Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Сфера Рімана


commons:

План:


Введення

Сфера Рімана - ріманова поверхню, природна структура на розширеній комплексній площині \ Widehat {\ mathbb C} = \ mathbb C \ cup \ {\ infty \} , Що є комплексною проективної прямої \ Mathbb C \ mathbb P ^ 1 . Як речовий різноманіття діффеоморфна двовимірної сфері S 2 .


1. Координати

Чисельні координати на сфері Римана вводяться трьома способами:

ξ 2 + η 2 + (ζ - 1 / 2) 2 = 1 .
Сфера Рімана стереографической проекцією перекладається на площину

Перехід від одних до інших координат задається формулами:

z = \ frac {z_1} {z_0}
z_0: z_1 = \ left [\ begin {matrix} \ zeta: (\ xi + i \ eta) & \ Leftarrow \ zeta> 0 \ \ 0:1 & \ Leftarrow \ zeta = 0 \ end {matrix} \ right.
\ Left \ {\ begin {matrix} \ xi + i \ eta = \ frac {2z} {1 + | z | ^ 2} \ \ \ zeta = \ frac {2} {1 + | z | ^ 2} \ end {matrix} \ right.

(\ Xi, \ eta, \ zeta) \ mapsto z задає відображення сфери з виколоті полюсом на комплексну площину, яке називається стереографической проекцією.


2. Перетворення Мебіуса

Автоморфізмом сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай a, b, c, d - Матриця з GL_2 (\ mathbb C) . Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат - просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. У афінних координатах дію виглядає так:

z '= \ frac {az + c} {bz + d}

3. Програми

Крім математики, сфера Рімана відома в теоретичної фізики.

В спеціальної теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов'язані з перетвореннями Лоренца, і описують спотворення небесної сфери для спостерігача, що рухається з околосветовой швидкістю.

Перетворення Мебіуса і Лоренца пов'язані також із Спінор. В квантової механіки сфера Рімана параметрізует стану систем, описуваних 2-мірним простором (див. q-біт), особливо спина масивних частинок зі спіном 1 / 2, таких як електрон. У цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати "широта-довгота" майже як на звичайній сфері, тільки широту θ відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. 0 <θ <π / 2 (Див. рис.)

Blochsphere.svg

У такому випадку вірні співвідношення:

z 0: z 1 = cos θ: e i φ sin θ
\ Left \ {\ begin {matrix} \ xi + i \ eta = e ^ {i \ varphi} \ sin {2 \ theta} \ \ \ zeta-1 = \ cos {2 \ theta} \ end {matrix} \ right.

4. Середина сфери

Середина сфери ( куля) допускає смислове тлумачення в обох зазначених вище додатках. Як небесна сфера є безліччю светоподобного напрямків простору-часу, так і її нутро відповідає напрямкам временіподобним, тобто фактично релятивістським досветовим швидкостям. Цей простір є гіперболічним (має постійну негативну кривизну зразок площині Лобачевського, тільки при розмірності 3 а не 2); на нього природним чином поширюється дію перетворень Мебіуса.

Середина сфери Блоха відповідає так званим змішаним станам q-біта, і геометрично влаштована як звичайний кулю.

Однак, і те й інше описується позитивно певними ермітових матрицями розміру 2 2, розглянутими з точністю до множення на позитивне число.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Похідна Рімана
Геометрія Рімана
Інтеграл Рімана
Гіпотеза Рімана
Умови Коші - Рімана
Дзета-функція Рімана
Кратний інтеграл Рімана
-Сфера
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru