Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Скалярний твір



План:


Введення

Скалярний твір - операція над двома векторами, результатом якої є скаляр (число), не залежне від системи координат і характеризує довжини векторів-співмножників і кут між ними. Даною операції відповідає множення довжини даного вектора x на проекцію іншого вектора y на даний вектор x. Ця операція зазвичай розглядається як комутативна і лінійна по кожному співмножник.

Зазвичай використовується одне з наступних позначень:

\ Langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle ,
(\ Mathbf a, \ mathbf b) ,
\ Mathbf a \ cdot \ mathbf b ,

або ( позначення Дірака, часто застосовується в квантової механіки для векторів стану):

\ Langle a | b \ rangle .

Зазвичай передбачається що скалярний твір позитивно визначено, тобто

\ Langle \ mathbf a, \ mathbf a \ rangle> 0 для всіх a \ not = 0 .

Якщо цього не припускати, то твір називається індефінітним.


1. Визначення

Скалярним твором в векторному просторі \ Mathbb L над полем \ Mathbb C називається функція \ Langle x, y \ rangle для елементів x, y \ in \ mathbb L , Приймаюча значення в \ Mathbb C , Визначена для кожної пари елементів і задовольняє таким умовам:

  1. для будь-яких трьох елементів ~ X_1, x_2 і ~ Yпростору \ Mathbb L і будь-яких чисел ~ \ Alpha, \ beta справедливо рівність \ Langle \ alpha x_1 + \ beta x_2, y \ rangle = \ alpha \ langle x_1, y \ rangle + \ beta \ langle x_2, y \ rangle (Лінійність скалярного твори по першому аргументу);
  2. для будь-яких ~ X і ~ Y справедливо рівність \ Langle y, x \ rangle = \ overline {\ langle x, y \ rangle} , Де межа означає комплексне поєднання (ермітових симетричність);
  3. для будь-якого ~ X маємо \ Langle x, x \ rangle \ ge 0 , Причому \ Langle x, x \ rangle = 0 тільки при ~ X = 0 (Позитивна визначеність скалярного твору).

Дійсне лінійний простір зі скалярним добутком називається евклідовим, комплексне - унітарною.


Зауважимо, що з п.2 визначення випливає, що \ Langle x, x \ rangle \ in \ mathbb R дійсне. Тому п.3 має сенс незважаючи на комплексні (в загальному випадку) значення скалярного твори.


2. Елементарне визначення

A B = | A | | B | cos (θ)

Елементарне визначення скалярного твори використовується, коли визначення довжини вектора і кута між векторами введені незалежним чином до введення поняття скалярного твори (як правило, так і поступають при викладі елементарної геометрії). У цьому випадку скалярний твір визначається через довжини співмножників і кут між ними:

\ Langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle = | \ mathbf a | \ cdot | \ mathbf b | \ cdot \ cos \ angle {(\ mathbf a, \ mathbf b)}

Сучасна аксіоматика зазвичай будується починаючи з скалярного твори, і тоді довжина вектора і кут визначаються вже через скалярний твір (див. нижче).


3. Пов'язані визначення

У сучасному аксіоматичному підході вже на основі поняття скалярного твори векторів вводяться такі похідні поняття:

  • Довжина вектора, під якою розуміється вже згадана вище його евклідова норма : \ | \ Mathbf x \ | = \ sqrt {\ langle \ mathbf x, \ mathbf x \ rangle} (Термін 'довжина' зазвичай застосовується до скінченновимірних векторів, проте у разі обчислення довжини криволінійного шляху часто використовується і в разі нескінченновимірних просторів).
  • Кутом між двома векторами ненульовими евклідова простору (зокрема, евклідової площини) називається число, косинус якого дорівнює відношенню скалярного твори цих векторів до добутку їх довжин (норм):
    \ Langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle = | \ mathbf a | | \ mathbf b | \ cos \ phi.
    У випадку, якщо простір є псевдоевклидовой, поняття кута визначається лише для векторів, не містять ізотропних прямих всередині утвореного векторами сектора. Сам кут при цьому вводиться як число, гіперболічний косинус якого дорівнює відношенню модуля скалярного твори цих векторів до добутку їх довжин (норм):
    | \ Langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle | = | \ mathbf a | | \ mathbf b | \ operatorname {ch} \ phi.
  • Ортогональними (перпендикулярними) називаються вектори, скалярний твір яких дорівнює нулю. Це визначення можна застосувати до будь-яких просторів з позитивно певним скалярним твором. Наприклад, ортогональні многочлени насправді ортогональні (в сенсі цього визначення) один одному в деякому гільбертовому просторі.
  • Простір (дійсне або комплексне) з позитивно певним скалярним добутком називається предгільбертовим простором.
  • Випадок, коли скалярний твір не є знакоопределенним, призводить до т. зв. Просторів з індефінітной метрикою. Скалярний добуток в таких просторах вже не породжує норми (і вона зазвичай вводиться додатково). Конечномерное речовий простір з метрикою називається індефінітной псевдоевклидовой (найважливішим приватним випадком такого простору є простір Мінковського). Серед нескінченновимірних просторів з індефінітной метрикою важливу роль відіграють простору Понтрягина і простору Крейна.

4. Приклади

  • У тривимірному речовинному векторному просторі векторів \ Mathbf x = (x_1, x_2, x_3) введення скалярного твори за формулою \ Langle \ mathbf x, \ mathbf y \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 перетворює цей простір в евклидово простір. Аналогічне твердження вірне для евклідового простору будь-якої розмірності (в суму тоді входить кількість членів, рівне розмірності простору).
при розкладанні векторів за яким:
\ Mathbf a = a_1 \ mathbf e_1 + a_2 \ mathbf e_2 + \ dots + a_n \ mathbf e_n ,
\ Mathbf b = b_1 \ mathbf e_1 + b_2 \ mathbf e_2 + \ dots + b_n \ mathbf e_n ітд,
скалярний твір буде виражатися наведеної вище формулою:
\ Langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle = \ mathbf a ^ T \ mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ dots + a_n b_n .


  • У такому ж, але комплексному, просторі, скалярний твір вводиться по кілька іншою формулою: \ Langle \ vec x, \ vec y \ rangle = x_1 \ overline {y_1} + x_2 \ overline {y_2} + x_3 \ overline {y_3} . Тут через \ Overline {a} позначено число, комплексно поєднане до \ A . При такому визначенні скалярний твір стає позитивно визначеним. Без комплексного сполучення аксіома ермітових скалярного твору була б порушена, а значить, матеріальність певної через нього норми вектора домогтися б не вдалося, то є норма в звичайному сенсі їм би не породжувалася.
  • У просторі вимірних інтегруються з квадратами на деякій області Ω речових функцій можна ввести позитивно певний скалярний твір:
\ Langle f, g \ rangle = \ int \ limits_ \ Omega f (x) g (x) d \ Omega
  • В аналогічному випадку для комплексних функцій, якщо потрібно ермітових (і позитивна визначеність) скалярного твори, треба додати комплексне сполучення до f або g під інтегралом.
  • При використанні неортонормірованних базисів скалярний твір виражається через компоненти векторів за участю метричного тензора g i j :
\ Langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle = \ sum g_ {ij} a ^ ib ^ j
при цьому сама метрика (кажучи точніше, її представлення в даному базисі) так пов'язана зі скалярними творами базисних векторів f_i \ :
g_ {ij} = \ langle \ mathbf f_i, \ mathbf f_j \ rangle
  • Аналогічні конструкції скалярного твори можна вводити і на нескінченновимірних просторах, наприклад, на просторах функцій:
\ Langle f, g \ rangle = \ int \ limits_ {(\ Omega_1 \ times \ Omega_2)} K (x_1, x_2) f (x_1) g (x_2) d (\ Omega_1 \ times \ Omega_2)
\ Langle f, g \ rangle = \ int \ limits_ \ Omega K (x) f (x) g (x) d \ Omega
де К - позитивно певна, в першому випадку симетрична щодо перестановки аргументів (при комплексних x - ермітових) функція (якщо потрібно мати звичайне симетричне позитивно певний скалярний твір).

5. Нерівність Коші - Буняковського

Для будь-яких елементів \ Mathbf x і \ Mathbf y лінійного простору зі скалярним добутком виконується нерівність [1]

\ Vert \ langle x, y \ rangle \ vert ^ 2 \ le \ langle x, x \ rangle \ langle y, y \ rangle

6. Застосування

Використання скалярного твори вкрай широко, як в елементарних, так і у вельми абстрактних областях математики, фізики та прикладних наук.

Широко відомі наступні застосування:

  • Будь-які геометричні обчислення (як власне в математиці, так і в додатках), пов'язані з довжинами, кутами, проектуванням, ортогональность.
| BC | ^ 2 = \ vec {BC} ^ 2 = (\ vec {AC} - \ vec {AB}) ^ 2 = \ langle \ vec {AC} - \ vec {AB}, \ vec {AC} - \ vec {AB} \ rangle = \ vec {AC} ^ 2 + \ vec {AB} ^ 2 - 2 \ langle \ vec {AC}, \ vec {AB} \ rangle = | AB | ^ 2 + | AC | ^ 2 - 2 | AB | | AC | \ cos \ hat A
  • Кут між векторами:
\ Alpha = \ arccos \ frac {\ langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle} {\ sqrt {\ langle \ mathbf a, \ mathbf a \ rangle \ langle \ mathbf b, \ mathbf b \ rangle}}
  • Оцінений кута між векторами:
у формулі \ Langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle = | \ mathbf a | \ cdot | \ mathbf b | \ cdot \ cos \ angle {(\ mathbf a, \ mathbf b)} знак визначається тільки косинусом кута (норми векторів завжди позитивні). Тому скалярний твір> 0, якщо кут між векторами гострий, і <0, якщо кут між векторами тупий.
  • Проекція вектора \ Mathbf a на напрям, обумовлений одиничним вектором \ Mathbf e :
a_e = \ langle \ mathbf a, \ mathbf e \ rangle ,
  • умова ортогональності [2] (перпендикулярності) векторів \ Mathbf a і \ Mathbf b :
\ Mathbf a \ bot \ mathbf b \ Leftrightarrow \ langle \ mathbf a, \ mathbf b \ rangle = 0
ітд.
(При цьому технічні можливості обчислень зі скалярними творами, як і взагалі з векторами, значно зростають, якщо використовувати - при бажанні або необхідності - і компонентне подання векторів укупі з компонентним виразом скалярного твору).
  • Площа також виражається через скалярний твір, наприклад, двовимірна площа паралелограма, натягнутого на два вектора \ Mathbf {a} \ і \ Mathbf {b} \ , Дорівнює
\ Sqrt {\ langle \ mathbf {a}, \ mathbf {a} \ rangle \ langle \ mathbf {b}, \ mathbf {b} \ rangle - \ langle \ mathbf {a}, \ mathbf {b} \ rangle ^ 2} \
  • Аналогічні обчислення в геометрізованних теоріях у фізиці (таких, як СТО або ОТО).
  • Розкладання векторів по базису і перехід до нового базису, що є основою багатьох розділів математики і ключовим прийомом ефективного вирішення практичних геометричних задач або практичних завдань, формулируемого мовою лінійної алгебри (що відносяться, наприклад, до статистики).
  • У тому числі, в безконечномірному разі: ряди Фур'є, перетворення Фур'є.
  • В векторному аналізі - обчислення контурних інтегралів, потоків, застосування з оператором Набла.

7. Узагальнення

Найпростішим узагальненням конечномерного скалярного твору в тензорною алгебрі є згортка по повторюваним індексами. Аналогічне узагальнення в принципі неважко зробити і в безконечномірному випадку (Для нескінченновимірних просторів функцій - див. приклади (вище)).

Примітки

  1. Ортонормірованность базису визначається умовою
    \ Langle \ mathbf e_i, \ mathbf e_j \ rangle = \ delta_ {ij} = \ begin {cases} 1, & i = j \ \ 0, & i \ ne j, \ end {cases}
    полягає в рівності нулю скалярних творів різних базисних векторів, наприклад, першого і другого, першого і третього, ітд (ортогональность), і рівність одиниці - скалярного твори кожного базисного вектора з самим собою (нормированность). Зазначені в основному тексті формули виходять прямим перемножуванням векторів, розкладених по такому базису, враховуючи властивості скалярного твори, особливо його білінійної, що дозволяє розкривати дужки ітп як при обчисленнях із звичайними числами.
  2. У абстрактної формулюванні назване умова \ Vec a \ bot \ vec b - Це всього лише визначення ортогональності. Аналогічно, дві формули вище в абстрактній формулюванні також є просто визначеннями відповідних понять через скалярний твір, але вони все можуть з успіхом бути використані в конкретних обчисленнях, наприклад, в елементарній геометрії, незалежно від того, яка система визначень використовується, сучасна абстрактна або традиційна елементарна .

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Скалярний поле
Скалярний потенціал
Скалярний процесор
Твір
Твір Кронекера
Нескінченне твір
Концерт (твір)
Псевдоскалярний твір
Твір мистецтва
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru