Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Сума ряду



План:

Література
Примітки

Введення

Сума числового ряду a_1 + a_2 + \ ldots + a_n + \ ldots \ визначається як межа, до якої прагнуть суми перших n доданків ряду, коли n необмежено зростає. Якщо така межа існує і кінцевий, то говорять, що ряд сходиться, в іншому випадку - що він розходиться [1]. Елементи низки a n являють собою або речові, або комплексні числа.


1. Визначення

Нехай a_1 + a_2 + \ ldots + a_n + \ ldots \ - числовий ряд. Число ~ S_n = a_1 + a_2 + \ ldots + a_n називається n -Ої часткової сумою низки \ Sum_ {i = 1} ^ \ infty a_i .

Сума (числового) ряду - це межа часткових сум S n , Якщо він існує і кінцевий. Таким чином, якщо існує число S = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i , То в цьому випадку пишуть \ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} a_i = S . Такий ряд називається збіжним. Якщо межа часткових сум не існує або нескінченний, то говорять, що ряд розходиться.


2. Збіжність числових рядів

Властивість 1. Якщо ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {u} _ {n} = {u} _ {1} + {u} _ {2} + {u} _ {3} + {u} _ {4 } + ... (1.1)

сходиться і його сума дорівнює S, то ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} c {u} _ {n} = c {u} _ {1} + c {u} _ {2} + c {u} _ {3} + c { u} _ {4} + ... (1.2)

де c - довільне число, також збігається і його сума дорівнює cS. Якщо ж ряд (1.1) розходиться і з ≠ 0, то ряд розходиться.

Властивість 2. Якщо сходиться ряд (1.1) і сходиться ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {v} _ {n} ,

а їх суми рівні S 1 і S 2 відповідно, то сходяться і ряди

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} ({u} _ {n} \ pm {v} _ {n}) ,

причому сума кожного дорівнює відповідно {S} _ {1} \ pm {S} _ {2} .


3. Необхідний ознака збіжності ряду

Ряд u 1 + u 2 + u 3 + ... + U n + ... може сходитися лише в тому випадку, коли член u n (Загальний член ряду) прагне до нуля:

\ Lim_ {n \ rightarrow \ infty} {u} _ {n} = 0.

Це необхідна ознака збіжності ряду (але не достатній!). Якщо ж загальний член ряду не прямує до нуля - це достатній ознака расходимости.

4. Приклади


Узагальнення числових рядів

5.1.2. Ознаки збіжності


Література


Примітки

  1. Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення. Указ. соч., глава 11.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сума
Сума
Сума (математика)
Сума теології
Статистична сума
Сума технології
Сума (група)
Контрольна сума
Пряма сума
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru