Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Сферична система координат



План:


Введення

Точка P декартових має три і три сферичних координати

Сферичну систему координат зручно визначати, співвідносячись з декартовій прямокутній системою координат (см. малюнок):

Сферичними координатами називають систему координат для відображення властивостей геометричних фігур у трьох вимірах за допомогою завдання трьох координат (R, \; \ theta, \; \ varphi) , Де r - Відстань до почала координат, а θ та \ Varphi - Зенітний і азимутальний кут відповідно.

Поняття зеніт і азимут широко використовують у астрономії. Взагалі зеніт - цей напрямок вертикального підйому над довільно вибраним пунктом (крапкою спостереження), що належить так званої фундаментальної площині. В якості фундаментальної площини в астрономії може бути обрана площину, в якій лежить екватор, або площина, в якій лежить горизонт, або площину екліптики і т. д., що породжує різні системи небесних координат. Азимут - кут між довільно обраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, у яких загальне початок з першим.

Щодо нашого малюнку сферичної системи координат, фундаментальна площину - це площина xy. Зеніт - якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховується від осі X до проекції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична системи координат може служити узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі видів систем небесних координат.


1. Визначення

Три координати (R, \; \ theta, \; \ varphi) визначені як:

  • r \ geqslant 0 - Відстань з початку координат до заданої точки P .
  • 0 \ leqslant \ theta \ leqslant 180 ^ \ circ - Кут між віссю Z та відрізком, з'єднує початок координат і точку P .
  • 0 \ leqslant \ varphi \ leqslant 360 ^ \ circ - Кут між віссю X і проекцією відрізка, що з'єднує початок координат до точки P , На площину X Y (В Америці кути θ і \ Varphi змінюються ролями).

Кут θ називається зенітним, або полярним, або нормальним, а також він може бути названий англійським словом colatitude, а кут \ Varphi - Азимутним. Кути θ і \ Varphi не мають значення при r = 0 , А \ Varphi не має значення при sin (θ) = 0 (Тобто при θ = 0 або \ Theta = 180 ^ \ circ ).

Залежно або незалежно від стандарту (ISO 31-11), існує і така угода або конвенція ( англ. convention ), Коли замість зенітного кута θ , Використовується кут між проекцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, рівний 90 ^ \ circ - θ . Він називається кутом підйому і може бути позначений тією ж буквою θ . У цьому випадку він буде змінюватися в межах -90 ^ \ Circ \ leqslant \ theta \ leqslant 90 ^ \ circ .

Тоді кути θ і \ Varphi мають значення при r = 0 , Так само як і в першому разі, а \ Varphi немає значення при cos (θ) = 0 , (Вже при \ Theta =- 90 ^ \ circ або \ Theta = 90 ^ \ circ ).


2. Перехід до інших систем координат

  • Декартова система координат
    • Якщо задані сферичні координати точки, то перехід до декартовим здійснюється по формулах:
      \ Begin {cases} x = r \ sin \ theta \ cos \ varphi, \ \ y = r \ sin \ theta \ sin \ varphi, \ \ z = r \ cos \ theta. \ End {cases}
    • Назад, від декартових до сферичних:
      \ Begin {cases} r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z 2} ^, \ \ \ \ \ Varphi = \ mathrm {arctg} \ left ({\ dfrac {y} {x}} \ right). \ End {cases}
      • (Тут, звичайно, потрібен певний природне уточнення для значень \ Varphi поза перший октант; той же для всіх формул за арктангенса тут і нижче; втім, заміна відповідну формулу із арккосинус знімає це питання щодо координати θ ).
    • Модуль якобіана перетворення від декартових до сферичних:
      | J | = r ^ 2 \ sin \ theta. \
  • Циліндрична система координат
    • Якщо задані сферичні координати точки, то перехід до циліндричним здійснюється за формулами:
      \ Begin {cases} \ rho = r \ sin \ theta, \ \ \ varphi = \ varphi, \ \ = z r \ cos \ theta. \ End {cases}
    • Зворотно від циліндричних до сферичних:
      \ Begin {cases} r = \ sqrt {\ rho ^ 2 + z ^ 2}, \ \ \ theta = \ mathrm {arctg} \ left (\ dfrac {\ rho} {z} \ right), \ \ \ varphi = \ varphi. \ End {cases}
    • Модуль якобіана перетворення від сферичних до циліндричних:
      | J | = r. \

3. Диференціальні характеристики

Сферичні координати ортогональними є, тому метричний тензор має в них діагональний вид:

g_ {ij} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 r & ^ 2 & 0 \ \ 0 0 & & r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {pmatrix}, \ quad g ^ { ij} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & \ dfrac {1} {r ^ 2} & 0 \ \ 0 0 & & \ dfrac {1} {r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta } \ end {pmatrix}
  • \ Det (g_ {ij}) = r ^ 4 \ sin ^ 2 \ theta. \
  • Квадрат диференціала довжини дуги:
ds ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 \, d \ theta ^ 2 + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \, d \ varphi ^ 2.
H_r = 1, \ quad H_ \ theta = r, \ quad H_ \ varphi = r \ sin \ theta.
\ Gamma ^ 1_ {22} =- r, \ quad \ Gamma ^ 1_ {33} =- r \ sin ^ 2 \ theta,
\ Gamma ^ 2_ {21} = \ Gamma ^ 2_ {12} = \ Gamma ^ 3_ {13} = \ Gamma ^ 3_ {31} = \ frac {1} {r},
\ Gamma ^ 2_ {33} =- \ cos \ theta \ sin \ theta, \ quad \ Gamma ^ 3_ {23} = \ Gamma ^ 3_ {32} = \ mathrm {ctg} \, \ theta.

Решта дорівнюють нулю.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Система координат
Криволінійна система координат
Циліндрична система координат
Афінна система координат
Ортогональна система координат
Система небесних координат
Екваторіальна система координат
Полярна система координат
Прямокутна система координат
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru