Символи Крістоффеля є координатними виразами афінної зв'язності, зокрема зв'язності Леві-Чивіти. Названі на честь Елвіна Бруно Крістоффеля ( 1829 - 1900),

Символи Крістоффеля використовуються в диференціальної геометрії, загальної теорії відносності та близьких до неї теоріях гравітації.

Символи Крістоффеля з'являються в координатному вираженні тензора кривизни. При цьому самі символи тензорами не є.

Нижче використовується правило підсумовування Ейнштейна, тобто по повторюваним індексам мається на увазі підсумовування.


1. Елементарне поняття про символи Крістоффеля

Рис. 1. Паралельний перенос уздовж променя
Рис. 2. Паралельний перенос уздовж дуги

1.1. Введення

Наочне уявлення про символи Крістоффеля можна отримати на прикладі полярної системи координат. У цій системі координатами точки є відстань {R} від неї до полюса і кут \ Varphi напрямки від полярної осі.

Координатами вектора, як і в прямокутній системі координат, слід вважати диференціали (нескінченно малі прирости) цих величин: ({\ Rm d} r, \, {\ rm d} \ varphi) .

Нехай є вектор \ Boldsymbol A з координатами (A, \, \ alpha) , Де a має геометричний зміст проекції вектора \ Boldsymbol A на радіальний промінь (що проходить через початок вектора), а \ Alpha - Кут, під яким вектор видно з полюса.

В прямокутній системі координат компоненти вектора не змінюються при паралельному перенесенні. В полярній системі координат це не так (див. малюнки). Символи Крістоффеля якраз і виражають зміну компонент вектора при його паралельному перенесенні.


1.2. Паралельний перенос уздовж координатних ліній

При зсуві вектора уздовж радіального променя на відстань {\ Rm d} r , Його компонента a , Очевидно, не змінюється, але друга його координата ( \ Alpha ) Зменшується (рис. 1). Величина вектора | A | ^ 2 = a ^ 2 + r ^ 2 \ alpha ^ 2 залишається незмінною, тому a ^ 2 + (r + {\ rm d} r) ^ 2 (\ alpha + {\ rm d} \ alpha) ^ 2 = a ^ 2 + r ^ 2 \ alpha ^ 2 . Звідси виходить (зневагою величинами другого і більшого порядків малості):

{\ Rm d} \ alpha = - \ frac {1} {r} \, \ alpha \, {\ rm d} r.

При паралельному перенесенні вздовж дуги змінюються обидві координати a і \ Alpha (Рис. 2). Очевидно, \ Alpha = \ frac {A} {r} \ sin \ lambda , a = A \ cos \ lambda , І {\ Rm d} \ lambda = - {\ rm d} \ varphi тому:

{\ Rm d} \ alpha = - \ frac {1} {r} \, a \, {\ rm d} \ varphi.

Крім цього, так як a = A \ cos \ lambda , {\ Rm d} \ lambda = - {\ rm d} \ varphi , І A \ sin \ lambda = r \ alpha , То

{\ Rm d} a = - (-r) \, \ alpha \, {\ rm d} \ varphi.

1.3. Паралельний перенос в довільному напрямку

При довільному малому зміщенні вектора (коли міняються і r , І \ Varphi ) Зміни компонент треба складати :

{\ Rm d} a = - (-r) \, \ alpha \, {\ rm d} \ varphi.
{\ Rm d} \ alpha = - \ frac {1} {r} \, \ alpha \, {\ rm d} r-\ frac {1} {r} \, a \, {\ rm d} \ varphi .

Отримані вирази мають загальну структуру: зміна компонент вектора пропорційно всім компонентам вектора і пропорційно величині зсуву вектора. Коефіцієнти пропорційності (без загального мінуса) і називаються символами Крістоффеля.

У більш загальних позначеннях x ^ 1 = r , x ^ 2 = \ varphi , {A ^ 1 = a} і A ^ 2 = \ alpha можна записати (маючи на увазі суму по повторюваним індексам):

{\ Rm d} A ^ i = - \ Gamma ^ {i} _ {kl} A ^ k {\ rm d} x ^ l.

Тут символи Крістоффеля {\ Gamma ^ 1_ {22} =-r} , \ Gamma ^ 2_ {12} = \ Gamma ^ 2_ {21} = 1 / r , А всі інші рівні нулю.

В прямокутній системі координат всі символи Крістоффеля дорівнюють нулю, так як компоненти вектора не змінюються при паралельному перенесенні. З цього можна зробити висновок, що символи Крістоффеля не утворюють тензор : якщо тензор дорівнює нулю в якій системі координат, то він дорівнює нулю у всіх інших системах координат.


2. Символи Крістоффеля першого і другого роду

Символи Крістоффеля другого роду \ Gamma ^ {k} _ {ij} можна визначити як коефіцієнти розкладання коваріантного похідної координатних векторів \ Partial_i = \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} по базису:

\ Nabla_ {\ partial_j} \ partial_i = \ Gamma ^ {k} _ {ij} \ partial_k

Символи Крістоффеля першого роду \ Gamma ^ {} _ {n, ij}

\ Gamma_ {n, ij} = g_ {kn} \ Gamma ^ {k} _ {ij} = \ tfrac12 \ left (\ frac {\ partial g_ {in}} {\ partial x ^ j} + \ frac {\ partial g_ {jn}} {\ partial x ^ i} - \ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ n} \ right)

3. Вираз через метричний тензор

Символи Крістоффеля зв'язності Леві-Чівіта для карти x ^ i можуть бути визначені з відсутності кручення, тобто

\ Gamma ^ i {} _ {jk} = \ Gamma ^ i {} _ {kj}.

і того умови, що коваріантна похідна метричного тензора g_ {ik} \ дорівнює нулю:

\ Nabla_ \ ell g_ {ik} = \ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial x ^ \ ell} - g_ {mk} \ Gamma ^ m {} _ {i \ ell} - g_ {im} \ Gamma ^ m {} _ {k \ ell} = 0. \

Для скорочення запису символ Набла \ Nabla і символи приватних похідних часто опускаються, замість них перед індексом, по якому проводиться диференціювання, ставиться крапка з комою ";" у разі коваріантного і кома "," у випадку приватної похідної. Таким чином, вираз вище можна також записати як

\, G_ {ik; \ ell} = g_ {ik, \ ell} - g_ {mk} \ Gamma ^ m {} _ {i \ ell} - g_ {im} \ Gamma ^ m {} _ {k \ ell } = 0. \

Явні вирази для символів Крістоффеля другого роду виходять, якщо скласти це рівняння та інші два рівняння, які виходять циклічною перестановкою індексів:

\ Gamma ^ i {} _ {k \ ell} = \ frac {1} {2} g ^ {im} \ left (\ frac {\ partial g_ {mk}} {\ partial x ^ \ ell} + \ frac {\ partial g_ {m \ ell}} {\ partial x ^ k} - \ frac {\ partial g_ {k \ ell}} {\ partial x ^ m} \ right) = {1 \ over 2} g ^ { im} (g_ {mk, \ ell} + g_ {m \ ell, k} - g_ {k \ ell, m}), \

де g ^ {ij} \ - Контраваріантное уявлення метрики, яке є матриця, обернена до g_ {ij} \ , Знаходиться шляхом рішення системи лінійних рівнянь g ^ {ij} g_ {jk} = \ delta ^ i_k \ .


4. Зв'язок з безиндекснимі позначеннями

Формальні, безиндексние визначення зв'язності абстрагуються від конкретної системи координат і тому більш кращі при доказі математичних теорем.

Нехай X і Y - векторні поля з компонентами X ^ i \ і Y ^ k \ . Тоді k-я компонента коваріантного похідної поля Y по відношенню до X задається виразом

\ Left (\ nabla_X Y \ right) ^ k = X ^ i \ nabla_i Y ^ k = X ^ i \ left (\ frac {\ partial Y ^ k} {\ partial x ^ i} + \ Gamma ^ k {} _ {im} Y ^ m \ right). \

Умова відсутності крутіння у зв'язності,: \ Nabla_X Y - \ nabla_Y X = [X, Y] \ , Еквівалентно симетричності символів Крістоффеля по двом нижнім індексами:

\ Gamma ^ i {} _ {jk} = \ Gamma ^ i {} _ {kj}.

5. Заміна координат

Незважаючи на те, що символи Крістоффеля записуються в тих же позначеннях, що і компоненти тензорів, вони не є тензорами, тому що не перетворюються як тензори при переході в нову систему координат. Зокрема, вибором координат в околі будь-якої точки символи Крістоффеля можуть бути локально зроблені рівними нулю (або назад ненульовими), що неможливо для тензора.

При заміні змінних (X ^ 1, ..., x ^ n) \ на (Y ^ 1, ..., y ^ n) \ , Базисні вектори перетворяться коваріантного,

\ Frac {\ partial} {\ partial y ^ i} = \ frac {\ partial x ^ k} {\ partial y ^ i} \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \

звідки випливає формула перетворення символів Крістоффеля:

\ Overline {\ Gamma ^ k {} _ {ij}} = \ frac {\ partial x ^ p} {\ partial y ^ i} \, \ frac {\ partial x ^ q} {\ partial y ^ j} \ , \ Gamma ^ r {} _ {pq} \, \ frac {\ partial y ^ k} {\ partial x ^ r} + \ frac {\ partial y ^ k} {\ partial x ^ m} \, \ frac {\ partial ^ 2 x ^ m} {\ partial y ^ i \ partial y ^ j} \

Риса означає систему координат y. Таким чином, символи Крістоффеля не перетворюються як тензор. Вони являють собою більш складний геометричний об'єкт в дотичному просторі з нелінійним законом перетворення від однієї системи координат до іншої.

Примітка. Можна помітити, наприклад, з визначення, що перший індекс є тензорним, тобто по ньому символи Крістоффеля перетворюються як тензор.


6. Символи Крістоффеля в різних системах координат

Користуючись виразом символу через метричний тензор, або перетворенням координат, можна одержати значення їх в будь-якій системі координат. У механіці і фізиці найчастіше використовуються ортогональні криволінійні системи координат. У цьому випадку символи Крістоффеля з рівними коефіцієнтами виражаються через коефіцієнти Ламе (діагональні елементи метричного тензора) H_ \ beta , А всі інші рівні нулю.

Символи Крістоффеля першого роду виражаються так:

\ Gamma_ {\ beta \ beta, \ gamma} = - {H_ \ beta} {H_ \ gamma} \ frac {\ partial H_ \ beta} {\ partial x ^ \ gamma} , При \ Beta \ neq \ gamma .
\ Gamma_ {\ beta \ gamma, \ beta} = {H_ \ beta} \ frac {\ partial H_ \ beta} {\ partial x ^ \ gamma} .

Символи Крістоффеля другого роду:

\ Gamma ^ \ gamma_ {\ beta \ beta} = - \ frac {H_ \ beta} {H_ \ gamma ^ 2} \ frac {\ partial H_ \ beta} {\ partial x ^ \ gamma} , При \ Beta \ neq \ gamma .
\ Gamma ^ \ beta_ {\ beta \ gamma} = \ Gamma ^ \ beta_ {\ gamma \ beta} = \ frac {1} {H_ \ beta} \ frac {\ partial H_ \ beta} {\ partial x ^ \ gamma }

Нижче наведені значення для поширених систем координат:


Інші величини, широко використовувані в тензорному аналізі

Література

  • Дімітріенко Ю.І. Тензорне числення. - М .: Вища школа, 2001. - 575 с. - ISBN 5-06-004155-7
  • Победря Б.Є. Лекції з тензорного аналізу. - Видавництво Московського університету, 1974. - 206 с.