Спеціальна теорія відносності

План:

Введення

1 Створення СТО
2 Основні поняття і постулати СТО
3 Різна запис перетворення Лоренца
4 Наслідки перетворень Лоренца
5 Релятивістська динаміка
6 Коваріантна формулювання
7 Експериментальні підстави СТО
- 7.1 Релятивістське уповільнення часу
- 7.2 Незалежність швидкості світла від руху джерела
8 Історичний нарис
9 Зв'язок з іншими теоріями
10 Примітки
11 Джерела

Література

13.1 Роботи основоположників
13.1.2 Доп. література

Введення

Поштова марка з формулою E = mc ^2, присвячена Альберту Ейнштейну,
одному з творців СТО.

Спеціальна теорія відносності (СТО; також приватна теорія відносності) - теорія, що описує рух, закони механіки і просторово-часові відносини при довільних швидкостях руху, менші швидкості світла в вакуумі, в тому числі близьких до швидкості світла. У рамках спеціальної теорії відносності класична механіка Ньютона є наближенням низьких швидкостей. Узагальнення СТО для гравітаційних полів називається загальною теорією відносності.

Описувані спеціальною теорією відносності відхилення у перебігу фізичних процесів від прогнозів класичної механіки називають релятивістськими ефектами, а швидкості, за яких такі ефекти стають істотними, - релятивістськими швидкостями.

1. Створення СТО

Передумовою для створення теорії відносності з'явилося розвиток в XIX столітті електродинаміки ^[1]. Результатом узагальнення і теоретичного осмислення експериментальних фактів і закономірностей в областях електрики і магнетизму стали рівняння Максвелла, що описують еволюцію електромагнітного поля і його взаємодію з зарядами і струмами. У електродинаміки Максвелла швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі не залежить від швидкостей руху як джерела цих хвиль, так і спостерігача, і дорівнює швидкості світла. Таким чином, рівняння Максвелла виявилися неінваріантнимі щодо перетворень Галілея, що суперечило класичної механіки.

Спеціальна теорія відносності була розроблена на початку XX століття зусиллями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Ейнштейна та інших вчених ^[2] (див. нижче історичний нарис). Експериментальною основою для створення СТО послужив досвід Майкельсона. Його результати виявилися несподіваними для класичної фізики свого часі: незалежність швидкості світла від напряму ( ізотропності) і орбітального руху Землі навколо Сонця. Спроба інтерпретувати цей результат на початку XX століття вилилася у перегляд класичних уявлень, і призвела до створення спеціальної теорії відносності.

При русі з околосветовой швидкостями видозмінюються закони динаміки. Другий закон Ньютона, що зв'язує силу і прискорення, має бути модифікований при швидкостях тіл, близьких до швидкості світла. Крім цього, вираз для імпульсу і кінетичної енергії тіла має складнішу залежність від швидкості, ніж в нерелятивістському випадку.

Спеціальна теоріявідносності отримала численні підтвердження на досвіді і є вірною теорією в свою область застосовності ^[3] (див. Експериментальні підстави СТО). За влучним зауваженням Л. Пейджа, "в наш вік електрики обертається якір кожного генератора і кожного електромотора невпинно проголошує справедливість теорії відносності - потрібно лише вміти слухати" ^[4].

Фундаментальність спеціальної теорії відносності для фізичних теорій, побудованих на її основі, призвела в даний час до того, що сам термін "спеціальна теорія відносності" практично не використовується в сучасних науковців статтях, зазвичай говорять лише про релятивістської інваріантності окремої теорії .

2. Основні поняття і постулати СТО

Спеціальна теорія відносності, як і будь-яка інша фізична теорія, може бути сформульована з урахуванням із основних понять та постулатів (аксіом) плюс правила відповідності її фізичним об'єктам.

2.1. Основні поняття

Система відліку являє собою деяке матеріальне тіло, обиране в якості початку цієї системи, спосіб визначення положення об'єктів відносно початку системи відліку і спосіб вимірювання часу. Зазвичай розрізняють системи відліку і системи координат. Додавання процедури вимірювання часу до системи координат перетворює" її в систему відліку.

Інерціальна система відліку (ІСО) - то така система, щодо якої об'єкт, не схильний до зовнішніх впливів, рухається рівномірно і прямолінійно. Постулюється, що будь-яка система відліку, що рухається щодо даної інерціальної системи рівномірно і прямолінійно, також є ІСО.

Подією називається будь фізичний процес, який може бути локалізований в просторі, і має при цьому дуже малу тривалість. Іншими словами, подія повністю характеризується координатами (x, y, z) і моментом часу t. Прикладами подій є: спалах світла, положення матеріальної точки в даний момент часу і т. п.

Зазвичай розглядаються дві інерціальні системи S і S '. Час і координати деякого події, виміряні відносно системи S позначаються як (t, x, y, z), а координати і час цієї ж події, виміряні відносно системи S ', як (t', x ', y', z '). Зручно вважати, що координатні осі систем паралельні один одному і система S 'рухається вздовж осі x системи S зі швидкістю v. Одним із завдань СТО є пошук співвідношень, що пов'язують (t ', x', y ', z') і (t, x, y, z), які називаються перетвореннями Лоренца.

2.2. Синхронізація часу

У СТО постулюється можливість визначення єдиного часу в межах даної інерціальної системи відліку. Для цього вводиться процедура синхронізації двох годин, що знаходяться в різних точках ІСО ^[5]. Нехай від перших годин, у момент часу t ₁ до других надсилається сигнал (не обов'язково світловий) з постійною швидкістю u . Відразу після досягнення другий часовий (за їх показниками в момент часу T ) Сигнал відправляється назад з тієї ж постійною швидкістю u і досягає перших годин в момент часу t ₂ . Годинники вважаються синхронізованими, якщо виконується співвідношення T = (t ₁ + t ₂₎ / ₂ .

Передбачається, що така процедура в цiй інерціальній системі відліку може бути проведена для будь-яких нерухливих відносно один одного годин, так що справедливо властивість транзитивності : якщо годинник A синхронізовані з годинником B, а годинник B синхронізовані з годинником C, то годинник і A C також виявляться синхронізованими.

На відміну від класичної механіки єдине час можна ввести тільки в межах даної системи відліку. У СТО не передбачається, що час є загальним для різних систем. У цьому полягає основна відмінність аксіоматики СТО від класичній механіки, в якій постулюється існування єдиного (абсолютного) часу для всіх систем відліку.

2.3. Лінійність перетворень

Найпростішими перетвореннями між двома ІСО є лінійні. Наприклад, для координати x і часу t можна записати:

$t '= A_1 + B_1 \, t + C_1 \, x ,~~~~~~~~~~~~~~~ x' = A_2 + B_2 \, t + C_2 \, x,$

де A _i, B _i, C _i - Деякі коефіцієнти постійні, які можуть залежати від єдиної параметру - відносної швидкості v . Лінійність перетворень зазвичай ^[6] ^[7] зв'язується з однорідністю простору і часу.

Взагалі кажучи, можна показати, що в загальному випадку перетворення між двома ІСО повинні бути дрібно-лінійними функціями координат і часу з однаковим знаменником ^[8] ^[9]. Для цього досить використовувати визначення ІСО : якщо якийсь тіло має постійну швидкість відносно однієї інерціальної системи відліку, то її швидкість буде постійна і щодо будь-якої іншої ІСО.

Для отримання лінійних перетворень необхідно виконання сильнішого вимоги: якщо два об'єкти мають однакові швидкості щодо однієї інерціальної системи відліку, то їх швидкості будуть рівні і в якійсь іншій інерціальної системі ^[10].

2.4. Узгодження одиниць виміру

Щоб вимірювання, виконані в різних ІСО, можна було між собою порівнювати, необхідно провести узгодження одиниць виміру між системами відліку. Так, одиниці довжини можуть бути погоджені за допомогою порівняння еталонів довжини в перпендикулярному напрямку до відносного руху інерціальних системвідліку ^[11]. Наприклад, це може бути найкоротший відстань між траєкторіями двох частинок, що рухаються паралельно осям x і x 'і мають різні, але постійні координати (y, z) і (y', z '). Тому при відносному русі вздовж осі x систем можна вважати, що y '= y, z' = z.

Для узгодження одиниць вимірювання часу можна використовувати ідентично влаштовані годинники, наприклад, атомні. Інший спосіб погодження одиниць часі - цю угоду про деякому значенні відносній швидкості систем відліку. Якщо початок системи S '(x' = 0) рухається зі швидкістю v уздовж осі x системи S, то його траєкторія в цій системі буде мати вигляд x vt =. Аналогічно, початок системи відліку S (x = 0) рухається щодо S 'зі швидкістю v-, тому має траєкторію x' =- vt '. При цьому подія збіги почав відліку систем вибирається за початковий момент часу (t '= t = 0, коли x' = x = 0). Ці угоди дозволяють записати перетворення в наступному виді:

$t '= \ gamma (v) \ bigl (t-\ sigma (v) \, x \ bigr ),~~~~~~~~~~~~ x' = \ gamma (v) \ bigl (xv \ , t \ bigr ),~~~~~~~ y '= y ,~~~~~~~~ z' = z,$

де коефіцієнти γ (v) , σ (v) залежать від відносної швидкості систем відліку і для свого визначення вимагають додаткових припущень.

2.5. Ізотропності простору

Простір в інерціальних системах відліку передбачається ізотропним (нема виділених напрямків). Це призводить до того що γ (v) є парної функцією швидкості: γ (- v) = γ (v) .

Розглянемо, наприклад, вимір довжини деякого об'єкту (лінійка), нерухомого у системі відліку S '. Якщо одночасно (Δ t = 0) в системі S виміряти координати "початку" і "кінця" лінійки, то її довжина Δ x '= γ (v) Δ x має залежати від напрямку (знака) швидкості v , Звідки випливає, що функція γ (v) є парною.

2.6. Принцип відносності

Ключовим для аксіоматики спеціальній теорії відносності є принцип відносності, який стверджує рівноправність інерціальних систем відліку. Це означає, що всі фізичні процеси в інерціальних системах відліку описуються однаковим чином. Разом з іншими постулатами, перерахованими вище, принципу відносності достатньо, щоб отримати явний вид перетворень координат і часу між ІСО ^[10] ^[12] ^[13].

Для цього необхідно розглянути три інерціальні системи S1, S2 і S3. Нехай швидкість системи S2 щодо системи S1 дорівнює v ₁ , Швидкість системи S3 щодо S2 дорівнює v ₂ , А щодо S1, відповідно, v ₃ . Записуючи послідовність перетворень (S2, S1), (S3, S2) і (S3, S1), можна отримати наступне рівність ^[10] :

$\ Frac {\ sigma (v_1)} {v_1} = \ frac {\ sigma (v_2)} {v_2} = \ alpha.$

Доказ

Перетворення (S2, S1) (S3, S2) мають вигляд:

$\ Left \ {\ begin {array} {lcl} x_2 & = & \ gamma_1 \ cdot [x_1 - v_1 \, t_1 \,] \ \ t_2 & = & \ gamma_1 \ cdot [t_1 - \ sigma_1 \, x_1] \ end { array} \ right. ~~~~~~~~~~~~~~ \ Left \ {\ begin {array} {} lcl x_3 & & = \ gamma_2 \ cdot [x_2 - v_2 \, t_2 \,] \ \ t_3 & & = \ gamma_2 \ cdot [t_2 - \ sigma_2 \, x_2], \ end {array} \ right.$

де γ ₁ = γ (v ₁₎ , І т.д. Підстановка (X ₂ t ₂₎ з першої системи в другу, дает:

$\ Left \ {\ begin {array} {lclcl} x_3 & = & \ gamma_2 \ gamma_1 \ cdot [(1 + v_2 \ sigma_1) \, x_1 - (v_1 + v_2) \, t_1 ~] & = & \ gamma_3 \ cdot [x_1-v_3 \, t_1] \ \ t_3 & = & \ gamma_2 \ gamma_1 \ cdot [(1 + v_1 \ sigma_2) \, t_1 \, - (\ sigma_1 + \ sigma_2) \, x_1] & = & \ gamma_3 \ cdot [t_1-\, \ sigma_3 \, x_1]. \ End {array} \ right.$

Друге рівність є записом перетворень між системами S3 і S1. Якщо прирівняти коефіцієнти при x ₁ у першому рівнянні системи і при t ₁ в другому, то:

$\ Left \ {\ begin {array} {l} \ gamma_3 = (1 + v_2 \ sigma_1) \ gamma_1 \ gamma_2 \ \ \ gamma_3 = (1 + v_1 \ sigma_2) \ gamma_1 \ gamma_2, \ end {array} \ right .$

Разделив одно уравнение на другое, несложно получить искомое соотношение.

Так як відносні швидкості систем відліку v ₁ і v ₂ произвольные и независимые величины, то это равенство будет выполняться только в случае, когда отношение σ (v) / v одно деякою константі α , Єдиної для всіх інерційних систем відліку, і, отже, $\ Sigma (v) = \ alpha \, v$ .

Существование обратного преобразования между ИСО, отличающегося от прямого только заменой знака относительной скорости, позволяет найти функцию $\gamma(v)=1/\sqrt{1-\alpha\,v^2}$ .

Доказ

В силу принципа относительности две инерциальные системы отсчёта S и S' полностью равноправны. Поэтому должно существовать обратное преобразование от S' к S, в котором перед скоростью должен быть знак минус:

$x = \gamma(-v) [x'+v\, t'] = \gamma(-v)\gamma(v)[1- \alpha\,v^2 ]\,x,$

У другому рівність підставлено пряме перетворення:

$x'=\gamma(v)(x-vt),~~~~~~~~~ t'=\gamma(v)(t-\sigma(v)x)$

и учтено, что $\ Sigma (v) = \ alpha \, v$ Скориставшись властивістю парності γ (v) (Аксіома изотропности), несложно получить, что $\ Gamma ^ 2 = 1 / (1 - \ alpha \, v ^ 2)$ . Виймання квадратного корня необходимо выбрать знак плюс, чтобы, например, время событий, происходящих в точке x=0, были положительными t '= γ (v) t при t> 0 (время "течёт" в одну сторону).

Таким образом, с точностью до произвольной константы α , Виходить явний вид перетворень між двома ІСО. Про чисельному значенні константи α и её знаке без обращения к експерименту нічого сказати не можна ^[14]. Якщо α> 0 , То зручно ввести позначення α = 1 / c ² . Тоді перетворення приймають наступний вигляд:

$t'=\frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~~~~x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~~~z'=z.$

і називаються перетвореннями Лоренца. Из дальнейшего анализа станет ясно, что константа $c \,$ имеет смысл максимальной скорости движения любого объекта. Подобный вывод преобразований Лоренца стал известен спустя 5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам Игнатовского ^[12], Франка и Роте ^[8] (см. історичний нарис).

2.7. Постулат сталості швидкості світла

Исторически важную роль при построении СТО сыграл второй постулат Эйнштейна, утверждающий, что швидкість світла c не зависит от скорости движения источника и одинакова во всех інерціальних системах відліку. Именно при помощи этого постулата и принципа относительности Альберт Эйнштейн в 1905 г. получил перетворення Лоренца з фундаментальною константою c , имеющей смысл швидкості світла. С точки зрения описанного выше аксиоматического построения СТО второй постулат Эйнштейна оказывается теоремой теории и непосредственно следует из перетворень Лоренца (див. релятивістське складання швидкостей). Тем не менее, в силу его исторической важности, такой вывод преобразований Лоренца широко используется в учебной литературе ^[6] ^[7] ^[15].

Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хоча неінваріантность рівнянь Максвелла щодо преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальна константа c , возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт связан с безмассовостью электромагнитных полей. Даже если бы фотон мав відмінну від нуля масу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость c та швидкість світла c _{e m} ^[16]. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаємодії. Чтобы измерить фундаментальную скорость c , нет необходимости проводить електродинамічні експерименти. Достаточно, воспользовавшись, например, релятивистским правилом сложения скоростей по значениям скорости некоторого объекта относительно двух ИСО, получить значение фундаментальной скорости c ^[17].

2.8. Несуперечність теорії відносності

Теория относительности является логически непротиворечивой теорией. Это означает, что из её исходных положений нельзя логически вывести некоторое утверждение одновременно с его отрицанием. Поэтому множество так называемых парадоксов (подобных парадоксу близнецов) являются кажущимися. Они возникают в результате некорректного применения теории к тем или иным задачам, а не в силу логической противоречивости СТО.

Справедливість теорії відносності, як і будь-якій іншій фізичній теорії у кінцевому підсумку перевіряється емпірично. Крім цього, логічна несуперечність СТО може бути доведена аксіоматично. Наприклад, у рамках групового підходу ^[18] ^[19] ^[20] ^[21] ^[22] показується, що перетворення Лоренца можуть бути отримані на основі підмножини аксіом класичної механіки. Цей факт зводить доказ несуперечності СТО до доведення несуперечності класичної механіки. Дійсно, якщо наслідки з більш широкої системи аксіом є несуперечливими, то вони тим більше, будуть суперечити одна одній при використанні лише частини аксіом ^[23]. З точки зору логіки суперечності можуть виникати, коли до вже існуючих аксіомам додається нова аксіома, що не узгоджується з вихідними. У аксіоматичному побудові СТО, описаному вище цього не відбувається, тому СТО є несуперечливої теорії ^[10].

2.9. Геометричний підхід

Можливі інші підходи до побудови спеціальної теорії відносності. Слідуючи Минковскому і більше ранній роботі Пуанкаре, можна постулювати існування єдиного метричного чотиривимірного простору-часу з 4-координатами (C t, x, y, z) . У простому випадку плоского простору метрика, що визначає відстань між двома нескінченно близькими точками, може бути евклідової або псевдоевклидовой (див. нижче). Останній випадок відповідає спеціальної теорії відносності. Перетворення Лоренца при цьому є поворотами в такому просторі, які залишають незмінним відстань між двома точками.

Можливий ще один підхід, в якому підтверджується геометрична структура простору швидкостей. Кожна точка такого простору є певною інерціальній системі відліку, а відстань між двома точками - модулю відносній швидкості між ІСО. В силу принципу відносності усі крапки такого простору мають бути рівноправними, а отже, простір швидкостей є однорідним і ізотропним. Якщо його властивості задаються римановой геометрією, то існує три і тільки три можливості: плоске простору, простір постійної позитивної і негативної кривизни. Перший випадок відповідає класичному правилу додавання швидкостей. Простір постійної негативної кривизни ( простір Лобачевського) відповідає релятивістському правилом додавання швидкостей та спеціальної теорії відносності.

3. Різна запис перетворення Лоренца

Нехай координатні осі двох інерційних систем відліку S і S 'паралельні один одному, (t, x, y, z) - час і координати деякого події, що спостерігається щодо системи S, а (t ", x ', y', z ') - час і координати того ж події щодо системи S'. Якщо система S 'рухається рівномірно і прямолінійно зі швидкістю v відносно S, то справедливі перетворення Лоренца :

$t '= \ frac {t-\ frac {\ displaystyle v} {\ displaystyle c ^ 2} \, x} {\ sqrt {1 - \ frac {\ displaystyle v ^ 2} {\ displaystyle c ^ 2}}} ,~~~~~~~~~~~ x '= \ frac {x-vt} {\ sqrt {1 - \ frac {\ displaystyle v ^ 2} {\ displaystyle c ^ 2 }}},~~~ ~~~~~~~~ y '= y ,~~~~~~~~~~~ z' = z,$

де c -Швидкість світла. При скоростях много меньше скорости света ( $v \ ll c$ ) Перетворення Лоренца переходять в перетворення Галілея :

t'=t,~~~~~~~~~~~ x'=x-vt,~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z.

Подібний граничний перехід є відображенням принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае - класичну механіку).

Преобразования Лоренца можно записать в векторном виде ^[24], когда скорость систем отсчёта направлена в произвольном направлении (не обязательно вдоль оси x ):

$t'=\gamma\cdot \left(t-\frac{\mathbf{r}\mathbf{v}}{c^2}\right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \gamma\mathbf{v} t + (\gamma-1)\,\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v}) \mathbf{v}}{v^2}.$

де $\ Gamma = 1 / \ sqrt {1 - \ mathbf {v} ^ 2 / c ^ 2}$ - Фактор Лоренца, $\ Mathbf {r}$ і $\ Mathbf {r} '$ - радиус-векторы события относительно систем S и S'.

4. Наслідки перетворень Лоренца

4.1. Додавання швидкостей

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Якщо певний об'єкт має компоненти швидкості $(U_x, u_y, u_z) \,$ щодо системи S і $(U'_x, u'_y, u'_z) \,$ - относительно S', то между ними существует следующая связь:

$u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},~~~~~~~~~~ u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2},~~~~~~~~~~ u'_z=\frac{u_z\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2}.$

В этих соотношениях относительна скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивістське складання швидкостей, як і перетворення Лоренца, при малих швидкостях ( $v \ ll c$ ) Переходить в класичний закон додавання швидкостей.

Если объект движется со скоростью света $u_x = c \$ вздовж осі x щодо системи S, то така ж швидкість у нього буде і щодо S ': $u'_x = c \$ . Це означає, що швидкість $c \,$ является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

4.2. Уповільнення часу

Если часы неподвижны в системе $\ Textstyle S '$ , то для двух последовательных событий имеет место $\textstyle \Delta x'=0$ . Такие часы перемещаются относительно системы $\ Textstyle S$ за законом $\ Textstyle \ Delta x = v \ Delta t$ , поэтому интервалы времени связаны следующим образом:

$\ Delta t '= \ Delta t \ cdot \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2}.$

Важливо розуміти, що в цій формулі інтервал часу $\ Textstyle \ Delta t '$ измеряется одними движущимися часами $\ Textstyle S '$ . Он сравнивается с показаниями $\textstyle \Delta t$ нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе $\ Textstyle S$ , мимо которых движутся часы $\ Textstyle S '$ . В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы $\ Textstyle S '$ идут медленнее неподвижных часов. З цим ефектом пов'язаний так званий парадокс близнят.

Если часы движутся с переменной скоростью $\mathbf{u}(t)$ относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т. н. собственное время), не зависит от ускорения, и может быть вычислено по следующей формуле:

$t'=\int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c^2}\cdot dt,$

где при помощи интегрирования, суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т. н. мгновенно сопутствующих ИСО).

4.3. Відносність одночасності

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта $S'\$ , то они будут неодновременны относительно "неподвижной" системы $S\$ . При Δ t ' = 0 из преобразований Лоренца следует

$\Delta t = \frac{v}{c^2} \Delta x.$

Якщо Δ x = x ₂ − x ₁ > 0 , то и Δ t = t ₂ − t ₁ > 0 . Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого ( t ₂ > t ₁) . Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

С точки зрения системы S

С точки зрения системы S'

Пусть в двух системах отсчёта, вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения "центральных" часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время.

Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают "центральные" часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S' (правый рисунок).

4.4. Сокращение линейных размеров

Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно "неподвижной" системы отсчёта сокращаются:

$l = l_0 \sqrt{1 - (v/c)^2}\$ ,

де $l = \Delta x\$ - длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а $l_0 = \Delta x'\$ - длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т. н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются.

Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением. При визуальном наблюдении движущихся тел, дополнительно к лоренцевому сокращению необходимо учитывать время распространения светового сигнала от поверхности тела. В результате быстро движущееся тело выглядит повёрнутым, но не сжатым в направлении движения.

4.5. Эффект Доплера

Пусть источник, движущийся со скоростью v, излучает со скоростью света периодический сигнал, имеющий частоту ν ₀ . Эта частота измеряется наблюдателем, связанным с источником (т. н. собственная частота). Если этот же сигнал регистрируется "неподвижным" наблюдателем, то его частота ν будет отличаться от собственной частоты:

$\nu = \nu_0 \cdot \dfrac {\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{1+\dfrac{v}{c} \cdot \cos \theta}$

де θ - угол между направлением на источник и его скоростью.

Различают продольный и поперечный эффект Доплера. В первом случае θ = 0 , то есть источник и приёмник находятся на одной прямой. Если источник движется от приёмника, то его частота уменьшается ν < ν ₀ (красное смещение), а если приближается, то частота увеличивается ν > ν ₀ (синее смещение):

Поперечный эффект возникает, когда θ = π / 2 , то есть направление на источник перпендикулярно его скорости (например, источник "пролетает над" приёмником). В этом случае непосредственно проявляется эффект замедления времени:

$\nu = \nu_0 \cdot \sqrt{1-v^2/c^2}.$

Аналога поперечного эффекта в классической физике нет, и это чисто релятивистский эффект. В отличие от этого, продольный эффект Доплера обусловлен как классической составляющей, так и релятивистским эффектом замедления времени.

4.6. Аберрация

Аберрация света является видимым смещением объекта при относительном движении наблюдателя и этого объекта. Пусть в системе отсчёта S' источник света неподвижен, и находится под углом θ' к оси x'. Тогда в системе S, относительно которой система S' движется вдоль оси x со скоростью v, направление на этот источник света составит угол θ . В соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей, эти два угла связаны следующим образом:

$\cos \theta = \frac{\cos \theta' - \beta}{1- \beta\cos\theta'},~~~~~~~~~~~~ \sin \theta = \frac{\sqrt{1-\beta^2}\cdot \sin \theta'}{1- \beta\cos\theta'},$

де β = v / c .

5. Релятивистская динамика

5.1. Энергия и импульс

Релятивистский и классический импульс, m=1

Если частица с массой m движется со скоростью $\mathbf{u}$ , то её энергия и импульс имеют следующую зависимость от скорости:

$E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle \mathbf{u}^2}{\displaystyle c^2}}}, ~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} = \frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle \mathbf{u}^2}{\displaystyle c^2}}}.$

Эти соотношения обобщают классические выражения для энергии и импульса, получающиеся в результате разложения в ряд по $\mathbf{u}^2/c^2$ :

$E \approx mc^2 + \frac{m \mathbf{u}^2}{2}+..., ~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} \approx m\mathbf{u}+...$

При нулевой скорости, энергия частицы называется энергией покоя: $E_0 = mc^2\$ . В современной физической литературе, принято, что m - масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной. Понятие "релятивистской массы", зависящей от скорости $m(\mathbf{u})$ не используется ^[25], хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму: $\mathbf{p}= m(\mathbf{u})\,\mathbf{u}$ .

При приближении скорости тела к скорости света, его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой "обычные" объекты неспособны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости u=c/4, относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3 %.

Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие связи:

$E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4,~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{u}.$

Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса должна быть равна нулю m = 0 .

5.2. Уравнения движения

Действующая на тело сила $\mathbf{F}$ изменяет его импульс. Поэтому второй закон Ньютона в форме

$\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}$

остаётся справедливым также и в теории относительности. Однако, производная по времени берётся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической:

$\mathbf{F} = \frac{m\mathbf{a}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}+\frac{m\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\mathbf{a})/c^2}{(1-\mathbf{u}^2/c^2)^{3/2}}.$

Первое слагаемое содержит "релятивистскую массу" равную отношению силы к ускорению. В ранних работах по теории относительности её называли "продольной массой". Второе слагаемое содержит "поперечную массу". Как было отмечено выше, эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое уравнение движения Ньютона $\mathbf{F} =m\mathbf{a}$ .

Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела:

$\frac{dE}{dt}= \mathbf{u}\mathbf{F}.$

Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы перпендикулярная к скорости частицы не изменяет её энергию (например, магнитная составляющая в силе Лоренца).

5.3. Преобразования энергии и импульса

Аналогично преобразованиям Лоренца для времени и координат, релятивистские энергия и импульс, измеренные относительно различных инерциальных систем отсчёта, также связаны определёнными соотношениями:

где компоненты вектора импульса $\mathbf{p}\$ равны $(p_x, p_y, p_z)\,$ . Относительная скорость и ориентация инерциальных систем отсчёта S, S' определены также как и в преобразованиях Лоренца.

6. Ковариантная формулировка

6.1. Четырёхмерное пространство-время

Преобразования Лоренца оставляют инвариантной (неизменной) следующую величину, называемую интервалом :

$\Delta s^2 = c^2 \Delta t^2_{} - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2,$

де $\Delta t=t_2-t_1,~\Delta x=x_2-x_1$ , и т. д. - являются разностями времён и координат двух событий. Якщо Δ s ² > 0 , то говорят, что события разделены времениподобным интервалом; если Δ s ² < 0 , то пространственноподобным. Наконец, если Δ s ² = 0 , то такие интервалы называются светоподобными. Светоподобный интервал соответствует событиям, связанным сигналом, который распространяется со скоростью света. Инвариантность интервала означает, что он имеет одинаковое значение относительно двух инерциальных систем отсчёта: Δ s ² = Δ s ' ².

Световой конус

По своей форме интервал напоминает расстояние в евклидовом пространстве. Однако, он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события, поэтому говорят, что интервал задаёт расстояние в псевдоевклидовом четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем Минковского. Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве. Вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся систему отсчета и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. При этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал) лежат на так называемом световом конусе (см. рисунок справа).

6.2. Метрический тензор

Расстояние между двумя бесконечно близкими событиями можно записать при помощи метрического тензора g _αβ в тензорном виде:

$ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha\,dx^\beta,$

де ( x ⁰, x ¹, x ², x ³) = ( c t, x, y, z) , а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 0 до 3. В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрический тензор имеет следующий вид:

$g_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right).$

Кратко эта диагональная матрица обозначается таким образом: $g_{ab}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$ .

Выбор недекартовой системы координат (например, переход к сферическим координатам) или рассмотрение неинерциальных систем отсчёта приводит к изменению значений компонент метрического тензора. Однако, в рамках специальной теории относительности, всегда существует преобразование координат и времени, которое делает метрический тензор диагональным, с сигнатурой $g_{ab}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$ . Эта физическая ситуация соответствует переходу в инерциальную систему отсчёта с декартовыми координатами. Другими словами четырёхмерное пространство-время специальной теории относительности является плоским (псевдоевклидовым). В отличие от этого, общая теория относительности (ОТО) рассматривает искривлённые пространства, в которых метрический тензор никаким преобразованием координат нельзя привести к псевдоевклидовому виду во всём пространстве.

6.3. 4-вектор

Соотношения СТО могут быть записаны в тензорном виде при помощи введения вектора с четырьмя компонентами A ^α = ( A ⁰, A ¹, A ², A ³) (цифра или индекс вверху компоненты является её номером, а не степенью!). Нулевую компоненту 4-вектора называют временно́й, а компоненты с индексами 1,2,3 - пространственными. Они соответствуют компонентам обычного трёхмерного вектора, поэтому, 4-вектор обозначается также следующим образом: $A^\alpha=(A^0, \mathbf{A})$ .

Компоненты 4-вектора, измеренные относительно двух инерциальных систем отсчёта, движущихся с относительной скоростью v , связаны друг с другом следующим образом:

$A'^0=\frac{A^0-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c}\,A^1}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~ A'^1=\frac{A^1-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c} A^0}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~A'^2=A^2,~~~~~~~~~~~A'^3=A^3.$

Примерами 4-векторов являются: точка в псевдоевклидовом пространстве-времени x ^α , характеризующая событие и энергия-импульс p ^α :

$x^\alpha = (ct, x,y,z)=(ct, ~\mathbf{r}),$

$p^\alpha = (E/c, p_x,p_y,p_z)=(E/c, ~\mathbf{p}).$ .

При помощи метрического тензора можно ввести т. н. ковекторы, которые обозначаются той же буквой, но с нижним индексом:

A _α = g _αβ A ^β = g _α0 A ⁰ + g _α1 A ¹ + g _α2 A ² + g _α3 A ³.

Для диагонального метрического тензора с сигнатурой g _αβ = diag(1, − 1, − 1, − 1) , ковектор отличается от 4-вектора знаком перед пространственными компонентами. Так, если $A^\alpha=(A^0, \mathbf{A})$ , то $A_\alpha=(A^0, -\mathbf{A})$ . Свёртка вектора и ковектора является инвариантом и имеет одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчёта:

$g_{\alpha\beta}A^{\alpha} A^{\beta}= A_\alpha A^\alpha = (A^0)^2-\mathbf{A}^2 = \mathrm{inv}.$

Например, свёртка (квадрат - 4-вектора) энергии-импульса пропорциональна квадрату массы частицы:

$p^2=p_\alpha p^\alpha = \frac{E^2}{c^2}-\mathbf{p}^2 = m^2 c^2$ .

7. Экспериментальные основания СТО

Специальная теория относительности лежит в основе всей современной физики. Поэтому какого-либо отдельного эксперимента, "доказывающего" СТО, нет. Вся совокупность экспериментальных данных в физике высоких энергий, ядерной физике, спектроскопии, астрофизике, электродинамике и других областях физики согласуется с теорией относительности в пределах точности эксперимента. Например, в квантовой электродинамике (объединение СТО, квантовой теории и уравнений Максвелла) значение аномального магнитного момента электрона совпадает с теоретическим предсказанием с относительной точностью 10 ^{− 9} ^[26].

Фактически СТО является инженерной наукой. Её формулы используются при расчёте ускорителей элементарных частиц. Обработка огромных массивов данных по столкновению частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями в электромагнитных полях, основана на законах релятивистской динамики, отклонения от которых обнаружено не было. Поправки, следующие из СТО и ОТО, используются в системах спутниковой навигации (GPS). СТО лежит в основе ядерной энергетики, и т. д.

Всё это не означает, что СТО не имеет пределов применимости. Напротив, как и в любой другой теории, они существуют, и их выявление является важной задачей экспериментальной физики. Например, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО) рассматривается обобщение псевдоевклидового пространства СТО на случай пространства-времени, обладающего кривизной, что позволяет объяснить большую часть астрофизических и космологических наблюдаемых данных. Существуют попытки обнаружить анизотропию пространства и другие эффекты, которые могут изменить соотношения СТО ^[27]. Однако необходимо понимать, что если они будут обнаружены, то приведут к более общим теориям, предельным случаем которых снова будет СТО. Точно так же при малых скоростях верной остаётся классическая механика, являющаяся частным случаем теории относительности. Вообще, в силу принципа соответствия, теория, получившая многочисленные экспериментальные подтверждения, не может оказаться неверной, хотя, конечно, область её применимости может быть ограничена.

Ниже приведены только некоторые эксперименты, иллюстрирующие справедливость СТО и её отдельных положений.

7.1. Релятивистское замедление времени

То, что время движущихся объектов течёт медленнее, получает постоянное подтверждение в экспериментах, проводимых в физике высоких энергий. Наприклад, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе в CERN ^[28] с точностью $2\cdot 10^{-3}$ увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В данном эксперименте скорость мюонов была равна 0.9994 от скорости света, в результате чего время их жизни увеличилось в 29 раз. Этот эксперимент важен также тем, что при 7-метровом радиусе кольца ускорение мюонов достигало значений 10 ¹⁸ від ускорения свободного падения. Это в свою очередь, свидетельствует о том, что эффект замедления времени обусловлен только скоростью объекта и не зависит от его ускорения.

Измерение величины замедления времени проводилось также с макроскопическими объектами. Например, в эксперименте Хафеле - Китинга проводилось сравнение показаний неподвижных атомных часов, и атомных часов, летавших на самолёте.

7.2. Независимость скорости света от движения источника

На заре возникновения теории относительности определённую популярность получили идеи Вальтера Ритца о том, что отрицательный результат опыта Майкельсона может быть объяснён при помощи баллистической теории ^[7]. В этой теории предполагалось, что свет со скоростью c излучается относительно источника, и происходит сложение скорости света и скорости источника в соответствии с классическим правилом сложения скоростей. Естественно, эта теория противоречит СТО.

Астрофизические наблюдения являются убедительным опровержением подобной идеи. Например, при наблюдении двойных звёзд, вращающихся относительно общего центра масс, в соответствии с теорией Ритца происходили бы эффекты, которые на самом деле не наблюдаются (аргумент де Ситтера). Действительно, скорость света ("изображения") от звезды, приближающейся к Земле, была бы выше скорости света от удаляющейся при вращении звезды. При большом расстоянии от двойной системы более быстрое "изображение" существенно обогнало бы более медленное. В результате, видимое движение двойных звёзд выглядело бы достаточно странным, что не наблюдается.

Иногда встречается возражение, что гипотеза Ритца "на самом деле" верна, но свет при движении сквозь межзвёздное пространство переизлучается атомами водорода, имеющими в среднем нулевую скорость относительно Земли, и достаточно быстро приобретает скорость c .

Однако, если бы это было так, возникала бы существенная разница в изображении двойных звёзд в различных диапазонах спектра, так как эффект "увлечения" средой света существенно зависит от его частоты ^[29].

У дослідах Томашек (1923 р.) за допомогою интерферометра сравнивались интерференционные картины от земных и внеземных источников (Сонце, Місяць, Юпитер, звёзды Сіріус і Арктур ). Все эти объекты имели различную скорость относительно Земли, однако смещения интерференционных полос, ожидаемых в модели Ритца, обнаружено не было. Ці експерименти в подальшому неодноразово повторювалися. Например, в эксперименте Бонч-Бруевича М. А. и Молчанова В. А. (1956 г.) измерялась скорость света от различных краёв вращающегося Солнца. Результати цих експериментів також суперечать гіпотезі Рітца ^[30].

Независимость скорости света от скорости источника регистрируется и в наземных экспериментах. Наприклад, проводилося вимірювання швидкості пари фотонів, що виникають при анігіляції електрона і позитрона, центр масс которых двигался со скоростью, равной половине швидкості світла. С экспериментальной точностью 10 % сложение скорости света и скорости источника обнаружено не было ^[31] ^[32] ^[33].

8. Исторический очерк

9. Связь с другими теориями

9.1. Гравітація

Для описания гравитации разработано особое расширение теории относительности, в котором допускается кривизна пространства-времени. Тем не менее, динамика даже в рамках СТО может включать гравитационное взаимодействие, пока потенциал гравитационного поля много меньше c ² .

Следует также заметить, что специальная теория относительности перестает работать в масштабах всей Вселенной, требуя замены на ОТО.

9.2. Класична механіка

Теория относительности входит в существенное противоречие с некоторыми аспектами класичної механіки. Наприклад, парадокс Еренфеста показує несумісність СТО з поняттям абсолютно твёрдого тела. Надо отметить, что даже в классической физике предполагается, что механическое воздействие на твёрдое тіло поширюється зі швидкістю звука, а отнюдь не с бесконечной (как должно быть в воображаемой абсолютно твёрдой среде).

9.3. Квантова механіка

Спеціальна теорія відносності (на відміну від загальної) повністю сумісна з квантовою механікою. Їх синтезом є релятивістська квантова теорія поля. Однак, обидві цілком теорії незалежні друг від друга. Можливо побудова як квантової механіки, заснованої на нерелятивістському принципі відносності Галілея (див. рівняння Шредінгера), так і теорій на основі СТО, повністю ігнорують квантові ефекти. Наприклад, квантова теорія поля може бути сформульована як нерелятивистская теорія ^[34]. У той же час, таке Квантовомеханічний явище, як спін , послідовно не може бути описано без залучення теорії відносності (див. Рівняння Дірака).

Розвиток квантової теорії все ще продовжується, і багато фізиків вважають, що майбутня повна теорія відповість на усі питання, що мають фізичний зміст, і дасть у межах як СТО в поєднанні з квантової теорії поля, так і ОТО. Скоріше за все, СТО чекає така ж доля як і механіку Ньютона - будуть точно окреслені межі її застосування. У той же час така максимально загальна теорія поки є віддаленою перспективою.

10. Примітки

11. Джерела

Гінзбург В. Л. Як і хто створив теорію відносності? в Ейнштейнівської збірник, 1966 - М .: Наука, 1966. - С. 363. - 375 с. - 16000 екз .
Гінзбург В. Л. Як і хто створив теоріювідносності? в Ейнштейнівської збірник, 1966 - М .: Наука, 1966. - С. 366-378. - 375 с. - 16000 екз .
Сацункевіч І. С. Експериментальні коріння спеціальної теорії відносності - urss.ru / cgi-bin / db.pl? lang = Ru & blang = ru & page = Book & id = 16349 - 2-е вид. - М .: УРСС, 2003. - 176 с. - ISBN 5-354-00497-7.
Мізнер Ч., Торн К., Уїлер Дж. Гравітація - М .: Світ, 1977. - Т. 1. - С. 109. - 474 с.
Einstein A. "Zur Elektrodynamik bewegter Korper" Ann Phys .- 1905 .- Bd 17 .- S. 891. Переклад: Ейнштейн А. "До електродинаміки рухомого тіла" Ейнштейн А. Збори наукових праць - М .: Наука, 1965. - Т. 1. - С. 7-35. - 700 с. - 32000 екз .
↑ ^{1 2} Матвєєв А. Н. Механіка і теорія відносності - Видання 2-е, перероблене. - М .: Вища. шк., 1986. - С. 78-80. - 320 с. - 28000 екз .
↑ ^{1 2 3} Паулі В. Теорія Відносності - М .: Наука, Видання 3-тє, виправлене. - 328 с. - 17700 екз . - ISBN 5-02-014346-4.
↑ ^{1 2} von Philipp Frank und Hermann Rothe "ber die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825-855 (російський переклад - synset.com/ru/Франк_Роте_1911)
Фок В. А. Теорія простори часу й тяжіння - видання 2-е, доповнене. - М .: Гос.ізд. фіз.-мат. лит., 1961. - С. 510-518. - 568 с. - 10000 екз .
↑ ^{1 2 3 4} "Перетворення Лоренца" - synset.com / ru / Преобразованія_Лоренца в книзі "Релятивістський мир" - synset.com / ru / Релятівістскій_мір.
Киттель Ч., натхнення В., Рудерман М. Берклєєвський курс фізики - видання 3-тє, виправлене. - М .: Наука, 1986. - Т. I. Механіка. - С. 373,374. - 481 с.
↑ ^{1 2} von W. v. Ignatowsky "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativittsprinzip" Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (російський переклад - synset.com/ru/Игнатовский_1910)
Терлецький Я. П. Парадокси теорії відносності - М .: Наука, 1966. - С. 23-31. - 120 с. - 16500 екз .
Паулі В. Теорія відносності - М .: Наука, видання 3-е, виправлене. - З. 27. - 328 с. - 17700 екз . - ISBN 5-02-014346-4.
Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - 512 с. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
"Принцип параметричної неповноти" - synset.com / ru / Принцип_параметрической_неполноты в книзі "Релятивістський світ" - synset.com / ru / Релятівістскій_мір
Мермін Н. Д. Теорія відносності без постулату про сталості швидкості світу / / Фізика за кордоном. Серія Б. (1986)
Переклад роботи br> Mermin ND Relativity without light / / Am. J. Phys., Vol. 52, No. 2 (1984) p. 119-124.
von W. v. Ignatowsky, "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativittsprinzip", Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (російський переклад - synset.com/ru/Игнатовский_1910)
Lee AR Kalotas TM - "Lorentz transformations from the first postulate" Am.J.Phys., Vol. 43, No. 5, (1975) p. 434-437.
Achin Sen - "How Galileo could have derived the special theory of relativity" Am.J.Phys., Vol. 62, No. 2 (1994) p. 157-162.
Nishikawa S. - "Lorentz transformation without the direct use of Einstein's postulates" Nuovo Cimento, Vol. 112B, No. 8 (1997) p. 1175-1187.
Ungar A. - "Axiomatic approach to the nonassociative group of relativistic velocities" Foundations of Physics Letters, Vol. 2 No. 2 (1989) p. 199-203.
Гільберт Д., Аккерман В. Основи теоретичної логіки. М.: Видавнича група URSS 2010, 304 с. ISBN 978-5-484-01144-5
Паулі В. Теорія Відносності - М .: Наука, Видання 3-тє, виправлене. - С. 26. - 328 с. - 17700 екз . - ISBN 5-02-014346-4.
Окунь Л. Б. "Поняття маси, УФН, 1989, Випуск 7. стр. 511-530. (стаття - www.ufn.ru/ufn89/ufn89_7/Russian/r897f.pdf)
Бродський С., Дрелл С. Сучасний статус квантової електродинаміки, УФН, Т.107, В.1, (1972), с.57-98.
Ефір повертається? - www.nkj.ru/archive/articles/9041/
Bailey J. et al. - Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit, Nature, v.268, p.301-305 (1977)
Сацункевіч І. С. Експериментальні коріння спеціальної теорії відносності - urss.ru / cgi-bin / db.pl? lang Ru = & blang = ru & page = Book & id = 16349 - 2-е вид. - М .: УРСС, 2003. - С. 128-130. - 176 с. - ISBN 5-354-00497-7.
Сацункевіч І. С. Експериментальні коріння спеціальної теорії відносності - urss.ru / cgi-bin / db.pl? lang = Ru & blang = ru & page = Book & id = 16349 - 2-е вид. - М .: УРСС, 2003. - С. 122-123. - 176 с. - ISBN 5-354-00497-7.
Sadeh D. Experimental Evidence for the Constancy of the Velocity of Gamma Rays, Using Annihilation in Flight, Phys. Rev. Lett. 10, 271-273 (1963).
Сивухин Д. В. Загальний курс фізики - М .: Наука, 1980. - Т. IV. Оптика. - 768 с.
Франкфурт В. І., Френк А. М. Голова: Незалежність швидкості світла від швидкості джерела / / Оптика рухомих тел ..
Шварц О. С. Математичні основи квантової теорії поля. М.: Атомиздат, 1975.

Література

Візгін В. П. Релятивістська теорія тяжіння (витоки і формування, 1900-1915). К.: Наука, 1981. - 352 c.
Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Е. М. Теория поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - 512 с. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
Паулі В. Теорія відносності. - book.plib.ru/download/15113.html Изд. 2-е, испр. і доп. Перев. з нім. - М.: Наука, 1983. - 336 с.
Спаський Б. І.. Історія фізики. Том 2, частина 2-а. - osnovanija.narod.ru/History/Spas/T2_2.djvu М.: Вища школа, 1977.
Уїттекер Е. Історія теорії ефіру та електрики. Сучасні теорії 1900-1926. - physicsbooks.narod.ru/Uitteker/Uitteker2.djvu Пер з англ. Москва, Іжевськ: ІКД, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

13.1. Роботи основоположників

Принцип відносності. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tyapkin1973ru.djvu СБ праць за спеціальною теорії відносності. М.: Атомиздат, 1973.
Р. А. Лоренц. Інтерференційний дослід Майкельсона - djvu-books.narod.ru/lorenz1895.htm. З книги "Versucheiner Theoriederelektrischenundoptischen Erscheinungeninbewegten Korpern. Leiden, 1895, параграфи 89 ... 92.
Г. А. Лоренц. Електромагнітні явища в системі рухається з кожного швидкістю, меншою швидкості світла. Proc Acad., Amsterdam, 1904, v 6, p. 809.
А. Пуанкаре. Вимірювання часу. "Revuede Metaphysiqueetde Morale", 1898, t. 6, p. 1 ... 13.
А. Пуанкаре. Оптичні явища в рухомих тілах. ElectriciteetOptique, G. CarreetC. Naud, Paris, 1901, p. ... +535 536.
А. Пуанкаре. Про принципі відносності простору і руху. Глави 5 ... 7 з книги "Наука і гіпотеза" (H. Poinrare. Scienceand Hypothesis. Paris, 1902.)
А. Пуанкаре. Сьогодення і майбутнє математичної фізики. Доповідь, надрукований у журналі "Bulletindes Sciences Mathematiques", 1904, v. 28, ser. 2 p. 302.
А. Пуанкаре. Про динаміку електрона. Rendicontidel Circolo Matematicodi Palermo, 1906.
А. Ейнштейн. До електродинаміці рухомих тіл. Ann. d. Phys., 1905 (рукопис поступила 30 червня 1905), b. 17, s. 89.
Ейнштейн А. Збори наукових праць у чотирьох томах. Том 1. Роботи з теорії відносності 1905-1920. М.: Наука, 1965. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Einstein_t1_1965ru.djvu
Ейнштейн А. Сутність теорії відносності. - М.: Изд. ун. лит., 1955. - 157 с.

13.1.2. Доп. література

Угаров В. А. Спеціальна теорія відносності. 2-е вид. М.: Наука, 1977. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ugarov1977ru.djvu
Тунель М. А. Основи електромагнетизму і теорії відносності. Львів: ІЛ, 1962. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tonnela1962ru.djvu
Толмен Р. Відносність, термодинаміка і космологія. М.: Наука, 1974. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tolmen1974ru.djvu
Фізична енциклопедія, т.2 - М .: Велика Російська енциклопедія. Фізична енциклопедія. - www.physicum.narod.ru/.