Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівняння Пуассона



План:


Введення

Рівняння Пуассона - еліптичне диференціальне рівняння в приватних похідних, яке, серед іншого, описує

  • електростатичне поле,
  • стаціонарне поле температури,
  • поле тиску,
  • поле потенціалу швидкості в гідродинаміці.

Воно названо на честь знаменитого французького фізика та математика Симеона Дені Пуассона.

Це рівняння має вигляд: \ Delta \ varphi = f,

де \ Delta - оператор Лапласа або лапласіан, а f - речова або комплексна функція на деякому різноманітті.

У тривимірній декартовій системі координат рівняння приймає форму:

\ Left (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} \ right) \ varphi (x, y, z) = f (x, y, z).

В декартовій системі координат оператор Лапласа записується у формі \ Nabla ^ 2 і рівняння Пуассона приймає вигляд:

{\ Nabla} ^ 2 \ varphi = f.

Якщо f прямує до нуля, то рівняння Пуассона перетворюється в рівняння Лапласа (рівняння Лапласа - окремий випадок рівняння Пуассона):

\ Delta \ varphi = 0.

Рівняння Пуассона може бути вирішено з використанням функції Гріна; див., наприклад, статтю екранувати рівняння Пуассона. Є різні методи для отримання чисельних рішень. Наприклад, використовується ітераційний алгоритм - "релаксаційний метод".


1. Електростатика

Рівняння Пуассона є одним з наріжних каменів електростатики. Знаходження φ для даного f - важлива практична задача, оскільки це звичайний шлях для знаходження електростатичного потенціалу для даного розподілу заряду. В одиницях системи СІ :

{\ Nabla} ^ 2 \ Phi = - {\ rho \ over \ varepsilon_0},

де \ Phi \! - Електростатичний потенціал (в вольтах), \ Rho \! - Об'ємна щільність зарядукулонах на кубічний метр), а \ Varepsilon_0 \! - діелектрична проникність вакуумуФарада на метр).

В одиницях системи СГС :

{\ Nabla} ^ 2 \ Phi = - {4 \ pi \ rho}

В області простору, де немає непарної щільності заряду, маємо:

\ Rho = 0, \,

і рівняння для потенціалу перетворюється в рівняння Лапласа :

{\ Nabla} ^ 2 \ Phi = 0.

2. Потенціал точкового заряду

Потенціал, джерелом якого служить точковий заряд,

\ Phi_q = {1 \ over 4 \ pi \ varepsilon_0} {q \ over r}

- Тобто кулонівський потенціал - є по суті (а строго кажучи при q = 1) функція Гріна

\ Phi_1 (x, y, z) = {1 \ over 4 \ pi \ varepsilon_0} {1 \ over r}

для рівняння Пуассона,

тобто рішення рівняння

\ Delta \ Phi = - {1 \ over \ varepsilon_0} \ delta (x) \ delta (y) \ delta (z) \

де \ Delta (x) - Позначення дельта-функції Дірака, а твір трьох дельта-функцій є тривимірна дельта-функція, а r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}.

У зв'язку з цим зрозуміло, що рішення рівняння Пуассона з довільною правою частиною може бути записано як

\ Phi (x, y, z) = \ int \ rho (\ xi, \ eta, \ zeta) \ Phi_1 (x-\ xi, y-\ eta, z-\ zeta) d \ xi d \ eta d \ zeta =
= \ Int {1 \ over 4 \ pi \ varepsilon_0} {\ rho (\ xi, \ eta, \ zeta) \ over \ sqrt {(x-\ xi) ^ 2, (y-\ eta) ^ 2, ( z-\ zeta) ^ 2}} d \ xi d \ eta d \ zeta.
  • Тут ми маємо на увазі найбільш простий випадок "без граничних умов", коли приймається, що на нескінченності рішення повинне прагнути до нуля. Розгляд більш загального випадку довільних граничних умов і взагалі більш детальний виклад - див. в статті Функція Гріна.
  • Фізичний зміст останньої формули - застосування принципу суперпозиції (що можливо, оскільки рівняння Пуассона лінійно) і знаходження потенціалу як суми потенціалів точкових зарядів \ Rho dV .

3. Потенціал гауссових об'ємної щільності заряду

Якщо ми маємо об'ємну сферично симетричну густину гауссового розподілу заряду \ Rho (r) :

\ Rho (r) = \ frac {Q} {\ sigma ^ 3 \ sqrt {2 \ pi} ^ 3} \, e ^ {-r ^ 2 / (2 \ sigma ^ 2)},

де Q - загальний заряд, тоді рішення Φ (r) рівняння Пуассона:

{\ Nabla} ^ 2 \ Phi = - {\ rho \ over \ varepsilon_0}

дається:

\ Phi (r) = {1 \ over 4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {Q} {r} \, \ mbox {erf} \ left (\ frac {r} {\ sqrt {2} \ sigma} \ right )

де erf (x) - функція помилок. Це рішення може бути перевірено безпосередньо обчисленням {\ Nabla} ^ 2 \ Phi . Зауважте, що для r, багато більших, ніж σ, erf (x) наближається до одиниці, і потенціал Φ (r) наближається до потенціалу точкового заряду {1 \ over 4 \ pi \ varepsilon_0} {Q \ over r} , Як і можна було очікувати.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Коефіцієнт Пуассона
Розподіл Пуассона
Дужка Пуассона
Інтеграл Пуассона
Рівняння
Рівняння Вейля
Рівняння Блоха
Рівняння Пелля
Трансцендентне рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru