Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Сума (математика)



План:


Введення

Сума ( лат. summa - Підсумок, загальна кількість), результат складання величин (чисел, функцій, векторів, матриць і т. д. ). Спільними для всіх випадків є властивості комутативності, асоціативності, а також дистрибутивности по відношенню до множення (якщо для розглянутих величин множення визначено), тобто виконання співвідношень:

  • а + b = b + a
  • а + (b + с) = (а + b) + з
  • (А + b) з = ас + bc
  • з (а + b) = ca + cb

В теорії множин сумою (або об'єднанням) множин називається множина, елементами якого є всі елементи доданків множин, взяті без повторень.


1. Певна сума

Часто для стислості суму n доданків a k, a k ​​+1,..., a N позначають заголовною грецької буквою Σ (сигма):

a_k + a_ {k +1} + ... + A_N = \ sum_ {i = k} ^ N a_i

Це позначення називають певної (кінцевої) сумою a i по i від k до N.
Для зручності замість \ Sum_ {i = k} ^ Na_i іноді пишуть \ Sum_ {P (i )}^{} a_i , Де P (i) \ - Деяке співвідношення для i \ , Таким чином \ Sum_ {P (i )}^{} a_i це кінцева сума всіх a_i \ , Де i \ in Z: P (i) \
Властивості певної суми:

  1. \ Left (\ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} a_i \ right) \ left (\ sum_ {j = p_1} ^ {p_2} b_j \ right) = \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} \ left (\ sum_ {j = p_1} ^ {p_2} a_ib_j \ right)
  2. \ Sum_ {i = k_1} ^ {k_2} \ sum_ {j = p_1} ^ {p_2} a_ {ij} = \ sum_ {j = p_1} ^ {p_2} \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} a_ {ij}
  3. \ Sum_ {i = k_1} ^ {k_2} (a_i + b_i) = \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} a_i + \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} b_i
  4. \ Sum_ {i = k_1} ^ {k_2} {z \ cdot a_i} = z \ cdot \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} a_i

2. Приклади

  1. Сума арифметичній прогресії :
    \ Sum_ {i = 0} ^ n (a_0 + b \ cdot i) = (n +1) \ frac {a_0 + a_n} {2}
  2. Сума геометричній прогресії :
    \ Sum_ {i = 0} ^ na_0 \ cdot b ^ i = a_0 \ cdot \ frac {1-b ^ {n +1}} {1-b}
  3. \ Sum_ {i = 0} ^ n {\ left (\ frac {1} {p} \ right)} ^ i = \ frac {p} {p-1} \ left (1 - \ frac {1} {p ^ {n +1}} \ right), \ quad p \ neq 1, n \ ge 0
Чому це так
\ Sum_ {i = 0} ^ n {\ left (\ frac {1} {p} \ right)} ^ i = \ sum_ {i = 0} ^ n {1 \ cdot {\ frac {1} {p ^ i}}} = 1 \ cdot \ frac {1 - {\ left (\ frac {1} {p} \ right)} ^ {n +1}} {1 - \ frac {1} {p}} = \ frac {\ frac {p ^ {n +1} -1} {p ^ {n +1}}} {\ frac {p-1} {p}} = \ frac {p ^ {n +1} -1 } {p ^ n (p-1)} = \ frac {p} {p-1} \ left (1 - \ frac {1} {p ^ {n +1}} \ right)
  1. \ Sum_ {i = 0} ^ nip ^ i = \ frac {np ^ {n +2} - (n +1) p ^ {n +1} + p} {(p-1) ^ 2}, \ quad p \ ne 1
Чому це так

Доказ:

\ Sum_ {i = 0} ^ nip ^ i = \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ i = p \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = p \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} (i +1) p ^ i = p \ cdot \ left (\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} {ip ^ i} + \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} p ^ i \ right) = p \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ nip ^ i - p \ cdot np ^ n + p \ cdot \ frac {1-p ^ n} {1 - p} \ Rightarrow
\ Rightarrow (1-p) \ sum_ {i = 0} ^ nip ^ i = \ frac {-np ^ {n +1} (1-p) + pp ^ {n +1}} {1-p} \ Rightarrow \ sum_ {i = 0} ^ nip ^ i = \ frac {np ^ {n +2} - (n +1) p ^ {n +1} + p} {(1-p) ^ 2}
  1. \ Sum_ {i = 0} ^ np ^ i = (p-1) \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} ((ni) p ^ i) + n + 1, \ quad p \ ne 1
Чому це так

Доказ:

(P-1) \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} ((ni) p ^ i) + n +1 = (p-1) \ sum_ {i = 0} ^ n ((ni) p ^ i) + n +1 = (p-1) \ left (n \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ np ^ i - \ sum_ {i = 0} ^ nip ^ i \ right) + n +1 =
= (P-1) \ left (n \ cdot \ frac {1-p ^ {n +1}} {1-p} - \ frac {np ^ {n +2} - (n +1) p ^ { n +1} + p} {(1-p) ^ 2} \ right) + n +1 =
= \ Frac {np ^ {n +2}-np-np ^ {n +1} + n-np ^ {n +2} + np ^ {n +1} + p ^ {n +1}-p + pn-n + p-1} {p-1} =
= \ Frac {p ^ {n +1} -1} {p-1} = \ sum_ {i = 0} ^ np ^ i
    • При p = 10 \ отримуємо \ Sum_ {i = 0} ^ n10 ^ i = 9 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} ((ni) 10 ^ i) + n +1 , А це послідовність рівностей наступного вигляду:
      1 = 9 \ cdot 0 + 1, \ quad 11 = 9 \ cdot 1 + 2, \ quad 111 = 9 \ cdot 12 + 3, \ quad 1111 = 9 \ cdot 123 + 4, \ quad 11111 = 9 \ cdot 1234 + 5

3. Невизначена сума

Невизначеною сумою a i по i називається така функція f (i), що позначається \ Sum_ {i} ^ {} a_i , Що \ Forall i f (i +1) - f (i) = a_ {i +1} .

4. Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо знайдена невизначена сума \ Sum_ {i} ^ {} a_i = f (i) , То \ Sum_ {i = k} ^ N a_i = f (N +1)-f (k) .

5. Етимологія

Латинське слово summa перекладається як "головний пункт", "сутність", "підсумок". З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово "підсумовувати" ( 1489 рік).

Це слово проникло в багато сучасних мов: сума в російській, sum в англійській, somme у французькому.

Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування і інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сума
Сума
Сума теології
Контрольна сума
Сума ряду
Пряма сума
Статистична сума
Сума технології
Зв'язкова сума
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru