Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Стискуюче відображення



План:


Введення

Стискуюче відображення - відображення метричного простору в себе, рівномірно зменшує всі відстані. Згідно теоремі Банаха, у стискає відображення повного метричного простору в себе існує нерухома точка, причому рівно одна. Це твердження, також зване "принципом стискаючих відображень", широко використовується при доказі різних математичних тверджень.


1. Визначення

Нехай на метричному просторі (\ Mathbb {M}, \ rho) визначений оператор A: \ mathbb {M} \ to \ mathbb {M} . Він називається стискуючою на \ Mathbb {M} , Якщо існує таке невід'ємне число \ Alpha <1 , Що для будь-яких двох точок x, y \ in \ mathbb {M} виконується нерівність

{\ Rho (Ax, Ay) \ leqslant \ alpha {\ cdot} \ rho (x, y)} .

2. Властивості

2.1. Безперервність

Нехай (\ Mathbb {M}, \ rho) - Метричний простір і \ Mathbb {} A - Стискаючий оператор на \ Mathbb {M} . Тоді \ Mathbb {} A - Безперервна функція на \ Mathbb {M} .

Доказ

Візьмемо довільний елемент {A} \ in \ mathbb {M} . Треба довести (за визначенням безперервності функції), що для \ Forall \ varepsilon> 0 \ quad \ exists \ delta> 0: для \ Forall {x} \ in \ mathbb {M}: \ rho (a, x) <\ delta \ to {\ rho (Aa, Ax) <\ varepsilon} . Для стискає оператора достатньо взяти .


2.2. Нерухома точка

По теоремі Банаха у стискає відображення існує єдина нерухома точка \ Mathbb {} x ^ {*}: Ax ^ {*} = x ^ {*} .

3. Застосування


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Відображення
Відображення (філософія)
Лінійне відображення
Ступінь відображення
Ліпшіцево відображення
Багатозначне відображення
Відображення (програмування)
Білінійну відображення
Якобіан відображення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru