Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Різницева схема



План:


Введення

Різницева схема - це кінцева система алгебраїчних рівнянь, поставлена ​​у відповідність небудь диференціальної задачі, що містить диференціальне рівняння і додаткові умови (наприклад крайові умови та / або початковий розподіл). Таким чином, різницеві схеми застосовуються для зведення диференціальної задачі, що має континуальний характер, до кінцевої системі рівнянь, чисельне вирішення яких принципово можливе на обчислювальних машинах. Алгебраїчні рівняння, поставлені у відповідність диференціальному рівнянню виходять застосуванням різницевого методу, що відрізняє теорію різницевих схем від інших чисельних методів рішення диференціальних завдань (наприклад проекційних методів, таких як метод Гальоркіна).

Рішення різницевої схеми називається наближеним рішенням диференціальної задачі.

Хоча формальне визначення не накладає суттєвих обмежень на вид алгебраїчних рівнянь, але на практиці має сенс розглядати тільки ті схеми, які будь-яким чином відповідають диференціальної задачі. Важливими поняттями теорії різницевих схем є поняття збіжності, апроксимації, стійкості, консервативності.


1. Апроксимація

Кажуть, що диференціальний оператор L (u) , Визначений на функціях u , Заданих в області D \ subset \ mathbb {R} ^ N , Апроксимується на деякому класі функцій u \ in U звичайно-різницевим оператором R_h (u_h) , Певним на функціях u_h , Заданих на сітці, залежною від кроку h , Якщо

| | L (u) - R_h (u_h) | | \ to 0, \ \ h \ to 0 \ \ \ (\ forall u \ in U).

Кажуть, що апроксимація має порядок k , Якщо

| | L (u) - R_h (u_h) | | \ le h ^ k M, \ \ h \ to 0 \ \ \ (\ forall u \ in U),

де M - Константа, залежна від конкретної функції u \ in U , Але не залежна від кроку h . Норма, використана вище, може бути різною, і поняття апроксимації залежить від її вибору. Часто використовується дискретний аналог норми рівномірної неперервності :

| | U_h | | = \ max_ {n} | u_h (x_n) |,

іноді використовуються дискретні аналоги інтегральних норм [1] [2].

Приклад. Апроксимація оператора L (u) = u_ {xx} звичайно-різницевим оператором

R_h (u_h) (x_n) = \ frac {u_ {n +1}-2u_ {n} + u_ {n-1}} {h ^ 2}, \ quad u_ {i} = u (x_ {i}) , \ quad x_ {i +1} = x_ {i} + h,

на обмеженому інтервалі D \ subset \ mathbb {R} має другий порядок на класі гладких функцій \, U = C ^ 4 (D) .

Доказ

За допомогою формули Тейлора

u_ {n \ pm 1} = u_n \ pm h u_x (x_n) + \ frac {h ^ 2} {2} u_ {xx} (x_n) \ pm \ frac {h ^ 3} {3!} u_ {xxx } (x_n) + \ frac {h ^ 4} {4!} u_ {xxxx} (x_n + \ xi_ {\ pm}), \ quad \ xi_ {\ pm} \ in (x_n, x_n \ pm h),

виходить оцінка:

\ Bigl | u_ {xx} (x_n) - R_h (u_h) (x_n) \ bigr | = \ frac {1} {h ^ 2} \, \ bigl | u_ {n +1} - 2u_ {n} + u_ {n-1} - h ^ 2 u_ {xx} (x_n) \ bigr | = \ frac {h ^ 2} {4!} \, \ Bigl | u_ {xxxx} (x_n + \ xi_ {+}) + u_ {xxxx} (x_n + \ xi_ {-}) \ Bigr | \ le \ frac {h ^ 2} {4!} \, C,

де константа

C = 2 \ sup \ limits_ {x \ in D} | u_ {xxxx} (x) | <\ infty.

Звичайно-різницева задача апроксимує диференціальну задачу, і апроксимація має порядок k , Якщо й саме диференціальне рівняння, і граничні (і початкові) умови апроксимуються відповідними звичайно-різницевим операторами, і апроксимації мають порядок k .

Приклад. Апроксимація рівняння теплопровідності u_ {t}-u_ {xx} = 0 звичайно-різницевим рівнянням R_h (u_h) = 0 , Де

R_h (u_h) (t_m, x_n) = \ frac {u_n ^ {m +1} - u_n ^ {m}} {\ Delta t} - \ frac {u_ {n +1} ^ m-2u_ {n} ^ m + u_ {n-1} ^ m} {h ^ 2},
u ^ i_j = u (t_i, x_j), \ quad t_ {i +1} = t_ {i} + \ Delta t, \ quad x_ {j +1} = x_ {j} + h, \ quad \ Delta t = \ sigma h ^ 2, \ quad \ sigma = const> 0,

має другий порядок на класі C ^ 4 -Гладких функцій.


2. Стійкість

Умови апроксимації не достатньо для того, щоб результат різницевої схеми наближався до точного відповіді при h → 0. У разі схем, коефіцієнти яких не залежать від рішення диференціального рівняння, потрібно виконання умови стійкості. Такі схеми можна представити як деякий лінійний оператор, який перетворює значення функції в момент t в значення функції в момент t + h. Умова стійкості вимагає, щоб власні числа (взагалі кажучи комплексні) цього оператора не перевершували по модулю 1 + ch, де з - деяка константа, при h → 0. Якщо ця умова не виконана, то похибки схеми швидко зростають і результат тим гірше, чим менше крок. Якщо виконані як умова апроксимації, так і умова стійкості, то результат різницевої схеми сходиться до вирішення диференціального рівняння (теорема Філіппова-Рябенький). [1] [3]


3. Умова Куранта

Умова Куранта (в англомовній літературі англ. Courant-Friedrichs-Levy condition , CFL) - швидкість розповсюдження збурень в різницевої задачі не повинна бути менше, ніж в диференціальній. Якщо ця умова не виконана, то результат різницевої схеми може не прагнути до вирішення диференціального рівняння. Іншими словами, за один крок по часу частка не повинна "пробігати" більш одного осередку.

У разі схем, коефіцієнти яких не залежать від рішення диференціального рівняння, умова Куранта випливає з стійкості.

Для гіперболічних систем рівнянь ця умова часто має вигляд

\ Tau \ le \ min \ left (\ frac {h} {| \ lambda | _ {max}} \ right)

( \ Tau - Крок за часом, h - Крок просторової сітки, | \ Lambda | _ {max} - Максимальне по модулю власне значення в точці. Мінімум береться по всіх точках сітки.)


4. Класифікація схем

4.1. Явні схеми

Явні схеми обчислюють значення результату через кілька сусідніх точок даних. Приклад явної схеми для диференціювання: f '(x) = \ frac {f (x + h)-f (x-h)} {2h} (2-й порядок апроксимації). Явні схеми часто виявляються нестійкими.

Згідно з теоремою Годунова серед лінійних різницевих схем для рівняння переносу з порядком апроксимації вище першого немає монотонних.

4.2. Неявні схеми

Неявні схеми використовують рівняння, які виражають дані через кілька сусідніх точок результату. Для знаходження результату вирішується система лінійних рівнянь. Приклад неявної схеми для рівняння струни: f (x, t + h)-2f (x, t) + f (x, th) = f (x + h, t + h)-2f (x, t + h) + f (xh, t + h ) . Неявні схеми зазвичай є стійкими.

4.3. Полунеявние схеми

На одних кроках застосовується явна схема, на інших - неявна (як правило, ці кроки чергуються).
Приклад - Схема Кранка-Нікольсон, коли рішення береться у вигляді середнього від явної і неявної схеми рішення для підвищення точності

4.4. Компактні схеми

Компактні схеми використовують рівняння, які пов'язують значення результату в декількох сусідніх точках з значеннями даних в декількох сусідніх точках. Це дозволяє підвищити порядок апроксимації. Приклад компактної схеми для диференціювання: \ Frac {1} {6} f '(xh) + \ frac {2} {3} f' (x) + \ frac {1} {6} f '(x + h) = \ frac {f (x + h)-f (xh)} {2h} (4-тий порядок апроксимації).

4.5. Консервативні схеми

Коли різницева схема задовольняє тим же інтегральним співвідношенням (наприклад, збереженню енергії, ентропії), що і початкове диференціальне рівняння, то говорять про властивість консервативності. Консервативні схеми звичайно представляються в дивергентного вигляді.

Приклади консервативних схем гідродинаміки - схема Самарського, метод великих часток Білоцерківського.


4.6. Схеми на зміщених сітках

У цих схемах сітки, на яких заданий результат, і дані зміщені відносно один одного. Наприклад, точки результату знаходяться посередині між точками даних. У деяких випадках це дозволяє використовувати більш прості граничні умови.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Різницева машина Чарльза Беббіджа
Схема
Схема (математика)
Електронна схема
Еквівалентна схема
Схема Горнера
Схема Шнорр
Схема перетворення
Схема виділення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru