Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Рівняння неперервності



План:


Введення

Нижче наведені приклади рівнянь безперервності, які виражають однакову ідею безперервної зміни деякої величини. Рівняння неперервності - (сильна) локальна форма законів збереження.


1. Електромагнетизм

В електродинаміці рівняння безперервності виводиться з рівнянь Максвелла. Воно стверджує, що дивергенція щільності струму дорівнює зміні щільності заряду зі знаком мінус,

\ Operatorname {div} \ mathbf {j} + {\ partial \ rho \ over \ partial t} = 0

1.1. Висновок

Закон Ампера говорить

\ Operatorname {rot} \ mathbf {H} = \ mathbf {j} + {\ partial \ mathbf {D} \ over \ partial t}.

Взявши дивергенцію від обох частин висловлювання, одержимо

\ Operatorname {div} \ operatorname {rot} \ mathbf {H} = \ operatorname {div} \ mathbf {j} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ operatorname {div} \ mathbf {D} ,

але дивергенція ротора дорівнює нулю, таким чином

\ Operatorname {div} \ mathbf {j} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ operatorname {div} \ mathbf {D} = 0

За теоремі Гауса

\ Operatorname {div} \ mathbf {D} = \ rho. \,

Підставляючи цей вираз в попереднє рівняння, отримуємо дані рівняння безперервності.


1.2. Інтерпретація

Щільність струму - це рух зарядів. Рівняння безперервності свідчить, що якщо заряд йде з диференціального обсягу (тобто дивергенція щільності струму позитивна), тоді кількість заряду усередині об'єму зменшується. У цьому випадку швидкість зміни щільності заряду негативна.

2. Теорія хвиль

У теорії хвиль рівняння безперервності виражає собою закон збереження енергії в елементарному обсязі, в якому поширюються хвилі будь-якої природи. Його диференціальна форма

\ Operatorname {div} \ mathbf {j} + \ frac {\ partial w} {\ partial t} = 0

де \ Mathbf {j} = \ mathbf {j} (x, y, z, t) - Вектор щільності потоку енергії в точці з координатами \ Left (x, y, z \ right) в момент часу \, T , \, W = w (x, y, z, t) - Щільність енергії.


2.1. Висновок

За визначенням, вектор щільності потоку енергії - це вектор, модуль якого дорівнює енергії, яку переносять через одиничну площадку, перпендикулярну напрямку перенесення енергії, за одиницю часу, тобто j = \ frac {dW} {dtdS_ {\ bot}} , А напрямок його збігається з напрямком переносу енергії. Тоді енергія, витікаюча в одиницю часу з деякого макроскопічного обсягу V,

\ Oint \ limits_ {S} {\ mathbf {j} d \ mathbf {S}} = \ frac {dW_ {out}} {dt}

За законом збереження енергії \ Frac {dW_ {out}} {dt} =- \ frac {dW_ {in}} {dt} , Де W i n - Енергія, яка перебуває в обсязі V. За визначенням, щільність енергії - енергія одиниці об'єму, тоді повна енергія, укладена в даному обсязі, дорівнює

W_ {in} = \ int \ limits_ {V} {wdV}

Тоді вираз для потоку енергії набуде вигляду

w} {\ partial t} dV}

Застосовуючи формулу Гаусса-Остроградського до лівої частини висловлювання, одержимо

\ Int \ limits_ {V} {\ operatorname {div} \ mathbf {j} dV} =- \ int \ limits_ {V} {\ frac {\ partial w} {\ partial t} dV}

В силу довільності вибраного обсягу, укладаємо що подинтегральних вирази дорівнюють, звідки і отримуємо диференціальну форму рівняння безперервності.


3. Гідродинаміка

В гідродинаміці рівняння безперервності називають рівнянням нерозривності. Воно уособлює закон збереження маси в елементарному обсязі, тобто безперервність потоку рідини чи газу. Його диференціальна форма

\ Frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ operatorname {div} \ rho \ mathbf {v} = \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ rho \ operatorname {div} \, \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ operatorname {grad} \ rho = 0 ,

де \ Rho = \ rho \ left (x, y, z, t \ right) - Щільність рідини (або газу), \ Mathbf {v} = \ mathbf {v} \ left (x, y, z, t \ right) - Вектор швидкості рідини (або газу) в точці з координатами \ Left (x, y, z \ right) в момент часу \, T .

Вектор \ Mathbf {j} = \ rho \ mathbf {v} називають щільністю потоку рідини. Його напрямок збігається з напрямком течії рідини, а абсолютна величина визначає кількість речовини, що протікає в одиницю часу через одиницю площі, розташовану перпендикулярно вектору швидкості.

Для нестискуваних рідин \, \ Rho = \ operatorname {const} . Тому рівняння приймає вид

\ Operatorname {div} \, \ mathbf {v} = 0 ,

з чого слід соленоідального поля швидкості.


4. Квантова механіка

У нерелятивистской квантової механіки збереження імовірності також призводить до рівняння безперервності. Нехай P (x, t) - щільність ймовірності, тоді рівняння запишеться у вигляді

\ Operatorname {div} \ mathbf {j} + \ frac {\ partial} {\ partial t} P (x, t) = 0

де j - струм ймовірності.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Рівняння
Хвильове рівняння
Диофантово рівняння
Пфаффово рівняння
Рівняння Ейнштейна
Рівняння Пуассона
Рівняння Гамільтона
Трансцендентне рівняння
Змішане рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru