Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Символи Шенфліса



План:


Введення

Символи Шенфліса - одне з позначень точкової групи симетрії, поряд з символами Германа - Могена. Запропоновано німецьким математиком Артуром Шенфліса в книзі "Kristallsysteme und Kristallstruktur" в 1891. Можуть також використовуватися для позначення просторової групи (тривимірної кристалографічної групи).


1. Позначення точкових груп

При точкової симетрії хоча б одна точка зберігає своє становище. Точкові групи симетрії в тривимірному просторі можна розділити на кілька родин. У символах Шенфліса вони описуються так:

  • З n, циклічні групи - групи з єдиним особливим напрямом, представленим поворотною віссю симетрії, - позначаються літерою С, з нижнім цифровим індексом n, відповідним порядком цієї осі.
  • C nv (від ньому. vertical - Вертикальний) - для площин, розташованих уздовж єдиної або головної осі симетрії, яка завжди мислиться вертикальної.
  • C nh (від ньому. horisontal - Горизонтальний) - для площини, перпендикулярної до головної осі симетрії.
  • S 2n (від ньому. spiegel - Дзеркало) - групи з єдиною дзеркальної віссю симетрії. Індекс осі завжди парний, тому що при непарному індексі дзеркальна вісь є просто комбінацією осі симетрії і перпендикулярної до неї площини, тобто S n = C nh для непарного n.
  • C s - для площині невизначеною орієнтації, тобто не фіксованою через відсутність у групі інших елементів симетрії.
  • З ni - групи з єдиною інверсійної віссю симетрії супроводжуються нижнім індексом i. Як правило, використовується лише З i, але іноді в літературі зустрічаються обозначанія типу С 3i, С 5i.
  • D n - є групою С n з додатковими осями симетрії другого порядку, перпендикулярними вихідної осі.
  • D nh також має горизонтальну і вертикальні площини симетрії.
  • D nd також має вертикальні площини симетрії, що йдуть по діагоналі між горизонтальними осями другого порядку.
  • T, O, I - групи симетрії з декількома осями вищого порядку (порядок осі n більше або дорівнює 3). Додавання індексу h вказує на наявність горизонтальної площини і, як наслідок, вертикальних площин симетрії і центру інверсії. Додавання індексу d до групи T вказує на наявність діагональних площин симетрії. Відмінність групи T d від T h в тому, що перша не містить центру інверсії, а друга содежіт, зате T d містить три інверсійних осі четвертого порядку, в той час як в T h таких осей немає.
  • T - сукупність поворотних осей в тетраедра (тільки поворотні осі 2-го і 3-го порядків).
  • O - сукупність поворотних осей в октаедра або кубі (тільки поворотні осі 2-го, 3-го і 4-го порядків).
  • I - сукупність поворотних осей в ікосаедр або додекаедр (тільки поворотні осі 2-го, 3-го та 5-го порядків).


Групи, в яких не більше однієї осі вищого порядку, можна розташувати в наступній таблиці

n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
C n C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8
...
C
C nv C 1v = C 1h C 2v C 3v C 4v C 5v C 6v C 7v C 8v
...
C ∞ v
C nh C 1h = C s C 2h C 3h C 4h C 5h C 6h C 7h C 8h
...
C ∞ h
S n S 1 = C s S 2 = C i S 3 = C 3h S 4 S 5 = C 5h S 6 S 7 = C 7h S 8
...
S = C ∞ h
C ni C 1i = C i C 2i = C s C 3i = S 6 C 4i = S 4 C 5i = S 10 C 6i = C 3h C 7i = S 14 C 8i = S 8
...
C ∞ i = C ∞ h
D n D 1 = C 2 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8
...
D
D nh D 1h = C 2v D 2h D 3h D 4h D 5h D 6h D 7h D 8h
...
D ∞ h
D nd D 1d = C 2h D 2d D 3d D 4d D 5d D 6d D 7d D 8d
...
D ∞ d = D ∞ h

Бордовим кольором відзначені не вживаються варіанти позначень груп.

У кристалографії через наявність трансляційної симетрії кристалічної структури n може приймати тільки значення 1, 2, 3, 4 і 6. Некрісталлографіческіе точкові групи дані на сірому фоні. D 4d і D 6d також є некрісталлографіческімі, оскільки містять дзеркальні осі близько 8 і 12, відповідно. 27 кристалографічних точкових груп з таблиці і п'ять груп T, T d, T h, O and O h складають всі 32 кристалографічні точкові групи симетрії.

Групи з n = ∞ називаються граничними групами [1] або групами Кюрі. До них відносяться ще дві групи, не представлені в таблиці. Це група всіх можливих обертань навколо всіх осей проходять через точку, K (від ньому. kugel - Куля) - група обертань, а також група K h, яка описує симетрію кулі - максимально можливу точкову симетрію в тривимірному просторі; всі точкові групи є підгрупами групи K h. Іноді ці групи позначаються також R (3) (від англ. rotation - Обертання) і R h (3). У математиці та теоретичній фізиці їх зазвичай позначають як SO (3) і O (3) ( спеціальна ортогональна група в тривимірному просторі і ортогональна група в тривимірному просторі).


2. Позначення просторових груп

Якщо в просторовій групі прибрати трансляційні компоненти (тобто прибрати трансляції та замінити гвинтові осі на звичайні осі, а площини скользяшего відображення на дзеркальні площини), то вийде відповідна просторової групі точкова група - одна з 32-х кристалографічних точкових груп. Символ Шенфліса просторової групи утворюється з символу відповідної точкової групи з додатковим верхнім цифровим індексом, так як зазвичай однією точкової групи відповідає відразу кілька просторових груп (максимум - 28 просторових груп для групи D 2h). При цьому індекс не дає ніякої додаткової інформації про елементи симетрії групи, а просто пов'язаний з тим, в якій послідовності Шенфліс виводив 230 просторових груп. Таким чином, символ Шенфліса для просторової групи не тільки нічого не говорить про орієнтацію елементів симетрії по відношенню до осей комірки, але навіть не дає інформації про центріровку осередку і трансляційної складової осей і площин симетрії. Щоб отримати повну інформацію про просторову групі з символу Шенфліса, треба користуватися таблицею, в якій зіставлені ці символи символам Германа-Могена. Наприклад, така таблиця дана в International Tables


3. Зовнішні посилання

Література

  • Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрична кристалографія, МГУ, 1973
  • Ю. К. Єгоров-Тісменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристалографія, МГУ, 1992
  • Ю. К. Єгоров-Тісменко, Г. П. Литвинская, Теорія симетрії кристалів, ГЕОС, 2000 (доступно on-Line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
  • П. М. Зоркий. Симетрія молекул і кристалічних структур, МГУ, 1986 (доступно on-Line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html)
  • Р. Фларрі, Групи симетрії. Теорія і хімічні програми, М.: Мир, 1983
  • І. Харгітаі, Симетрія очима хіміка. - М.: Мир, 1991 (сторінка 99)

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Алхімічні символи
Державні символи
Символи есперанто
Символи Крістоффеля
Керуючі символи
Символи святих
Чотири символи
Символи Європи
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru