Спектральна щільність потужності

Спектральна щільність потужності (СПМ) в фізиці та обробці сигналів - функція, що задає розподіл потужності сигналу по частотам. Її значення має розмірність потужності, діленої на частоту, тобто енергії.


1. Формальне визначення

Нехай x (t) - Сигнал, що розглядається на проміжку часу \ Left [- \ frac {T} {2}, \ frac {T} {2} \ right] . Тоді енергія сигналу на даному інтервалі дорівнює:

E_T = \ int \ limits_ {-T / 2} ^ {T / 2} x ^ 2 (t) \, \ mathrm {d} t

Тоді

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) \ frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} F (j \ omega) e ^ {j \ omega t} \, \ mathrm {d} \ omega \, \ mathrm {d} t =
\ Frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} F (j \ omega) \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {j \ omega t} \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ omega =
\ Frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} F (j \ omega) F ^ {*} (j \ omega) \, \ mathrm {d} \ omega =
\ Frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | F_T (j \ omega) | ^ 2 \, \ mathrm {d} \ omega ,

де F_T (j \ omega) - Спектральна функція сигналу. При T \ to + \ infty , Середня потужність

W = \ frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ lim_ {T \ to + \ infty} \ frac {| F_T (j \ omega) | ^ 2 } {T} \, \ mathrm {d} \ omega .

S (\ omega) = \ lim_ {T \ to + \ infty} \ frac {| F_T (j \ omega) | ^ 2} {T} - Спектральна щільність потужності (функція щільності спектра потужності).

Спектр щільності потужності сигналу зберігає інформацію лише про амплітудах спектральних складових. Інформація про фазі втрачається. Тому всі сигнали з однаковим спектром амплітуд і різними спектрами фаз мають однакові спектри щільності потужності.


2. Методи оцінки

Оцінка СПМ може виконуватися методом перетворення Фур'є, що припускає одержання спектра в області частот за допомогою швидкого перетворення Фур'є (ШПФ). До винаходу алгоритмів ШПФ цей метод через громіздкість прямого обчислення дискретного перетворення Фур'є (ДПФ) практично не використовувався. Перевага віддавалася іншим методам, зокрема, методу кореляційної функції (Блекмен-Тьюкі) і періодограммному методу.


Література

  • Цифрова обробка сигналів: Довідник. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. - М.: Радіо і зв'язок, 1985.
  • Прикладний аналіз часових рядів. Основні методи. Відніс Р., Еноксон Л. - М.: Мир, 1982.