Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Скалярний потенціал



Скалярний потенціал векторного поля \ Mathbf {A} (Частіше просто потенціал векторного поля) - це скалярна функція \ Phi така, що у всіх точках області визначення поля

\ Mathbf {A} = \ operatorname {grad} \, \ phi,

де \ Operatorname {grad} \ phi позначає градієнт \ Phi . У фізиці зазвичай потенціалом називають величину, протилежну за знаком (потенціал сили, потенціал електричного поля).


Потенційні поля

Графік гравітаційного потенціалу однорідного диска в його площині.

Поле називається потенційним, якщо для нього існує скалярний потенціал. Для потенційного поля криволінійний інтеграл між двома точками

\ Phi (\ mathbf r) = \ int \ limits_C \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int \ limits_a ^ b \ mathbf {A} (\ mathbf { r} (t)) \ cdot \ mathbf {\ dot r} (t) \, dt

не залежить від шляху інтегрування C = \ left \ {\ mathbf {r} (t) | t \ in [a, b] \ right \} , Що з'єднує ці точки. Це рівнозначно тому, що інтеграл по будь-якому замкнутому контуру C дорівнює нулю:

\ Int \ limits_C \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) \ cdot \, \ mathbf {dr} = 0

Безперервне векторне поле в односвязной області тривимірного простору потенційно тоді і тільки тоді, коли воно безвіхревое :

\ Mathbf {A} = \ operatorname {grad} \, \ phi \ Leftrightarrow \ operatorname {rot} \, \ mathbf {A} = 0

Узагальненням цієї теореми на випадок довільного конечномерного простору є лема Пуанкаре. Для таких просторів існує ізоморфізм між векторними полями \ Mathbf {A} і 1-формами \ Omega_ {\ mathbf {A}} , При цьому питання про існування потенціалу зводиться до питання про звернення зовнішнього диференціювання. Лемма Пуанкаре стверджує, що будь-яка замкнута форма в односвязной області конечномерного простору точна.

Зауважимо, що в загальному випадку неоднозвязних простору умови замкнутості недостатньо. Легко перевірити, що поле на площині

\ Mathbf {A} = \ left (\ frac {-y} {x ^ 2 + y ^ 2}, \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} \ right)

є безвіхревим в будь односвязной області, не містить точку (0,0) , Проте

\ Int \ limits_C \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) \ cdot \, \ mathbf {dr} = 2 \ pi

для будь-якого контуру C , Один раз обходить навколо початку координат проти годинникової стрілки.


Ньютонів потенціал

З будь-якого векторного поля в \ Mathbb {R} ^ 3 можна виділити його потенційну складову. Відповідний їй потенціал можна записати в явному вигляді, не виробляючи розкладання самого поля. Він визначається інтегралом, що називається ньютоновим потенціалом:

\ Phi (\ mathbf {r} _0) = \ frac {1} {4 \ pi} \ int \ limits_ {\ mathbb {R} ^ 3} \ frac {\ operatorname {div} \, \ mathbf {A}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _0 \ right |} dV

При цьому дивергенція поля повинна зменшуватися на нескінченності швидше, ніж \ Frac {1} {r ^ 2} . У разі безвіхревое поля цей інтеграл дає скалярний потенціал поля.

Дивергенцію \ Operatorname {div} \, \ mathbf {A} можна ототожнити з щільністю зарядів \ Rho (\ mathbf {r}) . Зокрема, для поля

\ Mathbf {A} = - \ frac {\ mathbf {r}} {r ^ 3}

отримуємо звичайну формулу для ньютонова гравітаційного потенціалу точкового маси, розташованої на початку координат:

\ Phi (\ mathbf {r} _0) = \ int \ limits_ {\ mathbb {R} ^ 3} \ frac {\ delta (\ mathbf {r})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf { r} _0 \ right |} dV = \ frac {1} {r}

де \ Delta (\ mathbf {r}) - Тривимірна дельта-функція Дірака.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Скалярний процесор
Скалярний поле
Скалярний твір
Електростатичний потенціал
Потенціал Гальвані
Електрохімічний потенціал
Векторний потенціал
Хімічний потенціал
Потенціал дії
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru