Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Система координат



План:


Введення

Система координат - комплекс визначень, що реалізує метод координат, тобто спосіб визначати положення точки або тіла за допомогою чисел або інших символів. Сукупність чисел, що визначають положення конкретної точки, називається координатами цієї точки.

В математики координати - сукупність чисел, зіставлених точкам різноманіття в деякій карті певного атласу.

В елементарної геометрії координати - величини, що визначають положення точки на площині і в просторі. На площині положення точки найчастіше визначається відстанями від двох прямих (координатних осей), що перетинаються в одній точці (початку координат) під прямим кутом; одна з координат називається ординатою, а інша - абсцисою. У просторі за системі Декарта положення точки визначається відстанями від трьох площин координат, що перетинаються в одній точці під прямими кутами один до одного, або сферичними координатами, де початок координат знаходиться в центрі сфери.

В географії координати - широта, довгота і висота над відомим загальним рівнем (наприклад, океану). Дивись географічні координати.

В астрономії координати - величини, за допомогою яких визначається положення зірки, наприклад, пряме сходження і відмінювання.

Небесні координати - числа, за допомогою яких визначають положення світил і допоміжних точок на небесній сфері. В астрономії вживають різні системи небесних координат. Кожна з них по суті являє собою систему полярних координат на сфері з відповідним чином вибраним полюсом. Систему небесних координат задають великим колом небесної сфери (або його полюсом, віддаленим на 90 від будь-якої точки цього кола) з вказівкою на ньому початкової точки відліку однієї з координат. Залежно від вибору цього круга системи небесних координат називалася горизонтальною, екваторіальною, екліптичною і галактичної.

Найбільш вживана система координат - прямокутна система координат (також відома як декартова система координат).

Координати на площині і в просторі можна вводити нескінченним числом різних способів. Вирішуючи ту або іншу математичну або фізичну задачу методом координат, можна використовувати різні координатні системи, вибираючи ту з них, в якій завдання вирішується простіше або зручніше в даному конкретному випадку. Відомим узагальненням системи координат є системи відліку і системи референції.


1. Список систем координат


2. Основні системи

У цьому розділі даються роз'яснення до найбільш уживаним системам координат в елементарній математиці.

2.1. Декартові координати

Розташування точки P на площині визначається декартовими координатами за допомогою пари чисел (X, y) :

  • x - Відстань від точки P до осі y з урахуванням знака
  • y - Відстань від точки P до осі x з урахуванням знака

У просторі ж необхідно вже 3 координати (X, y, z) :

  • x - Відстань від точки P до площини yz
  • y - Відстань від точки P до площини xz
  • z - Відстань від точки P до площини xy

2.2. Полярні координати

Полярні координати.

В полярній системі координат положення точки визначається відстань до центру координат і кутом радіус-вектора з віссю Ox.

Термін "полярні координати" використовується тільки на площині, в просторі застосовуються циліндричні і сферичні системи координат.


2.3. Циліндричні координати

Циліндричні координати.

Циліндричні координати - тривимірний аналог полярних, в якому точка P представляється трикомпонентним кортежем (R, θ, h) . У термінах декартової системи координат,

  • 0 \ leq {r} ( радіус) - відстань від осі z до точки P,
  • 0 \ leq \ theta <360 ^ \ circ ( азимут або довгота) - кут між позитивною ("плюсовий") частиною осі x та прямої лінії, подумки проведеної від полюса до точки P, спроектований на xy-площину
  • h (Висота) - відстань (з урахуванням знака) від xy-площині до точки P.
Примітка: у літературі можна зустріти позначку z для h; це не принципово, але потрібно слідкувати, які позначки застосовуються.

Полярні координати мають один недолік: значення θ втрачає сенс, якщо r = 0.

Циліндричні координати корисні для вивчення систем, симетричних навколо якоїсь осі. Наприклад, довгий циліндр в декартових координатах має рівняння 2 x + 2 y = 2 c , Тоді як в циліндричних воно виглядає як r = c


2.4. Сферичні координати

Сферичні координати.

Сферичні координати - тривимірний аналог полярних

2.4.1. Позначення, прийняті в Америці

У сферичній системі координат, розташування точки P визначається трьома компонентами: (Ρ, φ, θ) . У термінах декартової системи координат,

  • 0 \ leq \ rho (Радіус) - це відстань від точки Р до полюса,
  • 0 \ leq \ phi \ leq 180 ^ \ circ (Широта або полярний кут) - кут між z-віссю і прямою, проведеною з полюса до точки P
  • 0 \ leq \ theta <360 ^ \ circ (Азимут або довгота) - кут між позитивною ("плюсовий" x-віссю і проекцією прямої, проведеної з полюса до точки P на xy-площину.
Примітка: у літературі можна зустріти позначку φ або θ, а також r для ρ;

Сферична система координат також має недолік: φ втрачає сенс якщо ρ = 0, також і θ втрачає сенс, якщо ρ = 0 або φ = 0 або φ = 180 .

Для побудови точки за її сферичними координатами, потрібно: від полюсу відкласти відрізок, рівний ρ уздовж позитивної z-осі, повернути його на кут φ навколо осі y у напрямі позитивної x-осі, і повернути на кут θ навколо z-осі в напрямку позитивної y-осі.

Сферичні координати корисні при вивченні систем, симетричних навколо точки. Так, рівняння сфери в декартових координатах виглядає як x 2 + y 2 + z 2 = c 2 , Тоді як в сферичних стає набагато простіше: ρ = c .


2.4.2. Європейські позначення

В Європі прийнято використовувати інші позначення. Положення точки задається числами: (R, θ, φ) , Де r - відстань від точки до початку координат, θ - Полярний кут, який змінюється в межах від 0 до π, \ Varphi - Азимутальний кут, який змінюється в межах від 0 до 2π. Тобто, в європейській системі, яка застосовується також і в Росії, позначення для кутів переставлені в порівнянні з американською.


3. Перехід з однієї системи координат в іншу

3.1. Декартові і полярні

x = r \, \ cos \ theta \ quad
y = r \, \ sin \ theta \ quad
r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}
\ Theta = \ arctan \ frac {y} {x} + \ pi u_0 (-x) \, \ operatorname {sgn} y

де u 0 - функція Хевісайда з u 0 (0) = 0 , А sgn - функція signum. Тут функції u 0 і sgn використовуються як "логічні" перемикачі, аналогічні за значенням операторам "якщо .. то" (if ... else) в мовах програмування. Деякі мови програмування мають спеціальну функцію atan2 (y, x), яка знаходить правильний θ в необхідному квадранті, визначеному x і y.


3.2. Декартові та циліндричні

x = r \, \ cos \ theta
y = r \, \ sin \ theta
z = h \ quad
r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}
\ Theta = \ arctan \ frac {y} {x} + \ pi u_0 (-x) \, \ operatorname {sgn} y
h = z \ quad
\ Begin {vmatrix} dx \ \ dy \ \ dz \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ cos \ theta &-r \ sin \ theta & 0 \ \ \ sin \ theta & r \ cos \ theta & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix } \ cdot \ begin {vmatrix} dr \ \ d \ theta \ \ dh \ end {vmatrix}
\ Begin {vmatrix} dr \ \ d \ theta \ \ dh \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} & \ frac {y} { \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} & 0 \ \ \ frac {-y} {x ^ 2 + y ^ 2} & \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix} \ cdot \ begin {vmatrix} dx \ \ dy \ \ dz \ end {vmatrix}

3.3. Декартові та сферичні

{X} = \ rho \, \ sin \ phi \, \ cos \ theta \ quad
{Y} = \ rho \, \ sin \ phi \, \ sin \ theta \ quad
{Z} = \ rho \, \ cos \ phi \ quad
{\ Rho} = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}
{\ Phi} = \ arccos \ frac {z} {\ rho}
{\ Phi} = \ arctan \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z}
{\ Theta} = \ arctan \ frac {y} {x} + \ pi \, u_0 (-x) \, \ operatorname {sgn} y
\ Begin {vmatrix} dx \ \ dy \ \ dz \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ sin \ phi \ cos \ theta & \ rho \ cos \ phi \ cos \ theta & - \ rho \ sin \ phi \ sin \ theta \ \ \ sin \ phi \ sin \ theta & \ rho \ cos \ phi \ sin \ theta & \ rho \ sin \ phi \ cos \ theta \ \ \ cos \ phi & - \ rho \ sin \ phi & 0 \ end {vmatrix} \ cdot \ begin {vmatrix} d \ rho \ \ d \ phi \ \ d \ theta \ end {vmatrix}
\ Begin {vmatrix} d \ rho \ \ d \ phi \ \ d \ theta \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ frac {x} {\ rho} & \ frac {y} {\ rho} & \ frac {z} {\ rho} \ \ \ Frac {-y} {x ^ 2 + y ^ 2} & \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & 0 \ end {vmatrix} \ cdot \ begin {vmatrix} dx \ \ dy \ \ dz \ end {vmatrix}

3.4. Циліндричні та сферичні

{R} = \ rho \, \ sin \ phi
{\ Theta} = \ theta \ quad
{H} = \ rho \, \ cos \ phi
{\ Rho} = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
{\ Phi} = \ arctan \ frac {h} {r} + \ pi \, u_0 (-r) \, \ operatorname {sgn} h
{\ Theta} = \ theta \ quad
\ Begin {vmatrix} dr \ \ d \ theta \ \ dh \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ sin \ phi & \ rho \ cos \ phi & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \ cos \ phi & - \ rho \ sin \ phi & 0 \ end {vmatrix} \ cdot \ begin {vmatrix} d \ rho \ \ d \ phi \ \ d \ theta \ end {vmatrix}
\ Begin {vmatrix} d \ rho \ \ d \ phi \ \ d \ theta \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ frac {r} {\ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}} & 0 & \ frac {h} {\ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}} \ \ \ frac {-h} {r ^ 2 + h ^ 2} & 0 & \ frac {r} {r ^ 2 + h ^ 2} \ \ 0 & 1 & 0 \ end {vmatrix} \ cdot \ begin {vmatrix} dr \ \ d \ theta \ \ dh \ end {vmatrix}

Література

  • Гельфанд І. М., Глаголєва Є. Г., Кирилов А. А. Метод координат. Видання п'яте, стереотипне. Серія: Бібліотечка фізико-математичної школи. Математика. Випуск 1. М.: Наука, 1973.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Екваторіальна система координат
Криволінійна система координат
Ортогональна система координат
Циліндрична система координат
Система небесних координат
Сферична система координат
Афінна система координат
Полярна система координат
Прямокутна система координат
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru