Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Система числення



План:


Введення

Система числення - символічний метод запису чисел, подання чисел за допомогою письмових знаків.

Система числення:

Системи числення поділяються на позиційні, непозиційної і змішані.

Чим більше підставу системи числення, тим менша кількість розрядів (тобто записуваних цифр) потрібен при запису числа в позиційних системах числення.


1. Позиційні системи числення

У позиційних системах числення один і той же числовий знак ( цифра) в записі числа має різні значення в залежності від того місця ( розряду), де він розташований. Винахід позиційної нумерації, заснованої на помісному значенні цифр, приписується шумерам і вавилонянам; розвинена була така нумерація індусами і мала неоціненні наслідки в історії людської цивілізації. До числа таких систем відноситься сучасна десяткова система числення, виникнення якої пов'язано з рахунком на пальцях. У середньовічній Європі вона з'явилася через італійських купців, в свою чергу запозичили її у мусульман.

Під позиційною системою числення зазвичай розуміється b-річної системі числення, яка визначається цілим числом b> 1 , Званим підставою системи числення. Ціле число x в b-річної системі числення представляється у вигляді кінцевої лінійної комбінації степенів числа b:

x = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} a_k b ^ k , Де a k - Це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівності 0 \ leq a_k \ leq (b-1) .

Кожна ступінь b k в такого запису називається ваговим коефіцієнтом розряду. Старшинство розрядів і відповідних їм цифр визначається значенням показника k (Номером розряду). Зазвичай для ненульового числа x вимагають, щоб старша цифра a n - 1 в b-ричном поданні x була також ненульовий.

Якщо не виникає різночитань (наприклад, коли всі цифри видаються як унікальних письмових знаків), число x записують у вигляді послідовності його b-ковий цифр, що перераховуються за зменьшенням старшинства розрядів зліва направо:

x = a_ {n-1} a_ {n-2} \ dots a_0.

Наприклад, число сто три представляється в десятковій системі числення у вигляді:

103 = 1 \ cdot 10 ^ {2} + 0 \ cdot 10 ^ {1} + 3 \ cdot 10 ^ {0}.

Найбільш уживаними в даний час позиційними системами є:


2. Змішані системи числення

Змішана система числення є узагальненням b -Річної системи числення і також часто відноситься до позиційних систем числення. Підставою змішаної системи числення є зростаюча послідовність чисел \ {B_k \} _ {k = 0} ^ {\ infty} і кожне число x представляється як лінійна комбінація :

x = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k} b_k , Де на коефіцієнти a k (Звані як і колись цифрами) накладаються деякі обмеження.

Записом числа x в змішаній системі числення називається перерахування його цифр у порядку зменшення індексу k , Починаючи з першого ненульового.

Залежно від виду b k як функції від k змішані системи числення можуть бути статечними, показовими і т. п. Коли b k = b k для деякого b , показова змішана система числення збігається з b -Річної системою числення.

Найбільш відомим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню d \ cdot 24 \ cdot 60 \ cdot 60 + h \ cdot 60 \ cdot 60 + m \ cdot 60 + s секунд.


2.1. Факторіальних система числення

У факториальной системі числення підставами є послідовність факторіалів b k = k! , І кожне натуральне число x представляється у вигляді:

x = \ sum_ {k = 1} ^ n d_k k! , Де 0 \ leq d_k \ leq k .

2.2. Фібоначчійовий система числення

Фібоначчійовий система числення грунтується на числах Фібоначчі.

x = \ sum_ {k = 0} ^ n f_k F_k , Де F k - Числа Фібоначчі, f_k \ in \ {0,1 \} , При цьому в записі f_nf_ {n-1} \ dots f_0 не зустрічається дві одиниці підряд.

3. Непозиційної системи числення

У непозиційної системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від положення в числі. При цьому система може накладати обмеження на положення цифр, наприклад, щоб вони були розташовані в порядку убування.

3.1. Біноміальна система числення

Уявлення, що використовує Біноміальні коефіцієнти

x = \ sum_ {k = 1} ^ n {c_k \ choose k} , Де 0 \ leq c_1 <c_2 <\ dots <c_n .

3.2. Система залишкових класів (СОК)

Подання числа в системі залишкових класів засноване на понятті вирахування і китайської теореми про залишки. СОК визначається набором взаємно простих модулів (M_1, m_2, \ dots, m_n) з твором M = m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_n так, що кожному цілого числа x з відрізка [0, M - 1] ставиться у відповідність набір відрахувань (X_1, x_2, \ dots, x_n) , Де

x \ equiv x_1 \ pmod {m_1};
x \ equiv x_2 \ pmod {m_2};
...
x \ equiv x_n \ pmod {m_n}.

При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність подання для чисел з відрізка [0, M - 1] .

В СОК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілочисельним і також лежить в [0, M - 1] .

Недоліками СОК є можливість подання лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, представлених в СОК. Порівняння зазвичай здійснюється через переклад аргументів з СОК в змішану систему числення з підстав (M_1, m_1 \ cdot m_2, \ dots, m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_ {n-1}) .


3.3. Система числення Штерна-Броко

Система числення Штерна-Броко - спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко.

4. Системи числення різних народів

4.1. Давньоєгипетська система числення

Давньоєгипетська десяткова непозиційній система числення виникла у другій половині третього тисячоліття до н. е.. Для позначення чисел 0, 1, 10, 10 , 10 , 10 4, 10 5, 10 6, 7 жовтня використовувалися спеціальні цифри. Числа в єгипетській системі числення записувалися як комбінації цих цифр, в яких кожна з цифр повторювалася не більше дев'яти разів. Значення числа одно простої суми значень цифр, що беруть участь в його запису. [2]


4.2. Вавилонська система числення

4.3. Алфавітні системи числення

Алфавітними системами числення користувалися давні вірмени, грузини, греки ( іонічна система числення), араби ( абджадія), євреї (див. гематрія) та інші народи Близького Сходу. У слов'янських богослужбових книгах грецька алфавітна система була переведена на літери кирилиці. [2]

4.3.1. Єврейська система числення

Єврейська система числення як цифр використовує 22 буквами єврейського алфавіту. Кожна буква має своє числове значення від 1 до 400 (див. т. ж. Гематрія). Нуль відсутня. Цифри, записані таким чином, найбільш часто можна зустріти в нумерації років за іудейським календарем.

4.3.2. Грецька система числення

4.4. Римська система числення

Канонічним прикладом майже непозиційної системи числення є римська, в якій в якості цифр використовуються латинські літери:
I позначає 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Наприклад, II = 1 + 1 = 2
тут символ I позначає 1 незалежно від місця в числі.

Насправді, римська система не є повністю непозиційній, так як менша цифра, що йде перед більшою, віднімається від неї, наприклад:

IV = 4, у той час як:
VI = 6


4.5. Система числення майя

Майя використовували 20-річний систему числення за одним винятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто за числом (17) (19) відразу слід число (1) (0) (0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1) (0) (0) = 360 приблизно дорівнює числу днів у сонячному році.

Для запису основними знаками були точки (одиниці) і відрізки (п'ятірки).

4.6. Кіпу інків

Прообразом баз даних, широко використовувалися в Центральних Андах ( Перу, Болівія) у державних та громадських цілях в I-II тисячолітті н. е.., була вузликова писемність Інків - стос, що складалася як з числових записів десяткової системи [3], так і не числових записів у двійковій системі кодування [4]. У стос застосовувалися первинні та додаткові ключі, позиційні числа, кодування кольором та освіта серій повторюваних даних [5]. Стос вперше в історії людства використовувалося для застосування такого способу ведення бухгалтерського обліку як подвійний запис [6].


Примітки

  1. Унарний система умовно може розглядатися як позиційна, хоча по суті такою не є.
  2. 1 2 Системи числення. Як вважали в Стародавній Русі. Алфавітні системи числення. - lukped.narod.ru / internet / binary / theor.htm
  3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire - New York: Barnes & Noble, 1996. - С. 80. - ISBN 0-88029-595-3.
  4. Experts 'decipher' Inca strings - news.bbc.co.uk/2/hi/americas/4143968.stm. архіві - www.webcitation.org/611umbKKZ з першоджерела 18 серпня 2011.
  5. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus. - Стор.49 -
  6. Dale Buckmaster (1974). " The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis - www.jstor.org/stable/2490534 ". Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Перевірено 2009-12-24.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Аттична система числення
Десяткова система числення
Унарна система числення
Фібоначчійовий система числення
Позиційна система числення
Кирилична система числення
Грецька система числення
Двійкова система числення
Двенадцатирічня система числення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru