС и единице в системе СІ. Если одно из разностных полей \mathbf{e} або \mathbf{h} равно нулю, то в силу нулевых начальных условий, соответственно, из первого или второго уравнения следует равенство нулю неопределенного разностного поля, соответственно, \mathbf{h} або \mathbf{e}, и единственность в этих частных случаях доказана.

Предположим, что не равны нулю оба разностных поля. Если первое уравнение умножить на \mathbf{h}, а второе на \mathbf{e}, и вычесть друг из друга, то получится следующее выражение:

-2k\,\nabla\cdot(\mathbf{e}\times\mathbf{h})= \frac{\partial (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e})}{\partial t} +\frac{\partial (\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})}{\partial t}.

Это выражение можно проинтегрировать по объёму v , и применить теорему Гаусса :

-2k\oint_s [\mathbf{e}\times\mathbf{h}]\,d\mathbf{s} = \frac{d}{d t} \int_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\, dv.

Тангенциальные (касательные) к поверхности s компоненты векторов \mathbf{e}_\tau або \mathbf{h}_\tau при любом t\ge 0 равны нулю (граничные условия), поэтому равен нулю и интеграл по поверхности. Следовательно:

\frac{d}{d t} \int_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\, dv = 0.

Полученное соотношение интегрируется по времени. Так как в начальный момент времени t = 0 функції \mathbf{e}(\mathbf{r}, 0)=\mathbf{h}(\mathbf{r}, 0)=0, то константа интегрирования равна нулю, и при любом t :

\int_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\,dv = 0.

Подынтегральная функция является положительно определённой (всегда больше или равна нулю). Интеграл от такой функции равен нулю, только в том случае когда подынтегральная функция тождественно равна нулю. Следовательно, в любой момент времени внутри объёма \mathbf{e}(\mathbf{r}, t)=0 і \mathbf{h}(\mathbf{r}, t)=0 . Поэтому решения совпадают.

Для единственности решения уравнений Максвелла вместо задания тангенциальных компонент поля можно потребовать выполнение на границе условия импедансного типа

\left(\mathbf{E}_\tau - Z [\mathbf{n}\times \mathbf{H}]\right)\Big|_s=0,

где импеданс Z выбран так, чтобы исключить приток энергии извне. Такое условие позволяет сформулировать теорему единственности и в неограниченном случае, при этом импедансное условие обращается в условие излучения Зоммерфельда на бесконечности.

Для гармонических во времени процессов единственность решения задачи без начальных условий обеспечивается сколь угодно малым поглощением энергии внутри объёма v или её утечкой через поверхность s (исключающими собственные колебания на действительных резонансных частотах).

В стационарных задачах электростатики и магнитостатики единственное решение для установившихся полей определяется только граничными условиями.


17. Численное решение уравнений Максвелла

С развитием вычислительной техники, стало возможным решать многие задачи электродинамики численными методами [76], которые позволяют определить распределение электромагнитного поля при заданных начальных и граничных условиях, используя алгоритмы, основанные на уравнениях Максвелла.

Основными методами являются проекционные, в которых решение проецируется на какой-либо удобный функциональный базис, и дискретизационные - область пространства разбивается на множество малых конечных областей.

  • В проекционном методе Бубнова - Галёркина [77] решение граничной задачи рассматривается в виде приближенного конечного разложения по базисным функциям. После подстановки разложения в исходные уравнения с учётом требования ортогональности получающейся невязки выбранным базисным функциям, получается система линейных уравнений для коэффициентов разложения.

Для компьютерных расчетов чаще применяются более универсальные дискретизационные методы:

  • Метод конечных элементов (FEM), который используется для решения широкого класса задач, сводящихся к уравнениям в частных производных. В теории электромагнетизма чаще используется для расчёта задач электростатики, магнитостатики, распространения волн и квазистационарных явлений [78] [79]. В методе конечных элементов рассматриваемая область пространства, в которой ищется решение, разбивается на большое число простых дискретных элементов, обычно, но не обязательно, треугольной (в двумерном случае) или тетраэдральной формы (в трёхмерном случае). Форма и плотность элементов адаптируются к требованиям задачи. Поведение отдельных элементов рассматривается как результат линейного взаимодействия соседних узлов решётки разбиения под действием внешних сил и описывается матричными уравнениями. Решение задачи сводится, таким образом, к решению разреженных систем большого числа линейных матричных уравнений. Метод реализован во многих коммерческих и свободных программных пакетах (см. статью Метод конечных элементов).
  • Метод конечных разностей во временной области (FDTD) для нахождения временны́х и спектральных зависимостей [80] [81] был разработан специально для решения уравнений Максвелла, в которых изменение электрического и магнитного поля во времени зависит от изменения, соответственно, магнитного и электрического поля в пространстве. В рамках этого метода область пространства и временной интервал подвергаются равномерной дискретизации с заданием начальных условий. Полученные из уравнений Максвелла конечно-разностные уравнения решаются в каждый последующий момент временной сетки, пока не будет получено решение поставленной задачи на всем требуемом временном интервале.

18. Джерела

  1. Эрстед Г. Х. "Опыты, относящиеся к действию электрического конфликта на магнитную стрелку", в кн. Ампер А. М. Электродинамика - М .: АН СССР, 1954. - С. 433-439. - 492 с. - 5000 екз .
  2. J.-B. Biot and F.Savart, Note sur le Magntisme de la pile de Volta, Annales Chim. Phys. vol. 15, pp. 222-223 (1820)
  3. Марио Льоцци История физики - М .: Світ, 1970. - С. 253-257. - 464 с.
  4. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - М .: ГІТТЛ, 1952. - С. 349. - 687 с. - 4000 экз .
  5. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - М .: ГІТТЛ, 1952. - С. 632. - 687 с. - 4000 экз .
  6. "О фарадеевых силовых линиях" в кн. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - М .: ГІТТЛ, 1952. - С. 11-88. - 687 с. - 4000 экз .
  7. Maxwell JC On Faraday's Lines of Force // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1856. - Т. 10. - № 1. - С. 155-229.
  8. 1 2 3 Шапиро И. С. К истории открытия уравнений Максвелла // УФН. - 1972. - Т. 108. - № 2. - С. 319-333.
  9. "О физических силовых линиях" в кн. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - М .: ГІТТЛ, 1952. - С. 107-177. - 687 с. - 4000 экз .
  10. Maxwell JC On Physical Lines of Force // Philosophical Magazine : Ser. 4. - 1861,1862. - Т. 11,13. - С. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95.
  11. "Динамическая теория электромагнитного поля" в кн. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - М .: ГІТТЛ, 1952. - С. 251-316. - 687 с. - 4000 экз .
  12. Maxwell JC (1865). " A dynamical theory of the electromagnetic field ". Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 : 459-512.
  13. Maxwell JC "A Treatise on Electricity And Magnetism", 1873
  14. Paul J. Nahin Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age - JHU Press, 2002. - P. 108112. - ISBN 9780801869099.
  15. Aharonov, Y; Bohm, D (1959). "Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". Physical Review 115 : 485491. DOI : 10.1103/PhysRev.115.485.
  16. 'Nahin P. J. . Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age. JHU Press. pp. 108-112. ISBN 978-0-8018-6909-9
  17. 1 2 Einstein A. "Zur Elektrodynamik bewegter Krper" Ann Phys.- 1905.- Bd 17.- S. 891. Переклад: Эйнштейн А. "К электродинамике движущихся тел" Эйнштейн А. Собрание научных трудов - М .: Наука, 1965. - Т. 1. - С. 7-35. - 700 с. - 32000 экз .
  18. Myron Evans Modern nonlinear optics - John Wiley and Sons, 2001. - P. 240. - ISBN 9780471389316.
  19. Larmor J. "Aether and matter", Cambridge, 1900, p. 162-193 Перевод: Лармор Дж. "Эфир и материя" в Принцип відносності. Сборник работ по специальной теории относительности / Составитель Тяпкин А. А. - М .: Атомиздат, 1973. - С. 47-64. - 332 с. - 3625 экз .
  20. Lorentz HA "Electromagnetic Phenomena in a System Moving with any Velocity Smaller than that of Light" Amst. Proc V. 6 .- P. 809; 1904.- V. 12,- P. 986. Перевод: Лоренц Г. А. "Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света" Принцип відносності. Сборник работ по специальной теории относительности / Составитель Тяпкин А. А. - М .: Атомиздат, 1973. - С. 67-86. - 332 с. - 3625 экз .
  21. Poincare H. "Sur la dynainique de l'electron" Comptes Rendues, Acad. Sci., Paris.-1905.-V. 140.-P. 1504; Перевод: Пуанкаре А. "О динамике электрона" Принцип відносності. Сборник работ по специальной теории относительности / Составитель Тяпкин А. А. - М .: Атомиздат, 1973. - С. 90-93. - 332 с. - 3625 экз .
  22. Паули В. Теория Относительности - М .: Наука. - С. 13-17.
  23. Исключением явились эксперименты Миллера на горе Маунт Вильсон. В дальнейшем повторение этих экспериментов другими исследователями на более точной аппаратуре эффекта не выявили. См. Повторения опыта Майкельсона
  24. Берестецкий, В. Б., Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика - Издание 4-е, исправленное. - М .: Физматлит, 2002. - 720 с. - ( "Теоретическая физика", том IV). - ISBN 5-9221-0058-0.
  25. Л. Б. Окунь Приложение I // Физика элементарных частиц - М .: Наука, 1984.
  26. Д. В. Сивухин О международной системе физических величин // УФН. - 1979. - Т. 129. - № 10. - С. 335.
  27. С. Г. Каршенбойм Фундаментальные физические константы: роль в физике и метрологии и рекомендованные значения // УФН. - 2005. - Т. 175. - № 3. - С. 271.
  28. тобто содержащих дивергенции векторных полей, являющиеся скалярами.
  29. Например, в проводнике обычно присутствуют носители заряда как минимум двух типов разного знака, поэтому суммарная плотность заряда в проводнике может быть равна нулю, а ток тем не менее может присутствовать (и его плотность тогда нулю не равна).
  30. Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд - Москва: Наука, 1985. - С. 43-44. - 260 с.
  31. O. Haviside, "On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric", Phil.Mag. S.5 27, p. 324, 1889.
  32. Карцев В. П. "Приключения великих уравнений", М.: Знание, 1986.
  33. Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633-730. doi:10.1103/RevModPhys.80.633.
  34. Значения физических постоянных
  35. Наприклад, Таблицы физических величин / акад. И. К. Кикоин - М .: Атомиздат, 1976.
  36. Refractive index database
  37. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - С. 42-45. - 539 с. - 8000 екз .
  38. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - С. 112-113. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  39. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - С. 69-76,95-96. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  40. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - С. 34-35. - 539 с. - 8000 екз .
  41. 1 2 Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - С. 215-218. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  42. Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика - Москва: Наука, 1981. - С. 12. - 503 с.
  43. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - С. 37-40. - 539 с. - 8000 екз .
  44. EA Essex, Hertz vector potentials of electromagnetic theory, American Journal of Physics, 45, 1977, 1099-1101
  45. A. Nisbet, "Hertzian electromagnetic potentials and associated gauge transformations", Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A., 231, #1185, 250-263, 1955.
  46. P. Debye Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material (Нім.) / / Annalen der Physik. - 1909. - Т. 30. - С. 57-136.
  47. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - С. 345-348. - 539 с. - 8000 екз .
  48. R. Janaswamy A note on the {TE/TM} decomposition of electromagnetic fields in three dimensional homogeneous space (Англ.) // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2004. - Т. 52. - С. 2474-2476.
  49. L. Silberstein Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung (Нім.) / / Annalen der Physik. - 1907. - Т. 22. - С. 579.
  50. 1 2 I. Bialynicky-Birula Photon wave function (Англ.) // Progress in Optics. - 1996. - Т. 36. - С. 245-294.
  51. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - С. 40-42. - 539 с. - 8000 екз .
  52. Здесь и ниже используются наиболее употребительные в современной литературе соглашения (о нумерации координат, сигнатуре метрики итп), которые вообще говоря могут быть выбраны и несколько по-другому, что встречается в литературе.
  53. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - С. 88-90. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  54. Mller-Kirsten HJW Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects - Singapore: World Scientific, 2004. - P. 398,399. - 522 p. - ISBN 981-238-807-9.
  55. Mller-Kirsten HJW Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects - Singapore: World Scientific, 2004. - P. 399. - 522 p. - ISBN 981-238-807-9.
  56. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - С. 90-91. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  57. Mller-Kirsten HJW Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects - Singapore: World Scientific, 2004. - P. 403. - 522 p. - ISBN 981-238-807-9.
  58. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - С. 70-73. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  59. 1 2 Mller-Kirsten HJW Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects - Singapore: World Scientific, 2004. - P. 428. - 522 p. - ISBN 981-238-807-9.
  60. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - С. 102. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  61. Болібрух А. А. Рівняння Максвелла і диференціальні форми, МЦНМО, 2002.
  62. Мізнер Ч., Торн К., Уїлер Дж. Гравітація - М .: Світ, 1977. - Т. 1. - С. 195,196. - 474 с.
  63. Мізнер Ч., Торн К., Уїлер Дж. Гравітація - М .: Світ, 1977. - Т. 1. - С. 153-155. - 474 с.
  64. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - С. 128-130. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  65. Берклєєвський курс фізики. Том 2. Парселл Е. Електрика і магнетизм. М.: Наука, 1971.
  66. Schwinger J. On Gauge invariance AND Vacuum Polarization (Англ.) / / Phys.Rev.Lett.. - 1951. - Т. 82. - С. 664.
  67. Heisenberg W., Euler H. Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons (Нім.) / / Z. Phys.. - 1936. - Т. 98. - С. 714.
  68. А. В. Бєлінський, А. С. Чиркин Стислий стан - стаття з Фізичної енциклопедії
  69. Парселл Е. Берклєєвський курс фізики - М .: Наука. - Т. II. Електрика і магнетизм. - С. 149-181.
  70. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - 512 с. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  71. von W. v. Ignatowsky "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativittsprinzip" Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (російський переклад)
  72. von Philipp Frank und Hermann Rothe "ber die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825-855 (російський переклад)
  73. Стреттон Дж. А. Теорія електромагнетизму - М.-Л.: ГІТТЛ, 1948. - С. 429-430. - 539 с. - 8000 екз .
  74. Нікольський В. В., Микільська Т. І. Електродинаміка та поширення радіохвиль. М.: Наука, 1989. - C. 128-130
  75. XL Zhou "On independence, completeness of Maxwell's equations and uniqueness theorems in electromagnetics" Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 117-134, 2006 pdf
  76. Chew WC, Jin J., Michielssen E., Song J. Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics - Artech House, 2001. - ISBN 1-58053-152-0.
  77. Нікольський В. В., Микільська Т. І. Електродинаміка та поширення радіохвиль. М.: Наука, 1989. - C. 416-436
  78. Сильвестер П. і Феррарі Р. Метод кінцевих елементів для радіоінженерів та інженерів-електриків - Москва: Мир, 1986. - 336 с.
  79. Monk, P. Finite Element Methods for Maxwell's Equations - Clarendon Press, Oxford, 2003.
  80. Taflove A. and Hagness SC Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method - Artech House, 2005.
  81. Jin, J. The Finite Element Method in Electromagnetics - 2nd. - Wiley-IEEE Press, 2002. - ISBN 0-47143-818-9.

