Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ріманова різноманіття



Ріманова різноманіття або ріманова простору (M, g) це речовий диференціюється різноманіття M, в якому кожне дотичне простір забезпечено скалярним добутком g - метричним тензором, мінливих від точки до точки гладким чином. Метрика g є позитивно певний симметрический тензор - метричний тензор. Іншими словами, ріманова різноманіття це диференціюється різноманіття, в якому дотичне простір в кожній точці є скінченновимірних евклідовому просторі.

Це дозволяє визначити різні геометричні поняття на ріманових многовидах, такі як кути, довжини кривих, площі (або обсяги), кривизну, градієнти функцій і дивергенції векторних полів.

Не варто плутати ріманови різноманіття з рімановим поверхнями - різноманіття, які локально виглядають як склейки комплексних площин.

Термін названий на честь німецького математика Бернхарда Рімана.


Огляд

Дотичне розшарування гладкого різноманіття M ставить у відповідність кожній точці M векторний простір зване дотичним, і на цьому дотичному просторі можна ввести скалярний твір. Якщо такий набір введених скалярних творів на дотичному розшаруванні різноманіття змінюється гладко від точки до точки, то за допомогою таких творів можна ввести метрично на всьому різноманітті. Приміром, гладка крива α (t): [0, 1] → M имет дотичний вектор α '(t 0) в дотичному просторі T M (t 0) в будь-якій точці t 0 ∈ (0, 1), і кожен такий вектор має довжину ‖ α '(t 0) ‖, де ‖ ‖ позначає норму індуковану скалярним добутком на T M (t 0). Інтеграл по цих довжинах дає довжину всієї кривої α:

L (\ alpha) = \ int_0 ^ 1 {\ | \ alpha '(t) \ | \, \ mathrm {d} t}.

Гладкість α (t) для t в [0, 1] гарантує, що інтеграл L (α) існує і довжина кривої визначена.

У багатьох випадках, для того щоб перейти від лінійно-алгебраїчної концепції до диференційно геометричної, гладкість дуже важлива.

Кожне гладке подмногообразіе R n має індуковану метрику g: скалярний твір на кожному дотичному просторі це просто скалярний твір на R n. Насправді має місце теорема Неша про регулярні вкладеннях, все ріманови різноманіття можуть бути реалізовані таким способом.


Вимірювання довжин і кутів за допомогою метрики

На ріманової різноманітті, довжина сегмента кривої, заданої параметрично (як вектор-функція x (t) параметра t , Мінливого від a до b ), Дорівнює:

L = \ int \ limits_a ^ b \ sqrt {g_ {ij} {dx ^ i \ over dt} {dx ^ j \ over dt}} \, dt = \ int \ limits_ {x (a)} ^ {x ( b)} \ sqrt {g_ {ij} \, dx ^ i \, dx ^ j}.

Кут \ Theta \ між двома векторами, U = u ^ i {\ partial \ over \ partial x ^ i} \ і V = v ^ j {\ partial \ over \ partial x ^ j} \ (У викривленому просторі вектори існують в дотичному просторі в точці різноманіття), визначається виразом:

\ Cos \ theta = \ frac {g_ {ij} u ^ iv ^ j} {\ sqrt {\ left | g_ {ij} u ^ iu ^ j \ right | \ left | g_ {ij} v ^ iv ^ j \ right |}}.

Для псевдорімановой метрики, довжина за формулою, що наведена вище, не завжди визначена, тому що вираз під коренем може бути негативним. Загалом можна визначити довжину кривої тільки якщо знак вираження під коренем або позитивну, або негативну по всій довжині кривої. Для псевдорімановой метрики:

L = \ int \ limits_a ^ b \ sqrt {\ left | g_ {ij} {dx ^ i \ over dt} {dx ^ j \ over dt} \ right |} \, dt.

Зауважимо, що хоча ці формули використовують координатне представлення, результат не залежить від вибору системи координат, він залежить тільки від метрики і від кривої, уздовж якої відбувається інтегрування.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ріманова геометрія
Ріманова поверхню
Різноманіття
Оснащене різноманіття
Параллелізуемое різноманіття
Лінійне різноманіття
Центральне різноманіття
Інваріантне різноманіття
Диференціюється різноманіття
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru