Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Симплекс



План:


Введення

Симплекс або n-мірний тетраедр (від лат. simplex - Простий) - геометрична фігура, яка є n-мірним узагальненням трикутника.


1. Визначення

Симплекс є опукла оболонка n +1 точок, які не лежать в одній гіперплощини n-мірного Евклидова простору. Ці точки називаються вершинами симплекса.

2. Пов'язані визначення

  • Симплекс називається правильним, якщо всі його ребра мають однакову довжину.

2.1. Стандартний симплекс

Зелений трикутник - стандартний 2-симплекс

Стандартний n-симплекс це підмножина \ Mathbb {R} ^ {n +1} , Яке визначається як:

\ Delta ^ n = \ {(t_0, \ dots t_n) \ mid {(\ sum_i t_i = 1)} \ wedge {(\ forall i \; t_i \ geqslant 0)} \}

Його вершинами є точки:

e 0 = (1, 0, ... 0)
e 1 = (0, 1, ... 0)
...
e n = (0, 0, ... 1)

Існує канонічне взаємно-однозначне відображення стандартного n-симплекса в будь-який інший n-симплекс з координатами вершин (V_0, v_1, \ dots v_n) :

(T_0, \ dots t_n) \ to \ sum_i t_i v_i

Значення t i для даної точки називаються її баріцентріческімі координатами.


3. Властивості

  • n-мірний симплекс має n + 1 вершин, будь-які k + 1 з яких утворюють k-мірну грань.
    • Зокрема, число k-мірних граней в n-Симплекс одно біноміальним коефіцієнту {N +1 \ choose k +1}.
    • Зокрема, число граней старшої розмірності збігається з кількістю вершин і дорівнює n + 1 .
  • Орієнтований обсяг n-симплекса в n-мірному евклідовому просторі можна визначити за формулою:
    V = \ frac {1} {n!} \ det (v_1-v_0, v_2-v_0, \ dots, v_n-v_0)
    • Визначник Келі - Менгера дозволяє обчислити обсяг симплекса, знаючи довжини його ребер:
      V ^ 2 = \ frac {(-1) ^ {n-1}} {2 ^ n (n!) ^ 2} \ begin {vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \ dots & 1 \ \ 1 & 0 & d_ {01} ^ 2 & d_ {02} ^ 2 & \ dots & d_ {0n} ^ 2 \ \ 1 & d_ {10} ^ 2 & 0 & d_ {12} ^ 2 & \ dots & d_ { 1n} ^ 2 \ \ 1 & d_ {20} ^ 2 & d_ {21} ^ 2 & 0 & \ dots & d_ {2n} ^ 2 \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 1 & d_ {n0} ^ 2 & d_ {n1} ^ 2 & d_ {n2} ^ 2 & \ dots & 0 \ \ \ end {vmatrix}
де d i j = | v i - v j | - Відстань між i-й і j-й вершинами, n - розмірність простору. Ця формула є узагальненням формули Герона для трикутників.
  • Обсяг правильного n-симплекса з одиничною стороною дорівнює \ Frac {\ sqrt {n +1}} {n! \ cdot 2 ^ {n / 2}}.
  • Радіус R описаної n-мірної сфери задовольняє співвідношенню
    (R {\ cdot} V) ^ 2 = T,
де V -Обсяг симплекса і
T = \ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n +1} {n!} ^ 2} \ begin {vmatrix} 0 & d_ {12} ^ 2 & d_ {13} ^ 2 & \ dots & d_ {1 (n +1)} ^ 2 \ \ d_ {21} ^ 2 & 0 & d_ {23} ^ 2 & \ dots & d_ {2 (n +1)} ^ 2 \ \ d_ { 31} ^ 2 & d_ {32} ^ 2 & 0 & \ dots & d_ {3 (n +1)} ^ 2 \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ \ d_ {(n +1 ) 1} ^ 2 & d_ {(n +1) 2} ^ 2 & d_ {(n +1) 3} ^ 2 & \ dots & 0 \ \ \ end {vmatrix}

4. Співвідношення в правильному симплекс

У правильному n-мірному симплекс зі стороною a нехай

  • H n позначає висоту,
  • V n позначає обсяг,
  • R n позначає радіус описаної сфери,
  • r n позначає радіус вписаного сфери.
  • α n позначає двогранний кут,

Тоді

  • H_n = a \ sqrt {\ frac {n +1} {2n}} = R_n \ frac {n +1} {n}
  • V_n = \ frac {a ^ n} {n!} \ sqrt {\ frac {n +1} {2 ^ n}} = \ frac {R ^ n_n} {n!} \ sqrt {\ left (\ frac { n +1} {n} \ right) ^ n}
  • ~ R_n = a \ sqrt {\ frac {n} {2 (n +1)}}
  • ~ R_n = \ frac {a} {\ sqrt {2n (n +1)}} = \ frac {R_n} {n}
  • ~ \ Cos \ alpha = \ frac {1} {n}
  • ~ R_n = H_n \ frac {n} {n-1}
  • ~ A ^ 2 = H_n ^ 2 + R_ {n-1} ^ 2
  • ~ V_n = \ frac {1} {n} V_ {n-1} H_n
  • ~ R_n = R_n ^ 2 - R_ {n-1} ^ 2

5. Формули для правильного симплекса

Число L-мірних граней ~ K (L, n) = C ^ {L +1} _ {n +1}
Підйом ~ H_n = a \ sqrt {\ frac {n +1} {2n}}~ H_n = R_n \ frac {n +1} {n}~ H_2 = a \ frac {\ sqrt {3}} {2}~ H_3 = a \ frac {\ sqrt {6}} {3}~ H_4 = a \ frac {\ sqrt {10}} {4}
Обсяг ~ V_n = \ frac {a ^ n} {n!} \ sqrt {\ frac {n +1} {2 ^ n}}~ V_n = \ frac {R ^ n_n} {n!} \ sqrt {\ left (\ frac {n +1} {n} \ right) ^ n}~ V_2 = a ^ 2 \ frac {\ sqrt {3}} {4}~ V_3 = a ^ 3 \ frac {\ sqrt {2}} {12}~ V_4 = a ^ 4 \ frac {\ sqrt {5}} {96}
Радіус описаної сфери ~ R_n = a \ sqrt {\ frac {n} {2 (n +1)}}~ A = R_n \ sqrt {\ frac {2 (n +1)} {n}}~ R_2 = a \ frac {\ sqrt {3}} {3}~ R_3 = a \ frac {\ sqrt {6}} {4}~ R_4 = a \ frac {\ sqrt {10}} {5}
Радіус вписаного сфери ~ R_n = \ frac {a} {\ sqrt {2n (n +1)}}~ R_n = \ frac {R_n} {n}~ R_2 = a \ frac {\ sqrt {3}} {6}~ R_3 = a \ frac {\ sqrt {6}} {12}~ R_4 = a \ frac {\ sqrt {10}} {20}
Двогранний кут ~ \ Cos \ alpha = \ frac {1} {n}

Література

  • Александров П. С., Комбінаторна топологія, М. - Л., 1947
  • Понтрягин Л. С., Основи комбінаторної топології, М. - Л., 1947, с. 23-31.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Симплекс-метод
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru