Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Степенева функція



План:


Введення

Степенева функція - функція y = x a , Де a ( показник ступеня) - деяке дійсне число. [1] До статечним часто відносять і функцію виду y = k x a , Де k - деякий масштабний множник. [2] Існує також комплексне узагальнення статечної функції. На практиці показник ступеня майже завжди є цілим або раціональним числом.


1. Речова функція

1.1. Область визначення

Якщо показник ступеня - ціле число, то можна розглядати ступеневу функцію на всій числової прямої (окрім, можливо, нуля). У загальному випадку ступенева функція визначена при x> 0 . Якщо a> 0 , То функція визначена також і при x = 0 , Інакше нуль є її особливою точкою.

1.2. Раціональний показник ступеня

Приклад: з третього закону Кеплера випливає, що період T обертання планети навколо Сонця пов'язаний з великої півосі A її орбіти співвідношенням: T = k A 3 / 2 ( полукубіческая парабола).

  • Параболи порядку n: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5
  • Гіперболи порядку n: n = - 1 n = - 2 n = - 3

1.3. Властивості

  • Функція неперервна і необмежено дифференцируема у всіх точках, в околиці яких вона визначена. Нуль, взагалі кажучи, є особливою точкою; наприклад, функція ~ Y = \ sqrt {x} визначена в нулі і його правої околиці, але її похідна ~ Y = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} в нулі не визначена.
  • В інтервалі (0, \ infty) функція монотонно зростає при a> 0 і монотонно убуває при a <0. Значення функції в цьому інтервалі позитивні.
  • Похідна функції : \ Left (x ^ a \ right) ^ \ prime = a x ^ {a-1}.
  • Невизначений інтеграл :
    • Якщо a \ ne -1 , То \ Int x ^ a dx = \ frac {x ^ {a +1}} {a +1} + C
    • При a = - 1 отримуємо: \ Int \ frac {1} {x} dx = \ ln | x | + C

2. Комплексна функція

Степенева функція комплексного змінного z визначається формулою:

y = z ^ c = e ^ {c \ cdot \ ln (z)}

Тут показник ступеня c - деякий комплексне число.

Комплексна ступенева функція володіє значними відмінностями від свого речового аналога. У силу багатозначності комплексного логарифма вона, взагалі кажучи, також багатозначна. При натуральному показнику ступеня функція y = z n однозначна і n-лістная [3].


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Степенева книга
Степенева асоціативність
R-функція
Функція
θ-функція
Гармонійна функція
Проста функція
Функція Уолша
Функція Аккермана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru