Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівняння дифузії


BernoullisLawDerivationDiagram.svg

План:


Введення

Рівняння дифузії або рівняння теплопровідності являє собою окремий вид диференціального рівняння в приватних похідних. Буває нестаціонарним і стаціонарним.

Математично рівняння дифузії і рівняння теплопровідності не розрізняються, і застосування того чи іншого назви обмежене тільки конкретним додатком, причому друге видається більш приватним, так як можна говорити, що в цьому випадку мова йде про дифузії теплової енергії.

У сенсі інтерпретації при вирішенні рівняння дифузії мова йде про знаходження залежності концентрації речовини (чи інших об'єктів) від просторових координат і часу, причому заданий коефіцієнт (в загальному випадку також залежить від просторових координат і часу), що характеризує проникність середовища для дифузії. При вирішенні рівняння теплопровідності мова йде про знаходження залежності температури середовища від просторових координат і часу, причому задана теплоємність і теплопровідність середовища (також в загальному випадку неоднорідної).

Фізично в тому і в іншому випадку передбачається відсутність або нехтує макроскопічних потоків речовини. Такі фізичні рамки застосовності цих рівнянь. Також, представляючи безперервний межа зазначених завдань (тобто не більше, ніж деяке наближення), рівняння дифузії і теплопровідності в загальному не описують статистичних флуктуацій і процесів, близьких за масштабом до довжини і часу вільного пробігу, також досить сильно відхиляючись від передбачуваного точного рішення задачі в тому, що стосується кореляцій на відстанях, порівнянних (і великих) з відстанями, прохідними звуком (або вільними від опору середовища частинками при їх характерних швидкостях) в даному середовищі за розглядається час.

Це в переважній частині випадків відразу ж означає і те, що рівняння дифузії і теплопровідності по області застосування далекі від тих областей, де стають істотними квантові ефекти або кінцівку швидкості світла, тобто в переважній частині випадків не тільки за своїм висновку, а й принципово, обмежуються областю класичної ньютонівської фізики.

  • Найближчим формальним, а багато в чому і змістовним, аналогом рівняння дифузії є рівняння Шредінгера, що відрізняється від рівняння дифузії множником уявна одиниця перед похідною за часом. Багато теореми про рішення рівняння Шредінгера і навіть деякі види формальної записи його рішень прямо аналогічні відповідним теоремам про зрівняння дифузії і його рішеннях, проте якісно їх вирішення різняться дуже сильно.

1. Нестаціонарне рівняння

Нестаціонарне рівняння дифузії класифікується як параболічне диференціальне рівняння. Воно описує поширення розчиняється речовини внаслідок дифузії або перерозподіл температури тіла в результаті теплопровідності.

1.1. Одновимірна випадок

У разі одновимірного дифузійного процесу з коефіцієнтом дифузії (теплопровідності) D рівняння має вигляд:

\ Frac {\ partial} {\ partial t} c (x, \; t) = \ frac {\ partial} {\ partial x} D \ frac {\ partial} {\ partial x} {c (x, \; t)} + f (x, \; t).

При постійному D набуває вигляду:

\ Frac {\ partial} {\ partial t} c (x, \; t) = D \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} {c (x, \; t)} + f (x , \; t),

де c (x, \; t) - Концентрація дифундують речовини, a f (x, \; t) - Функція, що описує джерела речовини (тепла).


1.2. Тривимірний випадок

У тривимірному випадку рівняння набуває вигляду:

\ Frac {\ partial} {\ partial t} c (\ vec {r}, \; t) = (\ nabla, \; D \ nabla c (\ vec {r}, \; t)) + f (\ vec {r}, \; t),

де \ Nabla = (\ partial_x, \; \ partial_y, \; \ partial_z) - оператор Набла, а (\;, \ ;) - Скалярний твір. Воно також може бути записано як

\ Partial_t c = \ mathbf {div} \, (D \, \ mathbf {grad} \, c) + f,

а при постійному D набуває вигляду:

\ Frac {\ partial} {\ partial t} c (\ vec {r}, \; t) = D \ Delta c (\ vec {r}, \; t) + f (\ vec {r}, \; t),

де \ Delta = \ nabla ^ 2 = \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} - оператор Лапласа.


n-мірний випадок

n -Мірний випадок - пряме узагальнення наведеного вище, тільки під оператором Набла, градієнтом і дивергенцією, а також під оператором Лапласа треба розуміти n -Мірні версії відповідних операторів:

\ Nabla = (\ partial_1, \; \ partial_2, \; \ ldots, \; \ partial_n),
\ Delta = \ nabla ^ 2 = \ partial_1 ^ 2 + \ partial_2 ^ 2 + \ ldots + \ partial_n ^ 2.

Це стосується і двовимірного випадку n = 2 .


1.4. Мотивування

1.4.1. A.

Зазвичай рівняння дифузії виникає з емпіричного (або якось теоретично отриманого) рівняння, який стверджує пропорційність потоку речовини (або теплової енергії) різниці концентрацій (температур) областей, розділених тонким шаром речовини заданої проникності, яка характеризується коефіцієнтом дифузії (або теплопровідності):

\ Phi = \ varkappa \ frac {\ partial c} {\ partial x} (Одновимірний випадок),
\ Mathbf j = \ varkappa \ nabla c (Для будь-якої розмірності),

в поєднанні з рівнянням безперервності, що виражає збереження речовини (або енергії):

\ Frac {\ partial c} {\ partial t} + \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x} = 0 (Одновимірний випадок),
\ Frac {\ partial c} {\ partial t} + \ mathrm {div} \, \ mathbf j = 0 (Для будь-якої розмірності),

з урахуванням у разі рівняння теплопровідності ще теплоємності (температура = щільність енергія / питома теплоємність).

  • Тут джерело речовини (енергії) в правій частині опущений, але він, звичайно ж, може бути легко туди поміщений, якщо в задачі є приплив (відплив) речовини (енергії).

1.4.2. B.

Крім того, воно природно виникає як безперервний межа аналогічного різницевого рівняння, що виникає в свою чергу при розгляді задачі про випадковий блуканні на дискретної решітці (одномірної або n -Мірної). (Це найпростіша модель; в більш складних моделях випадкових блукань рівняння дифузії також виникає в безперервному межі). Найпростішою інтерпретацією функції c в цьому випадку служить кількість (або концентрація) часток в даній точці (або поблизу неї), причому кожна частинка рухається незалежно від інших без пам'яті (інерції) свого минулого (в дещо більш складному випадку - з обмеженою за часом пам'яттю).


1.5. Рішення

В одновимірному випадку фундаментальне рішення однорідного рівняння з постійним - не залежить від x і t - D (При початковому умови, що виражається дельта-функцією c_f (x, \; 0) = \ delta (x) і граничному умови c_f (\ infty, \; t) = 0 ) Є

c_f (x, \; t) = \ sqrt {\ frac {1} {4 \ pi Dt}} \ exp \ left (- \ frac {x ^ 2} {4Dt} \ right).

В цьому випадку c_f (x, \; t) можна інтерпретувати як щільність ймовірності того, що одна частинка, що знаходилася в початковий момент часу у вихідному пункті, через час t перейде в пункт з координатою x . Те ж саме - з точністю до множника, рівного кількості дифундують частинок - відноситься до їх концентрації, за умови відсутності або нехтує взаємодії дифундують частинок між собою. Тоді (при таких початкових умовах) середній квадрат видалення дифундують частинок (або відповідна характеристика розподілу температури) від початкової точки

\ Langle x ^ 2 \ rangle = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x ^ 2 c_f (x, \; t) \, dx = 2Dt.


У разі довільного початкового розподілу c (x, \; 0) спільне рішення рівняння дифузії представляється в інтегральному вигляді як згортка :

Dt}} \ exp \ left (- \ frac {(x-x ') ^ 2} {4Dt} \ right) \, dx'.

1.6. Фізичні зауваження

Так як наближення, що реалізовується рівняннями дифузії і теплопровідності, принципово обмежується областю низьких швидкостей і макроскопічних масштабів (див. вище), то не дивно, що їх фундаментальне рішення на великих відстанях поводиться не надто реалістично, формально допускаючи нескінченне поширення впливу в просторі за кінцевий час ; треба при цьому зауважити, що величина цього впливу так швидко зменшується з відстанню, що цей ефект як правило в принципі неспостережний (наприклад, мова йде про концентраціях багато менше одиниці).

Втім, якщо мова йде про ситуації, коли можуть бути експериментально виміряні настільки маленькі концентрації, і це для нас суттєво, потрібно користуватися щонайменше не диференціальним, а різницевим рівнянням дифузії, а краще - і більш докладними мікроскопічної фізичної та статистичної моделями, щоб отримати більш адекватне уявлення про реальність в цих випадках.


2. Стаціонарне рівняння

У випадку, коли ставиться завдання по знаходженню усталеного розподілу щільності або температури (наприклад, у випадку, коли розподіл джерел не залежить від часу), з нестаціонарного рівняння викидають члени рівняння, пов'язані з часом. Тоді виходить стаціонарне рівняння теплопровідності, що відноситься до класу еліптичних рівнянь. Його загальний вигляд:

- (\ Nabla, \; D \ nabla c (\ vec {r})) = f (\ vec {r}).
\ Delta c (\ vec {r}) = - \ frac {f (\ vec {r})} {D},
\ Delta c (\ vec {r}) = 0.

3. Постановка крайових задач

  • Завдання з початковими умовами ( задача Коші) про розподіл температури на нескінченній прямій

Якщо розглядати процес теплопровідності в дуже довгому стрижні, то протягом невеликого проміжку часу вплив температур на кордонах практично відсутня, і температура на даній ділянці залежить лише від початкового розподілу температур.

Знайти рішення рівняння теплопровідності в області - \ Infty \ leqslant x \ leqslant + \ infty і t \ geqslant t_0 , Що задовольняє умові u (x, \; t_0) = \ varphi (x) \ quad (- \ infty <x <+ \ infty) , Де \ Varphi (x) - Задана функція.

  • Перша крайова задача для полубесконечной стержня

Якщо нас цікавить ділянка стержня знаходиться поблизу одного кінця і значно віддалений від іншого, то ми приходимо до крайової задачі, в якій враховується вплив лише одного з крайових умов.

Знайти рішення рівняння теплопровідності в області - \ Infty \ leqslant x \ leqslant + \ infty і t \ geqslant t_0 , Що задовольняє умовам

\ Left \ {\ begin {array} {l} u (x, \; t_0) = \ varphi (x), \ quad (0 <x <\ infty) \ \ u (0, \; t) = \ mu (t), \ quad (t \ geqslant t_0) \ end {array} \ right.

де \ Varphi (x) і \ Mu (t) - Заданнние функції.

  • Крайова задача без початкових умов

Якщо момент часу який нас цікавить досить віддалений від початкового, то має сенс знехтувати початковими умовами, оскільки їх вплив на процес з часом слабшає. Таким чином, ми приходимо до задачі, в якій задані крайові умови і відсутні початкові.

Знайти рішення рівняння теплопровідності в області 0 \ leqslant x \ leqslant l і - \ Infty <t , Що задовольняє умовам

\ Left \ {\ begin {array} {l} u (0, \; t) = \ mu _1 (t), \ \ u (l, \; t) = \ mu _2 (t), \ end {array } \ right.

де \ Mu_1 (t) і \ Mu_2 (t) - Заданнние функції.

  • Крайові задачі для обмеженого стержня

Розглянемо наступну крайову задачу:

u_t = a ^ 2 u_ {xx} + f (x, \; t), \ quad 0 <x <l, \; 0 <t \ leqslant T - Рівняння теплопровідності.

Якщо f (x, \; t) = 0 , То таке рівняння називають однорідним, у противному випадку - неоднорідним.

u (x, \; 0) = \ varphi (x), \ quad 0 \ leqslant x \ leqslant l - начальное условие в момент времени t=0, температура в точке x задается функцией \varphi(x) .
\left.\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t), \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T - краевые условия. Функции \mu_1(t) і \mu_2(t) задают значение температуры в граничных точка 0 и l в любой момент времени t .

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ( \alpha_i^2+\beta_i^2\ne 0,\;(i=1,\;2) ).

\begin{array}{l} \alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ \alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t). \end{array}

Якщо \alpha_i=0,\;(i=1,\;2), то такое условие называют условием первого рода, если \beta_i=0,\;(i=1,\;2) - второго рода, а если \alpha_i і \beta_i отличны от нуля, то условием третьего рода. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.


4. Способы решения уравнений теплопроводности

Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.

4.1. Метод разделения переменных(Метод Фурье)

4.1.1. Однородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями

Рассмотрим следующую задачу

\begin{array}{l} u_t=a^2 u_{xx},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T \\ u(x,\;0)=\varphi(x);\quad 0\leqslant x\leqslant l \\ \left.\begin{array}{l} u(0,\;t)=0, \\ u(l,\;t)=0. \\ \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T \\ \end{array}

Требуется найти функцию u(x,\;t) для \forall(x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T .

Представим искомую функцию в виде произведения

u(x,\;t)=X(x)T(t).

Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим

X(x)T'(t)=a^2 X''(x)T(t).

Разделим выражение на a^2 X(x)T(t) :

\frac{1}{a^2}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\;\lambda=\mathrm{const}.

Так як в лівій частині рівняння у нас знаходиться функція залежить тільки від t , А в правій - тільки від x , То, фіксуючи будь-яке значення x в правій частині, одержуємо, що для будь-якого t значення лівої частини рівняння постійно. Таким же чином можна переконатися, що і права частина постійна, тобто дорівнює якоїсь константі - \ Lambda (Мінус взятий для зручності). Таким чином, ми отримуємо два звичайних лінійних диференціальних рівняння:

\ Begin {array} {l} X'' (x) + \ lambda X (x) = 0, \ \ T '(t) + a ^ 2 \ lambda T (t) = 0. \ End {array}

Звернемо увагу на граничні умови вихідної задачі і підставимо в них передбачуваний вид рівняння, отримаємо:

\ Begin {array} {l} u (0, \; t) = X (0) T (t) = 0, \ \ u (l, \; t) = X (l) T (t) = 0, \ end {array}

звідки X (0) = X (l) = 0 ( T (t) \ ne 0 , Так як в противному випадку ми мали б рішення u (x, \; t) = 0 , А ми шукаємо тільки нетривіальні рішення).

З урахуванням отриманих граничних умов ми отримуємо задачу Штурма - Ліувілля :

\ Begin {array} {l} X'' (x) + \ lambda X (x) = 0; \ \ X (0) = 0, \ \ X (l) = 0. \ \ \ End {array}

Її рішення зводиться до вирішення лінійного диференціального рівняння і розгляду трьох випадків:

  1. \ Lambda <0.
    В цьому випадку загальний вид рішення буде наступним:
    X (x) = C_1 e ^ {\ sqrt {- \ lambda} x} + C_2 e ^ {- \ sqrt {- \ lambda} x}.
    Підставивши граничні умови, ми переконаємося, що рішення буде X (x) \ equiv 0 , А ми шукаємо тільки нетривіальні рішення, отже, цей випадок не підходить.
  2. \ Lambda = 0.
    Загальний вид рішення
    X (x) = C_1 x + C_2.
    Нескладно переконатися, що цей варіант нам також не підходить.
  3. \ Lambda> 0.
    Загальний вид рішення
    X (x) = C_1 \ cos (\ sqrt \ lambda x) + C_2 \ sin (\ sqrt \ lambda x).
    Підставимо граничні умови:
    \ Begin {array} {l} X (0) = C_1 = 0, \ \ X (l) = C_2 \ sin (\ sqrt \ lambda l) = 0. \ End {array}
    Так як ми шукаємо тільки нетривіальні рішення, C_2 = 0 нам не підходить, отже
    \ Begin {array} {l} \ sin (\ sqrt \ lambda l) = 0, \ \ \ sqrt \ lambda l = \ pi n, \ quad n = 1, \; 2, \; \ ldots \ \ \ end {array}
    \ Lambda_n = \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2, \ quad n = 1, \; 2, \; \ ldots
    Звідси
    X_n (x) = C_n \ sin \ left (\ frac {\ pi n} {l} x \ right), \; \ quad n = 1, \; 2, \; \ ldots

C урахуванням знайдених \ Lambda , Виведемо загальне рішення лінійного диференціального рівняння

T '(t) + a ^ 2 \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 T (t) = 0.

Повинен вийти відповідь

T_n (t) = D_n \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right), \ quad D_n = \ mathrm {const}.

Тепер все готово для того, щоб записати рішення вихідної завдання:

u_n (x, \; t) = X_n (x) T_n (t) = C_n \ sin \ left (\ frac {\ pi n} {l} x \ right) \ exp \ left (-a ^ 2 \ left ( \ frac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right), \ quad n = 1, \; 2, \; \ ldots

В результаті у нас вийшло нескінченну кількість приватних рішень рівняння. Всі ці приватні рішення лінійно незалежні, тобто лінійна комбінація будь-якої кількості рішень дорівнює нулю, тільки якщо всі коефіцієнти при них дорівнюють нулю. Тому логічно припустити, що підсумовуючи всі приватні рішення по n від одиниці до нескінченності, ми отримаємо спільне рішення вихідної завдання.

u (x, \; t) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty u_n (x) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty C_n \ sin \ left (\ frac {\ pi n } {l} x \ right) \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right).

Залишилося визначити значення константи C (Залежить від n ) З початкової умови

u (x, \; 0) = \ varphi (x).

Для того, щоб визначити значення C_n , Необхідно розкласти функцію \ Varphi (x) в ряд Фур'є :

\ Begin {array} {l} \ varphi (x) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty A_n \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} x \ right), \ \ A_n = \ dfrac {2} {l} \ displaystyle \ int \ limits_0 ^ l \ varphi (\ xi) \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ xi \ right) \, d \ xi. \ End {array}

Отримуємо:

\ Begin {array} {l} u (x, \; 0) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty C_n \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} x \ right) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty A_n \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} x \ right), \ \ C_n = A_n = \ dfrac {2} {l} \ displaystyle \ int \ limits_0 ^ l \ varphi (\ xi) \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ xi \ right) \, d \ xi. \ End {array}

Звідки спільне рішення:

u (x, \; t) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty \ left (\ dfrac {2} {l} \ int \ limits_0 ^ l \ varphi (\ xi) \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ xi \ right) \, d \ xi \ right) \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} x \ right) \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right).

В курсі математичної фізики доводиться, що отриманий ряд задовольняє всім умовам даної задачі, то є функція u (x, \; t) дифференцируема (і ряд сходиться рівномірно), задовольняє рівнянню в області визначення і неперервна в точках межі цієї області.


4.1.2. Неоднорідне рівняння теплопровідності з однорідними граничними умовами

Розглянемо спосіб вирішення неоднорідного рівняння:

\ Begin {array} {l} u_t = a ^ 2 u_ {xx} + f (x, \; t), \ quad 0 <x <l, \; 0 <t \ leqslant T \ \ u (x, \ ; 0) = 0; \ quad 0 \ leqslant x \ leqslant l \ \ \ left. \ begin {array} {l} u (0, \; t) = 0, \ \ u (l, \; t) = 0. \ \ \ End {array} \ right \} \ quad 0 \ leqslant t \ leqslant T \ end {array}

Нехай

\ Begin {array} {l} u_n (x, \; t) = X_n (x) T_n (t), \ \ f_n (x, \; t) = X_n (x) F_n (t), \ \ X_n ( x) = \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} x \ right). \ End {array}

Тоді, користуючись очевидним співвідношенням X'' _n (x) = - \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 X_n (x) , Перепишемо вихідне рівняння як:

\ Begin {array} {l} X_n (x) T'_n (t) =-a ​​^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 X_n (x) T_n (t) + X_n (x) F_n (t), \ \ T'_n (t) =-a ​​^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 T_n (t) + F_n (t). \ End {array}

Вирішимо останнє лінійне неоднорідне рівняння методом варіації постійної. Спочатку знайдемо спільне рішення однорідного лінійного рівняння

\ Begin {array} {l} T'_n (t) =-a ​​^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 T_n (t), \ \ T_n (t) = D \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right). \ End {array}

Загалом вирішенні замінимо постійну D на змінну D (t) і підставимо у вихідне рівняння.

\ Begin {array} {l} T_n (t) = D (t) \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right), \ \ D'_n (t) \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right)-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right) D_n (t) =-a ​​^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right) D_n (t) + F_n (t), \ \ D'_n (t) \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right) = F_n (t), \ \ D_n (t) = \ displaystyle \ int F_n (t) \ exp \ left (a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right) \ , dt + A_n, \ \ T_n (t) = A_n \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right) + \ exp \ left ( -a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right) \ displaystyle \ int F_n (t) \ exp \ left (a ^ 2 \ left (\ dfrac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 t \ right) \, dt. \ End {array}

З початкової умови отримуємо:

\ Begin {array} {l} u_n (x, \; 0) = X_n (x) T_n (0) = 0, \ \ T_n (0) = 0. \ End {array}

З урахуванням умови для T , Отримуємо

T_n (t) = \ int \ limits_0 ^ t \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 (t-\ tau) \ right) F_n (\ tau) \, d \ tau.

Так як

f_n (x, \; t) = X_n (x) F_n (t) = \ sin \ left (\ frac {\ pi n} {l} x \ right) F_n (t),

то F_n (t) , Очевидно, є коефіцієнтом ряду Фур'є, і дорівнює

F_n (t) = \ frac {2} {l} \ int \ limits_0 ^ lf (\ xi, \; t) \ sin \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ xi \ right) \, d \ xi.

В результаті, загальна формула така:

u (x, \; t) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty X_n (x) T_n (t) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty \ left [\ int \ limits_0 ^ t \ exp \ left (-a ^ 2 \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ right) ^ 2 (t-\ tau) \ right) \ left \ {\ frac {2} {l} \ int \ limits_0 ^ lf (\ xi, \; \ tau) \ sin \ left (\ frac {\ pi n} {l} \ xi \ right) \, d \ xi \ right \} \, d \ tau \ right ] \ sin \ left (\ frac {\ pi n} {l} x \ right).

4.1.3. Загальна перша крайова задача

У багатьох випадках вдається вирішити рівняння теплопровідності з неоднорідними крайовими і початковою умовами

\ Begin {array} {l} u_t = a ^ 2 u_ {xx} + f (x, \; t), \ \ u (x, \; 0) = \ varphi (x), \ \ u (0, \; t) = \ mu_1 (t), \ \ u (l, \; t) = \ mu_2 (t) \ end {array}

за допомогою методів, описаних вище і наступного нескладного прийому. Уявімо шукану функцію у вигляді суми:

\ Begin {array} {l} u (x, \; t) = \ tilde u (x, \; t) + U (x, \; t), \ \ \ tilde u (x, \; 0) = u (x, \; 0)-U (x, \; 0) = \ varphi (x)-U (x, \; 0), \ \ \ tilde u (0, \; t) = 0, \ \ \ tilde u (l, \; t) = 0. \ End {array}

Знайдемо функцію U (x, \; t) :

\ Begin {array} {l} U (x, \; t) = Ax + b, \ \ U (0, \; t) = b = \ mu_1 (t), \ \ U (l, \; t) = Al + \ mu_1 = \ mu_2 \ Rightarrow A = \ dfrac {\ mu _2 (t) - \ mu_1 (t)} {l}, \ \ U (x, \; t) = \ dfrac {\ mu_2 (t) - \ mu_1 (t)} {l} x + \ mu_1 (t). \ End {array}

Таким чином, вихідна задача звелася до наступного:

\ Begin {array} {l} \ tilde u_t = a ^ 2 \ tilde u_ {xx} + f (x, \; t) - \ dfrac {\ mu'_2 (t) - \ mu'_1 (t)} {l} x-\ mu'_1 (t), \ \ \ tilde u (x, \; 0) = \ varphi (x) - \ dfrac {\ mu_2 (0) - \ mu_1 (0)} {l} x-\ mu_1 (0), \ \ \ tilde u (0, \; t) = 0, \ \ \ tilde u (l, \; t) = 0. \ End {array}

Після того, як ми знайдемо функцію \ Tilde u (x, \; t) , Шукану функцію знайдемо за формулою

u (x, \; t) = \ tilde u (x, \; t) + \ frac {\ mu_2-\ mu_1} {l} x + \ mu_1.

5. Принцип максимуму

Нехай функція u (x, \; t) в просторі D \ times [0, \; T], \; D \ in \ R ^ n , Задовольняє однорідному рівнянню теплопровідності \ Frac {\ partial u} {\ partial t}-a ^ 2 \ Delta u = 0 , Причому D - Обмежена область. Принцип максимуму стверджує, що функція u (x, \; t) може приймати екстремальні значення або в початковий момент часу, або на кордоні області D .



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Рівняння
Рівняння Єфименко
Хвильове рівняння
Диофантово рівняння
Пфаффово рівняння
Рівняння Ейнштейна
Рівняння Пуассона
Рівняння Гамільтона
Змішане рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru