Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівняння Шредінгера


Перегляд цього шаблону

План:


Введення

Рівняння Шредінгера - рівняння, що описує зміну в просторі і в часі чистого стану, що задається хвильовою функцією, в гамільтонових квантових системах. Грає в квантовій механіці таку ж важливу роль, як рівняння другого закону Ньютона в класичній механіці. Його можна назвати рівнянням руху квантової частинки. Встановлено Ервіном Шредінгер в 1926.

Рівняння Шредінгера призначене для частинок без спина, що рухаються зі швидкостями багато меншими швидкості світла. У разі швидких частинок і частинок зі спіном використовуються його узагальнення ( рівняння Клейна - Гордона, рівняння Паулі, рівняння Дірака та ін)

На початку XX століття вчені прийшли до висновку, що між пророкуваннями класичної теорії та експериментальними даними про атомну структурі існує ряд розбіжностей. Відкриття рівняння Шредінгера послідувало за революційним припущенням де Бройля, що не тільки світла, але і взагалі будь-які тіла (в тому числі і будь-яким мікрочастками) притаманні хвильові властивості.

Історично остаточному формулюванні рівняння Шредінгера передував тривалий період розвитку фізики. Воно є одним з фундаментальних законів фізики, що пояснюють фізичні явища. Квантова теорія, однак, не вимагає повної відмови від законів Ньютона, а лише визначає межі застосовності класичної фізики. Отже, рівняння Шредінгера має узгоджуватися із законами Ньютона в граничному випадку. Це підтверджується при більш глибокому аналізі теорії: якщо розмір і маса тіла стають макроскопічними і точність стеження за його координатою багато гірше стандартного квантового межі, прогнози квантової і класичної теорій збігаються, тому що невизначений шлях об'єкта стає близьким до однозначної траєкторії.


1. Формулювання

1.1. Загальний випадок

В квантовій фізиці вводиться комплекснозначних функцій \! \ Psi , Що описує чистий стан об'єкта, яка називається хвильовою функцією. У найбільш поширеною копенгагенської інтерпретації ця функція пов'язана з ймовірністю виявлення об'єкта в одному з чистих станів (квадрат модуля хвильової функції являє собою щільність ймовірності). Поведінка гамильтоновой системи в чистому стані повністю описується за допомогою хвильової функції.

Відмовившись від опису руху частинки за допомогою траєкторій, одержуваних із законів динаміки, і визначивши замість цього хвильову функцію, необхідно ввести в розгляд рівняння, еквівалентне законам Ньютона і що дає рецепт для знаходження \! \ Psi в приватних фізичних завданнях. Таким рівнянням є рівняння Шредінгера.

Нехай хвильова функція задана в N-мірному просторі, тоді в кожній точці з координатами \ Vec {r} ({x} _1, {x} _2, {x} _3, \ ldots, {x} _n) , В певний момент часу t вона буде мати вигляд \ \ Psi \ left (\ vec {r}, t \ right) . У такому випадку рівняння Шредінгера запишеться у вигляді:

- {{\ Hbar} ^ 2 \ over 2 m} {\ Delta} \ Psi (\ vec {r}, t) + {E} _p (\ vec {r}) \ Psi (\ vec {r}, t ) = i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} \ Psi (\ vec {r}, t), \ qquad (1)

де \ Hbar = {h \ over 2 \ pi} , \! h - постійна Планка; \! m - Маса частинки, \! {E} _p (\ vec {r}) - Зовнішня по відношенню до частинки потенційна енергія в точці \ Vec {r} ({x} _1, {x} _2, {x} _3, \ ldots, {x} _n) , \! \ Delta - оператор Лапласа (або лапласіан), еквівалентний квадрату оператора Набла і в n-мірної системі координат має вигляд:

\ Delta \ equiv {\ nabla} ^ {\, 2} \! = {{\ Partial} ^ 2 \ over \ partial {x} _1 ^ 2} + {{\ partial} ^ 2 \ over \ partial {x} _2 ^ 2} + {{\ partial} ^ 2 \ over \ partial {x} _3 ^ 2} + \ ldots + {{\ partial} ^ 2 \ over \ partial {x} _n ^ 2}

1.2. Випадок тривимірного простору

В тривимірному випадку псі-функція є функцією трьох координат і \! \ Delta \ Psi в декартовій системі координат заміняється виразом

\! \ Delta \ Psi = {{\ partial} ^ 2 \ Psi \ over \ partial {x} ^ 2} + {{\ partial} ^ 2 \ Psi \ over \ partial {y} ^ 2} + {{\ partial} ^ 2 \ Psi \ over \ partial {z} ^ 2},

тоді рівняння Шредінгера прийме вигляд:

- {{\ Hbar} ^ 2 \ over 2 m} \ left ({{\ partial} ^ 2 \ Psi \ over \ partial {x} ^ 2} + {{\ partial} ^ 2 \ Psi \ over \ partial { y} ^ 2} + {{\ partial} ^ 2 \ Psi \ over \ partial {z} ^ 2} \ right) + {E} _p (x, y, z) \ Psi = i \ hbar {\ partial \ Psi \ over \ partial t},

де \ Hbar = {h \ over 2 \ pi} , \! h - постійна Планка; \! m - Маса частинки, \! {E} _p (x, y, z) - Потенційна енергія в точці \! (X, y, z)


1.3. Стаціонарне рівняння Шредінгера

Форма рівняння Шредінгера показує, що відносно часу його рішення має бути простим, оскільки час входить в це рівняння лише через першу похідну в правій частині. Дійсно, приватне рішення для спеціального випадку, коли \! {E} _p не є функцією часу, можна записати у вигляді:

\! \ Psi (\ vec {r}, t) = \ psi (\ vec {r}) {e} ^ {- i E t / \ hbar}, \ qquad (2)

де функція \! \ Psi (\ vec {r}) повинна задовольняти рівнянню:

\! - {{\ Hbar} ^ 2 \ over 2 m} \ Delta \ psi (\ vec {r}) + {E} _p (\ vec {r}) \ psi (\ vec {r}) = E \ psi ( \ vec {r}), \ qquad (3)

яке виходить з рівняння Шредінгера (1) при підстановці в нього зазначеної вище формули для \! \ Psi (2). Зауважимо, що це рівняння взагалі не містить часу; у зв'язку з цим воно називається стаціонарним рівнянням Шредінгера (рівняння Шредінгера, що не містить часу).

Вираз (2) є лише приватним рішенням залежного від часу рівняння Шредінгера (1), загальне рішення являє собою лінійну комбінацію всіх приватних рішень виду (2). Залежність функції \! \ Psi (\ vec {r}, t) від часу проста, але залежність її від координати не завжди має елементарний вид, так як рівняння (3) при одному виборі виду потенційної функції \! {E} _p (\ vec {r}) абсолютно відрізняється від того ж рівняння при іншому виборі цієї функції. В дійсності, рівняння (3) може бути вирішено аналітично лише для невеликого числа приватних типів функції \! {E} _p (\ vec {r}) .

Важливе значення має інтерпретація величини \! E в рівнянні (2). Вона проводиться таким шляхом: тимчасова залежність функції \! \ Psi (\ vec {r}, t) в рівнянні (2) має експонентний характер, причому коефіцієнт при \! t в показнику експоненти обраний так, що права частина рівняння (3) містить просто постійний множник \! E . У лівій же частині рівняння (3) функція \! \ Psiмножиться на потенційну енергію \! {E} _p (\ vec {r}) . Отже, з міркувань розмірності випливає, що величина \! E повинна мати розмірність енергії. Єдиною величиною з розмірністю енергії, яка постійна в механіці, є повна (сохраняющаяся) енергія системи; таким чином, можна припускати, що \! E являє собою повну енергію. Згідно фізичної інтерпретації рівняння Шредінгера, \! E дійсно є повною енергією частинки при русі, описуваному функцією \! \ Psi (\ vec {r}, t) .


Література

  • Березін Ф. А., Шубін М. А. Рівняння Шредінгера. М .: Изд-во МГУ, 1983. 392с.

Примітки


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Подання Шредінгера
Кіт Шредінгера
Рівняння
Хвильове рівняння
Диофантово рівняння
Пфаффово рівняння
Рівняння Ейнштейна
Рівняння Пуассона
Рівняння Гамільтона
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru