Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Стрічка Мебіуса



План:


Введення

Стрічка Мебіуса

Лист Мебіуса (стрічка Мебіуса, петля Мьобіуса) - топологічний об'єкт, найпростіша неоріентіруемая поверхню із краєм, одностороння при вкладенні в звичайне тривимірне евклидово простір R. Потрапити з однієї точки цієї поверхні в будь-яку іншу можна, не перетинаючи краю.

Стрічка Мебіуса була відкрита незалежно німецькими математиками Августом Фердинандом Мебиусом і Йоганном Бенедиктом Листингом в 1858. Модель стрічки Мебіуса може легко бути зроблено. Для цього треба взяти досить витягнуту паперову смужку й з'єднати кінці смужки, попередньо перевернувши один з них. В евклідовому просторі існують два типи смуг Мебіуса в залежності від напрямку закручування: праві і ліві (топологічно вони, однак, невиразні).


1. Властивості

  • Якщо розрізати стрічку вздовж по лінії, рівновіддаленою від країв, замість двох стрічок Мебіуса вийде одна довга двостороння (удвічі більше закручена, ніж стрічка Мебіуса) стрічка, яку називають "афганська стрічка". Якщо тепер цю стрічку розрізати вздовж посередині, виходять дві стрічки, намотание один на одного.
  • Якщо розрізати стрічку Мебіуса, відступаючи від краю приблизно на третину її ширини, то виходять дві стрічки, одна - більш коротка стрічка Мебіуса, інша - довга стрічка з двома півобертами (Афганська стрічка).
  • Інші цікаві комбінації стрічок можуть бути отримані зі стрічок з двома або більше півобертами в них. Наприклад якщо розрізати стрічку з трьома півобертами, то вийде стрічка, завита в вузол трилисника. Розріз стрічки з додатковими оборотами дає несподівані фігури, названі парадромнимі кільцями.

2. Рівняння

Параметричний опис листа Мебіуса.
Щоб перетворити квадрат в лист Мебіуса, з'єднайте краї, помічені \ Scriptstyle {A} так, щоб напрями стрілок збіглися.

Одним із способів подання листа Мебіуса як підмножини \ R ^ 3 є параметризація:

x (u, v) = \ left (1 + \ frac {v} {2} \ cos \ frac {u} {2} \ right) \ cos u,
y (u, v) = \ left (1 + \ frac {v} {2} \ cos \ frac {u} {2} \ right) \ sin u,
z (u, v) = \ frac {v} {2} \ sin \ frac {u} {2},

де 0 \ leqslant u <2 \ pi і -1 \ Leqslant v \ leqslant 1 . Ці формули задають стрічку Мебіуса ширини 1, чий центральний коло має радіус 1, лежить у площині x - y з центром в (0, \; 0, \; 0) . Параметр u пробігає вздовж стрічки, в той час як v задає відстань від краю.

В циліндричних координатах (R, \; \ theta, \; z) , Необмежена версія листа Мебіуса може бути представлена ​​рівнянням:

~ \ Log r \ sin (\ theta / 2) = z \ cos (\ theta / 2),

де функція логарифма має довільне підставу.


3. Властивості

  • Лист Мебіуса - це також простір нетривіального розшарування над колом з шаром відрізок.
  • Стрічку Мебіуса можливо помістити в \ R ^ 3 з кордоном, що є ідеальним колом. Ідея полягає в наступному: нехай C буде одиничним колом в площині x y в \ R ^ 3 . Поєднавши антіподние точки на C , Тобто, точки під кутами θ і θ + π дугою кола, одержимо, що для θ між 0 і π / 2 дуги лежать вище площині x y , А для інших θ нижче (причому в двох місцях дуги лежать в площині x y ).
    • Проте будь-який диск приклеюється до граничної кола неминуче перетне стрічку Мебіуса.

4. Відкриті питання

  1. Яке мінімальне k таке, що з прямокутника з меншою стороною 1 і більшої стороною k можна згорнути несамопересекающуюся стрічку Мебіуса (папір м'яти не дозволяється), (доведена оцінка знизу \ Frac {\ pi} {2} , Зверху \ Sqrt 3 ) [1]
  2. Чи існує формула, що описує лист Мебіуса, що виходить шляхом складання плоского аркуша паперу? (Вищевказані формули описують поверхню, яку не можна скласти з аркуша паперу, так як вона має негативну кривизну; питається, чи можна аналогічним чином описати поверхню нульової кривизни?) [2].
    • Складніше знайти форму, яка при цьому мінімізує пружну енергію вигину. Це завдання, вперше поставлена ​​Садовським (M. Sadowsky) в 1930 році, була недавно вирішена [3]. Однак рішення не описується алгебраїчної формулою, і малоймовірно, що така формула взагалі існує. Щоб знайти просторову рівноважну форму паперової стрічки Мебіуса, необхідно вирішити крайову задачу для системи диференціально-алгебраїчних рівнянь.

5. Мистецтво і технологія

Міжнародний символ переробки є Лист Мебіуса.

Лист Мебіуса служив натхненням для скульптур і для графічного мистецтва. Ешер був одним з художників, хто особливо любив його і присвятив декілька своїх літографій цього математичного об'єкту. Одна з відомих - лист Мебіуса II, показує мурах, що повзають по поверхні стрічки Мебіуса.

Лист Мебіуса був емблемою ізвеcтной серії науково-популярних книг "Бібліотечка" Квант "". Він також постійно зустрічається в науковій фантастиці, наприклад в оповіданні Артура Кларка "Стіна Темряви". Іноді науково-фантастичні розповіді (слідом за фізиками-теоретиками) припускають, що наша Всесвіт може бути деяким узагальненим листом Мебіуса. Також кільце Мебіуса постійно згадується в творах уральського письменника Владислава Крапівіна, цикл " У глибині Великого Кристалу "(напр. "Застава на якірній Поле. Повість). В оповіданні "Лист Мебіуса" автора А. Дж. Дейча, бостонское метро будує нову лінію, маршрут якої стає настільки заплутаним, що перетворюється в стрічку Мебіуса, після чого на цій лінії починають зникати поїзда. За мотивами оповідання був знятий фантастичний фільм " Мебіус "режисера Густаво Москера. Також ідея стрічки Мебіуса використовується в оповіданні М. Кліфтона" На стрічці Мебіуса ".

З стрічкою Мебіуса порівнюється протягом роману сучасного російського письменника Олексія О. Шепелєва "Echo" [4]. З анотації до книги: "" Echo "- літературна аналогія кільця Мебіуса: дві сюжетні лінії -" хлопчиків "і" дівчаток "- переплітаються, перетікають один в одного, але не перетинаються".

Існують технічні застосування стрічки Мебіуса. Смуга стрічкового конвеєра виконується у вигляді стрічки Мебіуса, що дозволяє йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки зношується рівномірно. Також в системах запису на безперервну плівку застосовуються стрічки Мебіуса (щоб подвоїти час запису). У багатьох матричних принтерах барвна стрічка також має вигляд листа Мебіуса для збільшення її ресурсу.


5.1. Стрічка Мебіуса і знак нескінченності

Багато хто вважає, що лист Мебіуса є прабатьком символу нескінченності. Однак за наявними історичними відомостями символ \ Infty став використовуватися для позначення нескінченності за два століття до відкриття стрічки Мебіуса [5]. (Див. символ нескінченності).

Існує також версія, що в якості знака безкінечності використовується символічне зображення стрічки Мебіуса, оскільки вона відображає діалектичну модель Всесвіту, що полягає в єдності і подвійності буття.


6. Варіації і узагальнення

  • Близькою односторонньої поверхнею є пляшка Клейна. Пляшка Клейна може бути отримана шляхом склеювання двох стрічок Мебіуса по краях. У звичайному тривимірному евклідовому просторі зробити це, не створюючи самопересеченія, неможливо.
  • Інше схоже безліч - проективна площину. Якщо проколоти отвір в проективної площини, тоді те, що залишиться, буде листом Мебіуса. З іншого боку, якщо приклеїти диск до стрічки Мебіуса, поєднуючи їх межі, то результатом буде проективна площину.

6.1. Поверхня Кіпенского

Одностороння поверхня А. В. Кіпенского

Поверхня Кіпенского виходить з трьох циліндричних смужок паперу, склеєних послідовно один з одним. Те, що поверхня одностороння, видно з середнього малюнка, обхід по синій лінії повертає до цієї точки з іншого боку папери, хоча лінія не переходить через край. Цікаво, що якщо поверхня розрізати по червоних лініях, вона розбивається на дві дзеркально-симетричні частини. Одна з них показана на нижньому малюнку. Такий варіант поверхні був придуманий А. В. Кіпенскім.


7. Посилання

Примітки

  1. Стаття про першої відкритої проблеми - arbuz.uz / t_lenta.html
  2. Randrup T., Rogen P. (1996). "Sides of the Mbius strip". Archiv der Mathematik 66: 511-521.
  3. Starostin EL, van der Heijden GHM (2007). " The shape of a Mbius strip - www.nature.com/nmat/journal/v6/n8/abs/nmat1929.html ". Nature Materials. DOI : 10.1038/nmat1929 - dx.doi.org/10.1038/nmat1929.
  4. (Санкт-Петербург: Амфора, 2003)
  5. Стрічка Мебіуса / / Журнал "Weekend" № 10 (106) від 20.03.2009 - www.kommersant.ru/doc.aspx?DocsID=1138604

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Перетворення Мебіуса
Функція Мебіуса
Ряд Мебіуса
Орденська стрічка
Андріївська стрічка
Олександрівська стрічка
Біла стрічка
Федеральна стрічка
Магнітна стрічка
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru