Спінор

Спінор ( англ. spin - Обертатися) - спеціальне узагальнення поняття вектора, що застосовується для кращого опису групи обертань евклідового або псевдоевклидова простору.

Сенс спінорного опису простору V - побудова допоміжного комплексного лінійного простору S, так щоб V вкладалося в S \ otimes S ^ *тензорне твір простору S на комплексно-поєднане до себе). Елементи простору S і називаються "Спінор"; часто (хоча і не обов'язково) у них відсутній будь прямої геометричний зміст. Однак, на Спінор можна "майже" визначити дія групи обертань, а саме обертання діє на Спінор з точністю до невизначеного комплексного множника, рівного по модулю 1 (у простих випадках, з точністю до 1).

Якщо початковий простір V розглядалося над полем дійсних чисел \ Mathbb R , То вектора з V будуть описані ермітових матрицями.

Математично строге обгрунтування такої побудови робиться за допомогою алгебри Кліффорда, побудованої по досліджуваному простору V.

Спінор вперше були розглянуті в математиці Е. Картаном в 1913. Вони були знову відкриті в 1929 Б. ван дер варденів у зв'язку з дослідженнями по квантовій механіці.


1. Тривимірний простір

Для представлення 3-мірного простору в якості S необхідно взяти 2-мірне комплексне простір S = {\ mathbb C} ^ 2 . Вектора тривимірного простору будуть відповідати матрицям з нульовим слідом.

Спінор 3-мірного евклідового простору володіють алгеброю, близької до алгебри скалярного і векторного добутків. Ця алгебра допускає зручне опис в термінах кватерніонів Гамільтона. Саме, з кожним вектором x = (x 1, x 2, x 3) з речових (або комплексних) чисел можна асоціювати комплексну матрицю

{\ Bold x} \ rightarrow X = \ left (\ begin {matrix} x_3 & x_1-ix_2 \ \ x_1 + ix_2 &-x_3 \ end {matrix} \ right).

Матриці такої форми мають такі властивості, внутрішньо зв'язують їх з геометрією 3-мірного простору:

  • det X = - (довжина x) 2.
  • X 2 = (довжина x) 2 I, де I - одинична матриця.
  • \ Frac {1} {2} (XY + YX) = ({\ bold x} \ cdot {\ bold y}) I
  • \ Frac {1} {2} (XY-YX) = iZ, де Z - матриця, асоційована з векторним твором z = x y.
  • Якщо u - одиничний вектор, то UXU - матриця, асоційована з вектором, що одержуються з x відображенням в площині, ортогональної u.
  • Згідно лінійній алгебрі будь обертання в 3-вимірному просторі представимо у вигляді двох відображень. (Подібно, будь міняє напрямок ортогональне перетворення є або відображення, або твір трьох (взагалі, непарного числа) відображень.) Таким чином, якщо R - обертання, представимое у вигляді двох послідовних відображень у площинах, перпендикулярних одиничних векторів u 1 і u 2, то матриця U 2 U 1 XU 1 U 2 являє обертання R вектора x.

Маючи ефективний спосіб представлення всієї геометрії обертань 3-мірного простору набором комплексних 2 2-матриць, природно задатися питанням, яку роль відіграють 2 1-матриці, якщо взагалі вони грають якусь роль. Тимчасово назвемо Спінор вектор-стовпець

\ Xi = \ left [\ begin {matrix} \ xi_1 \ \ \ xi_2 \ end {matrix} \ right]

з комплексними компонентами ξ 1 і ξ 2. Очевидно, в просторі Спінор діють комплексні 2 2-матриці. Більш того, добуток двох відображень (для даної пари одиничних векторів) визначає 2 2-матрицю, дія якої на евклідова вектори є обертання, так що вона обертає Спінор. Але тут є важлива властивість - факторизація обертання не єдина. Ясно, що якщо XRXR -1 є уявлення обертання, то заміна R на - R дасть те ж саме обертання. Насправді, можна легко показати, що це єдина виникає невизначеність. Дія операції обертання на Спінор завжди двозначно.


2. Простір Мінковського

Якщо до трьох матрицям Паулі додати ще й одиничну матрицю (за номером 0), то ми отримаємо спінорно уявлення простору Мінковського M:

X = \ sigma_ \ mu x ^ \ mu, \ \ mu = 0,1,2,3

При цьому светоподобного вектора (нульової довжини) будуть відповідати виродженим матрицям виду \ Pm \ bar \ psi \ otimes \ psi , Де \ Psi \ in S . Відповідність між простором Мінковського і ермітових матрицями 2 2: M ≈ Herm (2) буде взаємно-однозначним.


3. Спінор у фізиці

Спінор аж ніяк не є чисто абстрактним побудовою, ніяк не проявляють себе по відношенню до геометрії реальності. Багато зустрічаються в квантовій механіці величини є Спінор (див. спін ​​, рівняння Дірака). При релятивистском розгляді використовується викладене вище спінорно уявлення простору Мінковського; наприклад, існує досить просте спінорно уявлення рівнянь Максвелла.

При малих швидкостях використовуються 3-мірні Спінор.


Література

  • Дірак П. Спінор в гільбертовому просторі. Пер. з англ. М.: Мир, 1978. 126 с.
  • Желноровіч В. А. Теорія Спінор і її застосування у фізиці та механіці М.: Наука, 1982. 272 с.
  • Желноровіч В. А. Теорія Спінор і її застосування. М.: Август-Принт, 2001. 400с. ISBN 5-94681-001-4
  • Картан Е. Теорія Спінор. Пер. з франц. М.: ГІІЛ, 1947.
  • Пенроуз Р., Ріндлер В. Спінор і простір-час. Том 2. Пер з англ. М.: Світ, 1988. 584 з.
  • Рашевський П. До Теорія Спінор. Вид. Друга. М.: КомКніга, 2006. 112с. ISBN 5-484-00348-2
  • Румер Ю. Б. спінорно аналіз. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 104с.