Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Різноманіття



План:


Введення

Різноманіття - топологічний простір, яке локально виглядає як "звичайний" евклидово простір \ R ^ n . Евклідова простір є найпростішим прикладом різноманіття. Більш складним прикладом може служити поверхню Землі. Можливо зробити карту будь-якої області земної поверхні, наприклад карту півкулі, але неможливо скласти єдину (без розривів) карту всій її поверхні.

Дослідження різноманіть були розпочаті в другій половині XIX століття, вони природно виникли при вивченні диференціальної геометрії і теорії груп Лі. Тим не менш, перші точні визначення були зроблені тільки в 30-х роках XX століття.

Зазвичай розглядаються так звані гладкі різноманіття, тобто ті, на яких є виділений клас "Гладких" функцій - в таких многообразиях можна говорити про дотичних векторах і дотичних просторах. Для того, щоб вимірювати довжини кривих і кути, потрібна ще додаткова структура - ріманова метрика.

В класичної механіки основним різноманіттям є фазовий простір. В загальної теорії відносності чотиривимірний псевдоріманово різноманіття використовуються як модель для простору-часу.


1. Топологічні різноманіття

n -Мірне топологічний різноманіття без краю - це хаусдорфових топологічний простір з рахунковою базою, в якому кожна точка має відкриту околиця, гомеоморфна відкритого підмножині \ R ^ n , Тобто n -Мірного Евклидова простору.

n -Мірне топологічний різноманіття - це хаусдорфових топологічний простір з лічильної базою, в якому кожна точка має околиця, гомеоморфна відкритого підмножині замкнутого півпростору в \ R ^ n (Вважаємо відкритими також об'єднання відкритих підмножин з перетином їх межі та граничної гіперплощини).

  • Точки, які мають відкриту околиця, гомеоморфна відкритого підмножині \ R ^ n , Називаються внутрішніми, а множина всіх таких точок - внутрішність різноманіття (це завжди непорожня множина).
  • Доповнення до нутрощі називається краєм, це - (N - 1) -Мірне різноманіття без краю.
  • Компактний зв'язне різноманіття без кордону називається замкнутим
  • Некомпактно зв'язне різноманіття називається відкритим.

1.1. Коментарі

  • Умова счетності бази еквівалентно тому, що різноманіття вкладається в Евклідова простір кінцевої розмірності (те, що таке вкладення існує підтверджує теорема Уїтні про вкладення).
  • Іноді замість умови счетності бази використовується більш слабке умова паракомпактності простору. [1]
  • Введене тут поняття краю зовсім не рівнозначне поняттю відносної кордону в загальній топології.
  • Вимога хаусдорфових може здатися зайвим; приклад простору, який локально гомеоморфна евклідової, але при цьому не хаусдорфових, можна побудувати склеюванням двох копій речової прямої по всіх точках, крім однієї.

2. Гладкі різноманіття

Гладка структура, визначена нижче, зазвичай виникає у майже всіх додатках і при цьому робить різноманіття набагато зручніше в роботі.

Починаємо з топологічного різноманіття M без кордону. Назвемо картою гомеоморфізм \ Varphi з відкритого безлічі U \ subset M на відкрите підмножина \ R ^ n .

Набір карт, що покривають всі M , Називається атласом.

Якщо дві карти \ Varphi і ψ накривають одну точку в M , То їх композиція \ Varphi \ circ \ psi ^ {-1} задає відображення "склеювання" з відкритого безлічі \ R ^ n у відкрите безліч \ R ^ n . Якщо все відображення склейки з класу C k (Тобто k раз безперервно диференційовних функцій), то атлас називається C k атласом (можна також розглядати k = \ infty або ω , Що відповідає нескінченно диференційовних і аналітичним склейка).

Приклад: сфера може бути покрита C ^ \ infty - атласом з двох карт на доповненнях північного і південного полюсів з стереографічні проекціями по відношенню до цих полюсів.

Два C k атласу задають одну C k -Гладку структуру, якщо їх об'єднання є C k - атласом.

Для таких різноманіть можна ввести поняття дотичного вектора, дотичного і кокасательного просторів і розшарувань.

Для заданої C 1 -Гладкою структури можна знайти C ^ \ infty -Гладку структуру, що задається новим C ^ \ infty - атласом, який задає ту ж C 1 -Гладку структуру. Більш того, всі такі отримані таким чином різноманіття є C ^ \ infty -Діффеоморфнимі. Тому часто під гладкою структурою розуміють C 1 -Гладку структуру.

Не кожне топологічний різноманіття допускає гладку структуру. Приклади таких "Шорстких" різноманіть з'являються вже в розмірності чотири. Також існують приклади топологічних різноманіть, які допускають декілька різних гладких структур. Перший такий приклад нестандартної гладкою структури, так звана сфера Мілнора, був побудований Мілнором на семімерной сфері.


3. Приклади

  • Найпростіший приклад різноманіття - це простору \ R ^ n, \; n = 0,1,2, \ dots
  • Окружність - це різноманіття розмірності 1. Взагалі будь несамопересекающійся контур можна розглядати як одномірне різноманіття. Зазначимо, що для негладко контуру відповідне відображення вкладення в \ R ^ n не буде відображенням гладких многовидів.
  • Диск - це різноманіття з краєм.
  • Будь двовимірна поверхню без краю є прикладом двовимірного різноманіття ( сфера, тор, крендель, ...). За відомою топологічної класифікаційної теоремі, будь ориентируемое двовимірне різноманіття має вигляд сфери з кількома приклеєними ручками.
  • Стрічка Мебіуса - це приклад двовимірного неоріентіруемого різноманіття з краєм. Приклад неоріентіруемого двовимірного різноманіття без краю - проективна площину (різноманіття прямих в \ R ^ 3 ). Зазначимо, що його неможливо вкласти в \ R ^ 3 .
  • Всі зазначені вище приклади різноманіть можна наділити єдиним чином гладкою структурою. У більш високих розмірностях можливі, проте, різні гладкі структури на одному і тому ж топологічному різноманітті.
  • Нетривіальні приклади різноманіть будь-якої розмірності - проективні простору \ R P ^ n (Різноманіття прямих в \ R ^ {n +1} ) І грассманови різноманіття Gr (k, n) (Розмаїття k -Мірних підпросторів в \ R ^ n ).

4. Класифікація різноманіть

Кожне зв'язне одномірне різноманіття без кордону гомеоморфна речової прямої або кола

Гомеоморфни клас замкнутої зв'язковий поверхні задається її Ейлеровой характеристикою і ориентируемого. (Якщо ориентируемое, то це сфера з ручками (англ.), якщо ні, то зв'язкова сума декількох копій проективної площини)

Класифікація замкнутих тривимірних многовидів випливає з гіпотези Терстона, яка була нещодавно доведено Перельманом.

Якщо розмірність більше трьох, то класифікація неможлива, більше того, неможливо побудувати алгоритм, який визначає, чи є різноманіття однозв'язна. Проте існує класифікація всіх односвязанних різноманіть у всіх розмірностях ≥ 5.

Можна також класифікувати гладкі різноманіття.

  • У розмірностях 2 і 3 будь-яка пара гомеоморфних різноманіть є також діффеоморфной.
  • У розмірності 4 існує приклади замкнутих різноманіть, які допускають нескінченне число нееквівалентних гладких структур, а відкриті різноманіття, як, наприклад, \ R ^ 4 допускають континуум різних гладких структур.
  • У розмірностях 5 і вище будь топологічний різноманіття допускає не більше ніж кінцеве число нееквівалентних гладких структур.

5. Додаткові структури

Часто гладкі різноманіття оснащують додатковими структурами. Ось список найбільш часто зустрічаються додаткових структур:

6. Варіації і узагальнення

Література

  1. S. Lang Introduction to differentiable manifolds - 2nd. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 p. - ISBN 0-387-95477-5.
  • Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Сучасна геометрія. Методи і програми - 2е. - М .: Наука, 1986. - 760 с.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Оснащене різноманіття
Параллелізуемое різноманіття
Диференціюється різноманіття
Лінійне різноманіття
Центральне різноманіття
Інваріантне різноманіття
Ріманова різноманіття
Різноманіття Уайтхеда
Диференціюється різноманіття
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru