Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Стійкість (динамічні системи)



План:


Введення

В математики, рішення диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка рішень з близьким початковою умовою "не сильно відрізняється" від поведінки вихідного рішення. Слова "не сильно відрізняється" при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по Ляпунову, асимптотичну стійкість і т.д. (Див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільній траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.


1. Постановка завдання стійкості динамічних систем

Нехай Ω - Область простору \ Mathbb {R} ^ n , Що містить початок координат, ~ I = [\ tau; \ infty) , Де ~ \ Tau \ in \ mathbb {R} ^ 1 . Розглянемо систему (1) виду:

\ Left \ {\ begin {matrix} \ dot x = f (t, x), x \ in \ mathbb {R} ^ n, f: I \ times \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ n \ \ f (t, 0) = 0. \ End {matrix} \ right. ((1))

За будь-яких ~ (T_0, x_0) \ in I \ times \ Omega існує єдине рішення x (t, t 0, x 0) системи (1), що задовольнить початкових умов x (t 0, t 0, x 0) = x 0. Будемо припускати, що рішення x (t, t 0, x 0) визначено на інтервалі ~ J ^ + = [t_0; \ infty) , Причому ~ J ^ + \ subset I .


2. Стійкість за Ляпуновим

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпунову, якщо для будь-яких t_0 \ in I і ε> 0 існує δ> 0 , Залежне тільки від ε і t 0 і не залежить від t, таке, що для всякого x 0, для якого \ | X_0 \ | <\ delta , Рішення x системи з початковими умовами x (t 0) = x 0 Продовжуємо на всю піввісь t> t 0 і задовольняє нерівності \ | X (t) \ | <\ epsilon .

Символічно це записується так:

(\ Forall \ epsilon> 0) (\ forall t_0 \ in I) (\ exists \ delta (t_0, \ epsilon)> 0) (\ forall x_0 \ in B_ {\ delta (t_0, \ epsilon)}) (\ forall t \ ge t_0, t \ in J ^ +) \ Rightarrow (\ | x (t, t_0, x_0) \ | <\ epsilon)


3. Рівномірна стійкість за Ляпуновим

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

(\ Forall \ varepsilon> 0) (\ exists \ delta (\ varepsilon)> 0) (\ forall t_0 \ in I) (\ forall x_0 \ in B_ {\ delta (\ varepsilon)}) (\ forall t \ ge t_0, t \ in J ^ +) \ Rightarrow (\ | x (t, t_0, x_0) \ | <\ varepsilon)

4. Нестійкість по Ляпунову

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:

(\ Exists \ varepsilon> 0) (\ exists t_0 \ in I) (\ forall \ delta> 0) (\ exists x_0 \ in B_ \ delta) (\ exists t_ * \ ge t_0, t_ * \ in J ^ + ) \ Rightarrow (\ | x (t_ *, t_0, x_0) \ | \ ge \ varepsilon)

5. Асимптотична стійкість

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо воно стійко по Ляпунову і виконується умова \ Lim_ {t \ to \ infty} \ | x (t_ *, t_0, x_0) \ | = 0 для всякого x з початковою умовою x 0, лежачим в досить малій околиці нуля.

5.1. Еквіасімптотіческая стійкість

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається еквіасімптотіческі стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягує.

5.2. Рівномірна асимптотична стійкість

Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпрітягівающее.

5.3. Асимптотична стійкість у цілому

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопрітягівающее.

5.4. Рівномірна асимптотична стійкість в цілому

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно-і глобальнопрітягівающее.

Література

  • Беллман Р. Теорія стійкості рішень диференціальних рівнянь - ІЛ, 1954.
  • Подружжя Н. Г. Стійкість руху - М .: Гостехиздат, 1955.
  • Красовський Н. М. Деякі задачі теорії стійкості руху - М .: Фізматгіз, 1959.
  • Малкін І. Г. Теорія стійкості руху - М .: Наука, 1966.
  • Демидович Б. П. Глава II, 1, Основні поняття теорії стійкості / / Лекції з математичної теорії стійкості - М .: Наука, 1967. - 472 с.
  • Афанасьєв В. Н., Колмановський В.Б., Носов В. Р. Глава I, Безперервні і дискретні детерміновані системи / / Математична теорія конструювання систем управління - М .: Вища школа, 2003. - 614 с. - ISBN 5-06-004162-X. .
  • Філіппов А. Ф. Збірник задач з диференціальних рівнянь. - К.: РГД, 2000. - 176 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Спостерігач (динамічні системи)
Стійкість Сонячної системи
Стійкість
Обчислювальна стійкість
Гідродинамічна стійкість
Криптографічний стійкість
Структурна стійкість
Колоїдні системи
Соціотехніческіе системи
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru