Спостерігач (динамічні системи)

Система

\ Dot q (t) = F (t) q (t) + G (t) y (t) + H (t) u (t) (1)
z (t) = K (t) q (t) + L (t) y (t) + M (t) u (t) \! (2)

є спостерігачем для системи

\ Dot x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) (3),
y (t) = C (t) x (t) \! (4),

якщо для кожного початкового стану x (t_0) \! системи (3) - (4) існує початковий стан q_0 \! для системи (1) - (2), таке, що рівність q (t_0) = q_0 \! призводить до z (t) = x (t), t \ ge t_0 при всіх управліннях u (t), t \ ge t_0 .

Тут A (t), B (t), C (t), F (t), G (t), H (t), K (t), L (t), M (t) \! - матриці відповідної розмірності.

Якщо розмірність q (t) \! дорівнює розмірності x (t) \! і виконання умови q (t_0) = x (t_0) \! дає q (t) = x (t), t \ ge t_0 при всіх управліннях u (t), t \ ge t_0 , То система (1) називається спостерігачем повного порядку для системи (3) - (4).

Набір диференціальних рівнянь (3) описує зміну в часі стану деякої системи. n \! -Мірний вектор x (t) \! , Званий вектором стану, описує стан цієї системи в момент часу t \! . r \! -Мірний вектор u (t) \! описує керуючі впливу на систему і називається вектором управління або просто управлінням.

l \! -Мірний вектор y (t) \! являє собою лінійну комбінацію змінних стану системи (3), яку ми можемо виміряти. Зазвичай l <n \! . y (t) \! називають спостережуваної змінної.

Теорема 1. Система (1) є спостерігачем повного порядку для системи (3) - (+4) тоді і тільки тоді, коли F (t) = A (t)-K (t) C (t) \! , G (t) = K (t) \! , H (t) = B (t) \! , Де K (t) \! є довільної змінної в часі матрицею відповідної розмірності. В результаті спостерігачі повного порядку мають наступну структуру:

\ Dot q (t) = A (t) q (t) + B (t) u (t) + K (t) [y (t)-C (t) q (t)] (5).

Матриця K (t) \! називається матрицею коефіцієнтів підсилення спостерігача. Спостерігач повного порядку можна також представити у вигляді

\ Dot q (t) = [A (t)-K (t) C (t)] q (t) + B (t) u (t) + K (t) y (t) ,

звідки випливає, що стійкість спостерігача визначається поведінкою матриці

A (t)-K (t) C (t) \! .

У випадку системи з постійними параметрами, коли всі матриці в постановці завдання є постійними, включаючи матрицю коефіцієнтів підсилення K \! , Стійкість спостерігача слід з розташування характеристичних чисел матриці A-KC \! , Званих полюсами спостерігача. Спостерігач буде стійкий, якщо всі його полюси розташовані в лівій половині комплексної площини.

Теорема 2. Розглянемо спостерігач повного порядку (5) для системи (3) - (4). Помилка відновлення

e (t) = x (t)-q (t) \!

задовольняє диференціальному рівнянню

\ Dot e (t) = \ left [A (t)-K (t) C (t) \ right] e (t) .

Помилка відновлення володіє тим властивістю, що

e (t) \ to 0 при t \ to 0

для всіх e (t_0) \! тоді і тільки тоді, коли спостерігач є асимптотично стійким.

Чим далі в лівій половині комплексної півплощини видалені полюса спостерігача, тим швидше сходиться помилка відновлення до нуля. Це досягається збільшенням матриці коефіцієнтів підсилення K \! , Однак це підвищує чутливість спостерігача до шумів вимірювань, які, можливо, присутні в спостережуваної змінної y (t) \! .


Примітки