19. Примітки

  1. 1 2 Якщо вільні магнітні монополі будуть експериментально виявлені, це зажадає введення в закон Гаусса для магнітного поля щільності магнітних зарядів і щільності їх струмів в закон індукції Фарадея.

20. Література

21.1. Історичні публікації


21.1.2. Історія розвитку


21.2.3. Загальні курси фізики

  • Астахов А. В., Широков Ю. М. Курс фізики, Т. II, Електромагнітне поле - Москва: Наука, 1980. - 360 с.
  • Баскаков С. І. Основи електродинаміки - Москва: Рад. радіо, 1973. - 248 с.
  • Калашников С. Г. Електрика (Загальний курс фізики, т. 2). - Москва: Физматлит, 6-е изд., 2003. - 624 с. - ISBN 5-9221-0312-1.
  • Матвєєв А. Н. Електрика і магнетизм. - М.: Вища школа, 1983.
  • Нікольський В. В., Микільська Т. І. Електродинаміка та поширення радіохвиль. М.: Наука, 1989.
  • Пеннер Д. І., Угаров В. А. Електродинаміка і спеціальна теорія відносності. М.: Просвещение, 1980.
  • Парселл Е. Електрика і магнетизм. Берклєєвський курс фізики. Том 2. М.: Наука, 1971.
  • Сивухин Д. В. Загальний курс фізики - Вид. 3-е, испр. і доп .. - М .: Наука, 1996. - Т. III. Електрика. - 320 с. - ISBN 5-02-014054-6..
  • Тунель М. А. Основи електромагнетизму і теорії відносності. М.: ІЛ, 1962. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tonnela1962ru.djvu
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнмановские лекції з фізики. Том 5. Електрика і магнетизм. М.: Мир, 1965
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнмановские лекції з фізики. Том 6. Електродинаміка. М.: Мир, 1966

21.3.4. Курси теоретичної фізики


21.4.5. Рішення рівнянь Максвелла

  • Баландін М.Ю., Шурина Е.П. Векторний метод кінцевих елементів: Навчальний посібник - window.edu.ru/window_catalog/files/r41184/nstu145.pdf - Новосибірськ: НГТУ, 2001. - 69 с.
  • Вайнштейн Л. А. Електромагнітні хвилі. М.: Радіо і зв'язок, 1988
  • Вонсовський С. В. Магнетизм. Магнітні властивості діа-, пара-, феро-, антіферро-, і феримагнетиків. М.: Наука, 1971.
  • Гінзбург В. Л. Поширення електромагнітних хвиль у плазмі (2-е изд.). М.: Наука, 1967.
  • Сильвестер П. і Феррарі Р. Метод кінцевих елементів для радіоінженерів та інженерів-електриків - Москва: Мир, 1986. - 336 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Демон Максвелла
Гори Максвелла
Статистика Максвелла - Больцмана
Закон Ампера - Максвелла
Рівняння
Рівняння Єфименко
Пфаффово рівняння
Рівняння Ейнштейна
Рівняння Пуассона
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru